분류
1. 개요
Quantum harmonic oscillator · 量子調和振動子
이 문서에서는 양자 단순 조화 진동자를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룰 것이다.
이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록했으며, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법에만 다루고, 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했으니 참고하기 바란다.
이 문서에서는 양자 단순 조화 진동자를 양자역학적으로 분석하는 방법을 주로 다룰 것이다.
이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록했으며, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법에만 다루고, 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했으니 참고하기 바란다.
2. 대수적 기법
2.1. 생성·소멸 연산자
양자 조화 진동자를 분석하기 전 아래의 소멸 연산자(Annihilation operator)를 도입하고자 한다.
[math(displaystyle hat{a}:= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) )]
여기서 [math(displaystyle beta^{2} := {m omega}/{hbar} )]으로 정의되는 상수이며, [math(m)]은 질량, [math(omega)]는 조화 진동자의 각진동수이며, [math(omega^{2} := k/m)]이다. 또한, [math(k)]는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 Hermitian adjoint를 취하면,
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}-ifrac{hat{p}}{momega} right) )]
가 되고 이 연산자를 생성 연산자(Creation operator)라 한다. 이때, [math(hat{a} neq hat{a}^{dagger})]이므로 [math(hat{a})]는 Hermitian operator가 아니며, 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는다. 그렇다면 위키러들은 이러한 쓸모 없는 연산자를 왜 분석하고 있는지 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨달을 수 있으며, 그 작업을 위해 우선적으로 두 연산자의 교환자 관계를 조사하고자 한다.
[math(displaystyle [hat{a},,hat{a}^{dagger}] = left[ frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) , , frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}-ifrac{hat{p}}{momega} right) right] )]
이때, 정준 교환 관계 [math([hat{x},,hat{p}]=i hbar)]를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle [hat{a},,hat{a}^{dagger}]=hat{a}hat{a}^{dagger}-hat{a}^{dagger}hat{a} =1 )]
이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 나을 것이다.
다음과 같은 연산자를 하나 정의하고자 한다.
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}hat{a} := hat{N} )]
이 연산자는 우선적으로 상태가 [math(n)]인 고유함수 [math(varphi_{n})]에 결합하여 교윳값으로 상태 [math(n)]을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
[math(displaystyle hat{N}varphi_{n}=nvarphi_{n} )]
이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 [math(hat{a}varphi_{n})]의 고윳값을 조사해보자.
[math(displaystyle begin{aligned} hat{N}(hat{a}varphi_{n})&=hat{a}^{dagger}hat{a}hat{a}varphi_{n} \&=(hat{a}hat{a}^{dagger}-1)hat{a}varphi_{n} \ &=hat{a}(hat{a}hat{a}^{dagger}-1)varphi_{n} \ &=hat{a}(hat{N}-1)varphi_{n} \&=(n-1)(hat{a}varphi_{n}) end{aligned})]
따라서 위 연산자의 [math(hat{a}varphi_{n})]의 교윳값은 [math(n-1)]임을 알 수 있다. 위에서 [math(hat{N})]을 어떻게 정의되었는지 다시 상기해보면,
[math(displaystyle hat{a}varphi_{n} propto varphi_{n-1} )]
로 상태를 한 단계 낮춰준다는 사실을 알 수 있다. 다만, 비례 표시([math(propto)])로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값은 구하지 않았기 때문이다. 같은 논법으로, 생성 연산자에 대해 하면,
[math(displaystyle begin{aligned} hat{N}(hat{a}^{dagger}varphi_{n})&=hat{a}^{dagger}hat{a}hat{a}^{dagger}varphi_{n} \&=hat{a}^{dagger}(hat{a}^{dagger}hat{a}+1)varphi_{n} \ &=hat{a}^{dagger}(hat{N}+1)varphi_{n} \&=(n+1)(hat{a}^{dagger}varphi_{n}) end{aligned})]
따라서 같은 논법으로,
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}varphi_{n} propto varphi_{n+1} )]
임을 알 수 있다. 즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다는 사실을 알 수 있다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 사다리 연산자(Ladder operator)라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아닌 단지 어떤 상태를 올리거나 내려주기만 하기 때문이다.
[math(displaystyle hat{a}:= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) )]
여기서 [math(displaystyle beta^{2} := {m omega}/{hbar} )]으로 정의되는 상수이며, [math(m)]은 질량, [math(omega)]는 조화 진동자의 각진동수이며, [math(omega^{2} := k/m)]이다. 또한, [math(k)]는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 Hermitian adjoint를 취하면,
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}-ifrac{hat{p}}{momega} right) )]
가 되고 이 연산자를 생성 연산자(Creation operator)라 한다. 이때, [math(hat{a} neq hat{a}^{dagger})]이므로 [math(hat{a})]는 Hermitian operator가 아니며, 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는다. 그렇다면 위키러들은 이러한 쓸모 없는 연산자를 왜 분석하고 있는지 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨달을 수 있으며, 그 작업을 위해 우선적으로 두 연산자의 교환자 관계를 조사하고자 한다.
[math(displaystyle [hat{a},,hat{a}^{dagger}] = left[ frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) , , frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}-ifrac{hat{p}}{momega} right) right] )]
이때, 정준 교환 관계 [math([hat{x},,hat{p}]=i hbar)]를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(displaystyle [hat{a},,hat{a}^{dagger}]=hat{a}hat{a}^{dagger}-hat{a}^{dagger}hat{a} =1 )]
이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 나을 것이다.
다음과 같은 연산자를 하나 정의하고자 한다.
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}hat{a} := hat{N} )]
이 연산자는 우선적으로 상태가 [math(n)]인 고유함수 [math(varphi_{n})]에 결합하여 교윳값으로 상태 [math(n)]을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
[math(displaystyle hat{N}varphi_{n}=nvarphi_{n} )]
이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 [math(hat{a}varphi_{n})]의 고윳값을 조사해보자.
[math(displaystyle begin{aligned} hat{N}(hat{a}varphi_{n})&=hat{a}^{dagger}hat{a}hat{a}varphi_{n} \&=(hat{a}hat{a}^{dagger}-1)hat{a}varphi_{n} \ &=hat{a}(hat{a}hat{a}^{dagger}-1)varphi_{n} \ &=hat{a}(hat{N}-1)varphi_{n} \&=(n-1)(hat{a}varphi_{n}) end{aligned})]
따라서 위 연산자의 [math(hat{a}varphi_{n})]의 교윳값은 [math(n-1)]임을 알 수 있다. 위에서 [math(hat{N})]을 어떻게 정의되었는지 다시 상기해보면,
[math(displaystyle hat{a}varphi_{n} propto varphi_{n-1} )]
로 상태를 한 단계 낮춰준다는 사실을 알 수 있다. 다만, 비례 표시([math(propto)])로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값은 구하지 않았기 때문이다. 같은 논법으로, 생성 연산자에 대해 하면,
[math(displaystyle begin{aligned} hat{N}(hat{a}^{dagger}varphi_{n})&=hat{a}^{dagger}hat{a}hat{a}^{dagger}varphi_{n} \&=hat{a}^{dagger}(hat{a}^{dagger}hat{a}+1)varphi_{n} \ &=hat{a}^{dagger}(hat{N}+1)varphi_{n} \&=(n+1)(hat{a}^{dagger}varphi_{n}) end{aligned})]
따라서 같은 논법으로,
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}varphi_{n} propto varphi_{n+1} )]
임을 알 수 있다. 즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다는 사실을 알 수 있다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 사다리 연산자(Ladder operator)라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아닌 단지 어떤 상태를 올리거나 내려주기만 하기 때문이다.
2.2. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자
조화 진동자의 해밀토니안은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathcal{H}&=frac{p^{2}}{2m}+frac{1}{2}kx^{2} \ &=frac{p^{2}}{2m}+frac{1}{2}m omega^{2} x^{2} end{aligned} )]
따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}=frac{hat{p}^{2}}{2m}+frac{1}{2}m omega^{2}hat{x}^{2} )]
위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
[math(displaystyle hat{x}=frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} qquad qquad hat{p}=frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} )]
를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}=hbar omega left(hat{a}^{dagger}hat{a}+frac{1}{2} right) )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 [math(n)]의 고유함수 [math(varphi_{n})]을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} hat{mathcal{H}}varphi_{n}&=hbar omega left(hat{a}^{dagger}hat{a}+frac{1}{2} right)varphi_{n} \&=hbar omega left(hat{N}+frac{1}{2} right)varphi_{n} \&=hbar omega left(n+frac{1}{2} right)varphi_{n} end{aligned})]
따라서 에너지 고윳값은
[math(displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) )]
이 된다. 그러나 한 가지의 부가조건을 더 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 우리는
[math(displaystyle langle mathcal{H} rangle geq 0 )]
을 만족해야 한다. 양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 [math(langle varphi_{n} |varphi_{m} rangle=delta_{nm})]을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} langle mathcal{H} rangle &=langle varphi_{n} | hat{mathcal{H}}|varphi_{n} rangle \ &=hbar omega left(n+frac{1}{2} right)langle varphi_{n} |varphi_{n} rangle \ &=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) end{aligned} )]
따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는
[math(displaystyle n geq -frac{1}{2} )]
이어야 한다. 따라서 [math(n<-1/2)]인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는
[math(displaystyle hat{a}varphi_{0}=0 )]
를 덧붙일 것이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 [math(n=0)][1]이라 두었기 때문에
[math(displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) )]
위는 중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathcal{H}&=frac{p^{2}}{2m}+frac{1}{2}kx^{2} \ &=frac{p^{2}}{2m}+frac{1}{2}m omega^{2} x^{2} end{aligned} )]
따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}=frac{hat{p}^{2}}{2m}+frac{1}{2}m omega^{2}hat{x}^{2} )]
위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
[math(displaystyle hat{x}=frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} qquad qquad hat{p}=frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} )]
를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}=hbar omega left(hat{a}^{dagger}hat{a}+frac{1}{2} right) )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 [math(n)]의 고유함수 [math(varphi_{n})]을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} hat{mathcal{H}}varphi_{n}&=hbar omega left(hat{a}^{dagger}hat{a}+frac{1}{2} right)varphi_{n} \&=hbar omega left(hat{N}+frac{1}{2} right)varphi_{n} \&=hbar omega left(n+frac{1}{2} right)varphi_{n} end{aligned})]
따라서 에너지 고윳값은
[math(displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) )]
이 된다. 그러나 한 가지의 부가조건을 더 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 우리는
[math(displaystyle langle mathcal{H} rangle geq 0 )]
을 만족해야 한다. 양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 [math(langle varphi_{n} |varphi_{m} rangle=delta_{nm})]을 이용하면,
[math(displaystyle begin{aligned} langle mathcal{H} rangle &=langle varphi_{n} | hat{mathcal{H}}|varphi_{n} rangle \ &=hbar omega left(n+frac{1}{2} right)langle varphi_{n} |varphi_{n} rangle \ &=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) end{aligned} )]
따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는
[math(displaystyle n geq -frac{1}{2} )]
이어야 한다. 따라서 [math(n<-1/2)]인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 이 조건을 명시할 수 있는
[math(displaystyle hat{a}varphi_{0}=0 )]
를 덧붙일 것이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 [math(n=0)][1]이라 두었기 때문에
[math(displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) )]
위는 중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
- 양자 조화 진동자는 영점 에너지(Zero-point energy)가 존재한다.
- 인접한 상태들의 에너지 간격은 [math(E_{n}-E_{n-1}=hbar omega)]이고, 따라서 양자 조화 진동자의 에너지 간격은 등간격이다.
2.3. 양자 조화 진동자의 고유함수
다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.
[math(displaystyle beta^{2}x^{2} = frac{m omega}{hbar}x^{2} := xi^{2} )]
이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} hat{a} &= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) \ &= frac{beta}{sqrt{2}} left( x+frac{hbar}{momega} frac{partial}{partial x} right) \ &=frac{1}{sqrt{2}} left( beta x+ frac{partial}{partial (beta x)} right) \&=frac{1}{sqrt{2}} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right) end{aligned} )]
마찬가지의 논법으로
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}=frac{1}{sqrt{2}} left( xi- frac{partial}{partial xi} right) )]
으로 쓸 수 있다. 윗문단을 통해 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유 함수는 [math(varphi_{0})]이라 했고, 위에서 [math(displaystyle hat{a}varphi_{0}=0 )]의 부가조건을 설정한 것을 상기하면,
[math(displaystyle frac{1}{sqrt{2}} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right)varphi_{0}=0 )]
이 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(displaystyle varphi_{0}=A_{0}exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
이때, [math(A_{0})]은 규격화 상수로 [math(langle varphi_{0} |varphi_{0} rangle=1)]로 결정할 수 있다. 따라서 최저 상태의 고유함수는 정규분포 곡선 모양임을 알 수 있다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 쉽게 다른 상태 또한 결정할 수 있다. 그 중 한 가지의 예만 보고가고자 한다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{1}&propto hat{a}^{dagger} varphi_{0} \ & propto left( xi- frac{partial}{partial xi} right) exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} \ &=2xexp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} end{aligned} )]
따라서 규격화 상수를 [math(A_{1})]이라 두면,
[math(displaystyle varphi_{1}=2A_{1}xexp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
이와 같은 논법으로 [math(varphi_{n})]을 구하려면, 생성 연산자를 [math(n)]번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
[math(displaystyle varphi_{n} =A_{n} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right)^{n}exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{n}(xi)&=A_{n}H_{n}(xi)exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} \ E_{n}&=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) end{aligned} )]
위에서 [math(H_{n}(xi))]는 에르미트 다항식이며, 규격화 상수
[math(displaystyle A_{n}=sqrt{frac{1}{2^{n}n! sqrt{pi} } } )]
로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.
파일:나무_양자조화진동자_고유함수.png
눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 기함수와 우함수가 반복된다는 것을 알 수 있을 것이다.
양자 조화 진동자는 속박되어있는 예이므로 고유함수의 절댓값 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.
파일:나무_양자조화진동자_확률밀도.png
위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[2]축과 평행한 직선과 [math(x)] 축 사이의 거리는 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 퍼텐셜 에너지 문서를 참조하라.] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있는 것을 알 수 있다.
[math(displaystyle beta^{2}x^{2} = frac{m omega}{hbar}x^{2} := xi^{2} )]
이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} hat{a} &= frac{beta}{sqrt{2}}left( hat{x}+ifrac{hat{p}}{momega} right) \ &= frac{beta}{sqrt{2}} left( x+frac{hbar}{momega} frac{partial}{partial x} right) \ &=frac{1}{sqrt{2}} left( beta x+ frac{partial}{partial (beta x)} right) \&=frac{1}{sqrt{2}} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right) end{aligned} )]
마찬가지의 논법으로
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}=frac{1}{sqrt{2}} left( xi- frac{partial}{partial xi} right) )]
으로 쓸 수 있다. 윗문단을 통해 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유 함수는 [math(varphi_{0})]이라 했고, 위에서 [math(displaystyle hat{a}varphi_{0}=0 )]의 부가조건을 설정한 것을 상기하면,
[math(displaystyle frac{1}{sqrt{2}} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right)varphi_{0}=0 )]
이 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(displaystyle varphi_{0}=A_{0}exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
이때, [math(A_{0})]은 규격화 상수로 [math(langle varphi_{0} |varphi_{0} rangle=1)]로 결정할 수 있다. 따라서 최저 상태의 고유함수는 정규분포 곡선 모양임을 알 수 있다. 이제 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 쉽게 다른 상태 또한 결정할 수 있다. 그 중 한 가지의 예만 보고가고자 한다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{1}&propto hat{a}^{dagger} varphi_{0} \ & propto left( xi- frac{partial}{partial xi} right) exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} \ &=2xexp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} end{aligned} )]
따라서 규격화 상수를 [math(A_{1})]이라 두면,
[math(displaystyle varphi_{1}=2A_{1}xexp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
이와 같은 논법으로 [math(varphi_{n})]을 구하려면, 생성 연산자를 [math(n)]번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
[math(displaystyle varphi_{n} =A_{n} left( xi+ frac{partial}{partial xi} right)^{n}exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} )]
따라서 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{n}(xi)&=A_{n}H_{n}(xi)exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} \ E_{n}&=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) end{aligned} )]
위에서 [math(H_{n}(xi))]는 에르미트 다항식이며, 규격화 상수
[math(displaystyle A_{n}=sqrt{frac{1}{2^{n}n! sqrt{pi} } } )]
로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.
파일:나무_양자조화진동자_고유함수.png
눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 기함수와 우함수가 반복된다는 것을 알 수 있을 것이다.
양자 조화 진동자는 속박되어있는 예이므로 고유함수의 절댓값 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.
파일:나무_양자조화진동자_확률밀도.png
위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[2]축과 평행한 직선과 [math(x)] 축 사이의 거리는 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 퍼텐셜 에너지 문서를 참조하라.] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있는 것을 알 수 있다.
2.4. 소멸·생성 연산자의 고윳값
이 문단은 다음 문단의 평균값과 불확정성 원리가 양자 조화 진동자에서 성립하는 지 알아보기 위해 알아봐야할 문단이다. 맨 처음 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제는 해당 연산자들의 고윳값을 알아봐야할 차례이다.
이제부터 고유함수 [math(varphi_{n})]을 ket-vector [math(| n rangle)]으로 간단히 나타낼 것이다. 우선 소멸 연산자의 고윳값을 [math(C_{n})]이라 놓자. 그러면,
[math(displaystyle hat{a}| n rangle=C_{n} | n-1 rangle)]
양변에 복소 공액을 취하면,
[math(displaystyle langle hat{a} n | =langle n-1 | C_{n}^{ast} )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle langle n | hat{a}^{dagger} =langle n-1 | C_{n}^{ast} )]
이 결과를 맨 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
[math(displaystyle begin{aligned} langle n | hat{a}^{dagger} hat{a}| n rangle&=langle n-1 | C_{n}^{ast}C_{n} | n-1 rangle \ langle n | hat{N}| n rangle&=left| C_{n} right|^{2}langle n-1 | n-1 rangle \ n langle n | n rangle&=left| C_{n} right|^{2}langle n-1 | n-1 rangle end{aligned})]
고유함수의 직교성에 의해
[math(displaystyle n=left| C_{n} right|^{2} , rightarrow , C_{n}=sqrt{n} )]
이상에서
[math(displaystyle hat{a}| n rangle=sqrt{n} | n-1 rangle )]
임을 알 수 있다. 생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있다. 다만, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 할 것이다. 이에 생성 연산자는
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}| n rangle=sqrt{n+1} | n+1 rangle )]
임을 쉽게 증명할 수 있다.
이번에는 최저 상태를 [math(n=0)]으로 둔 것에 대한 타당성을 검증해보도록 하자.
[math(displaystyle begin{aligned} n&=langle n | hat{N}| n rangle \ &=langle n | hat{a}^{dagger} hat{a}| n rangle \ &=(langle hat{a} n |)( hat{a}| n rangle) \ &=( hat{a}| n rangle)^{ast}( hat{a}| n rangle) end{aligned} )]
따라서 위의 결과는 [math(n)]이 0 이상의 양의 실수만 될 수 있다는 것만을 보여준다. 따라서 최저 상태로 택한 [math(n=0)]은 타당하다는 것을 알 수 있다.
이제부터 고유함수 [math(varphi_{n})]을 ket-vector [math(| n rangle)]으로 간단히 나타낼 것이다. 우선 소멸 연산자의 고윳값을 [math(C_{n})]이라 놓자. 그러면,
[math(displaystyle hat{a}| n rangle=C_{n} | n-1 rangle)]
양변에 복소 공액을 취하면,
[math(displaystyle langle hat{a} n | =langle n-1 | C_{n}^{ast} )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle langle n | hat{a}^{dagger} =langle n-1 | C_{n}^{ast} )]
이 결과를 맨 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
[math(displaystyle begin{aligned} langle n | hat{a}^{dagger} hat{a}| n rangle&=langle n-1 | C_{n}^{ast}C_{n} | n-1 rangle \ langle n | hat{N}| n rangle&=left| C_{n} right|^{2}langle n-1 | n-1 rangle \ n langle n | n rangle&=left| C_{n} right|^{2}langle n-1 | n-1 rangle end{aligned})]
고유함수의 직교성에 의해
[math(displaystyle n=left| C_{n} right|^{2} , rightarrow , C_{n}=sqrt{n} )]
이상에서
[math(displaystyle hat{a}| n rangle=sqrt{n} | n-1 rangle )]
임을 알 수 있다. 생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있다. 다만, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 할 것이다. 이에 생성 연산자는
[math(displaystyle hat{a}^{dagger}| n rangle=sqrt{n+1} | n+1 rangle )]
임을 쉽게 증명할 수 있다.
이번에는 최저 상태를 [math(n=0)]으로 둔 것에 대한 타당성을 검증해보도록 하자.
[math(displaystyle begin{aligned} n&=langle n | hat{N}| n rangle \ &=langle n | hat{a}^{dagger} hat{a}| n rangle \ &=(langle hat{a} n |)( hat{a}| n rangle) \ &=( hat{a}| n rangle)^{ast}( hat{a}| n rangle) end{aligned} )]
따라서 위의 결과는 [math(n)]이 0 이상의 양의 실수만 될 수 있다는 것만을 보여준다. 따라서 최저 상태로 택한 [math(n=0)]은 타당하다는 것을 알 수 있다.
2.5. 불확정성 원리 검증
불확정성 원리에 따르면,
[math(displaystyle Delta x Delta p geq frac{hbar}{2} )]
를 만족해야 한다. 이것을 검증하기 위해
[math(displaystyle Delta x := sqrt{langle x^2 rangle-langle x rangle^{2}} qquad qquad Delta p := sqrt{langle p^2 rangle-langle p rangle^{2}} )]
임을 이용하면 된다.
[math(langle x rangle)]와 [math(langle p rangle)]는 비교적 쉽게 구할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} langle x rangle&=langle n |hat{x}|n rangle \ &=left langle n left|frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right|n right rangle \ &=0 \ langle p rangle&=langle n |hat{p}|n rangle \ &=left langle n left|frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right|n right rangle \ &=0 end{aligned} )]
소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남게 되고, 결국 이것은 0이 될 수밖에 없는 것이다.
이제 [math(langle x^{2} rangle)]을 구하자.
[math(displaystyle begin{aligned} langle x^{2} rangle&=langle n |hat{x}^{2}|n rangle \ &=left langle n left| left(frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right)^{2} right|n right rangle \ &=frac{1}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}+hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a}+hat{a}^{dagger}hat{a}^{dagger} |n rangle end{aligned} )]
따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되므로 연산에 기여하지 않는다. 따라서
[math(displaystyle begin{aligned} langle x^{2} rangle &=frac{1}{2beta^{2}}langle n |hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle \&=frac{1}{2beta^{2}}langle n |(hat{a}^{dagger}hat{a}+1)+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle \ &=frac{1}{2beta^{2}}langle n |2hat{a}^{dagger}hat{a}-1 |n rangle \&=frac{1}{2beta^{2}}langle n |2hat{N}+1 |n rangle \ &=frac{hbar}{m omega} left( n+frac{1}{2} right) end{aligned} )]
가 된다.
마지막으로, [math(langle p^{2} rangle)]을 구해보도록 하자.
[math(displaystyle begin{aligned} langle p^{2} rangle&=langle n |hat{p}^{2}|n rangle \ &=left langle n left| left(frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right)^{2} right|n right rangle \ &=- frac{m^{2} omega^{2}}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}-hat{a}hat{a}^{dagger}-hat{a}^{dagger}hat{a}+hat{a}^{dagger}hat{a}^{dagger} |n rangle \ &=frac{m^{2} omega^{2}}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle end{aligned} )]
이런 꼴은 이미 [math(langle x^{2} rangle)]을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
[math(displaystyle langle p^{2} rangle=m omega hbar left( n+frac{1}{2} right) )]
이상에서
[math(displaystyle Delta x=sqrt{frac{hbar}{m omega} left( n+frac{1}{2} right)} qquad qquad Delta p=sqrt{m omega hbar left( n+frac{1}{2} right)} )]
이고,
[math(displaystyle Delta x Delta p=hbar left( n+frac{1}{2} right) geq frac{hbar}{2} )]
이므로 불확정성 원리를 만족한다는 것을 알 수 있다.
[math(displaystyle Delta x Delta p geq frac{hbar}{2} )]
를 만족해야 한다. 이것을 검증하기 위해
[math(displaystyle Delta x := sqrt{langle x^2 rangle-langle x rangle^{2}} qquad qquad Delta p := sqrt{langle p^2 rangle-langle p rangle^{2}} )]
임을 이용하면 된다.
[math(langle x rangle)]와 [math(langle p rangle)]는 비교적 쉽게 구할 수 있다.
[math(displaystyle begin{aligned} langle x rangle&=langle n |hat{x}|n rangle \ &=left langle n left|frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right|n right rangle \ &=0 \ langle p rangle&=langle n |hat{p}|n rangle \ &=left langle n left|frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right|n right rangle \ &=0 end{aligned} )]
소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남게 되고, 결국 이것은 0이 될 수밖에 없는 것이다.
이제 [math(langle x^{2} rangle)]을 구하자.
[math(displaystyle begin{aligned} langle x^{2} rangle&=langle n |hat{x}^{2}|n rangle \ &=left langle n left| left(frac{hat{a}+hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right)^{2} right|n right rangle \ &=frac{1}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}+hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a}+hat{a}^{dagger}hat{a}^{dagger} |n rangle end{aligned} )]
따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되므로 연산에 기여하지 않는다. 따라서
[math(displaystyle begin{aligned} langle x^{2} rangle &=frac{1}{2beta^{2}}langle n |hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle \&=frac{1}{2beta^{2}}langle n |(hat{a}^{dagger}hat{a}+1)+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle \ &=frac{1}{2beta^{2}}langle n |2hat{a}^{dagger}hat{a}-1 |n rangle \&=frac{1}{2beta^{2}}langle n |2hat{N}+1 |n rangle \ &=frac{hbar}{m omega} left( n+frac{1}{2} right) end{aligned} )]
가 된다.
마지막으로, [math(langle p^{2} rangle)]을 구해보도록 하자.
[math(displaystyle begin{aligned} langle p^{2} rangle&=langle n |hat{p}^{2}|n rangle \ &=left langle n left| left(frac{m omega}{i}frac{hat{a}-hat{a}^{dagger}}{sqrt{2} beta} right)^{2} right|n right rangle \ &=- frac{m^{2} omega^{2}}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}-hat{a}hat{a}^{dagger}-hat{a}^{dagger}hat{a}+hat{a}^{dagger}hat{a}^{dagger} |n rangle \ &=frac{m^{2} omega^{2}}{2beta^{2}}langle n | hat{a}hat{a}^{dagger}+hat{a}^{dagger}hat{a} |n rangle end{aligned} )]
이런 꼴은 이미 [math(langle x^{2} rangle)]을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
[math(displaystyle langle p^{2} rangle=m omega hbar left( n+frac{1}{2} right) )]
이상에서
[math(displaystyle Delta x=sqrt{frac{hbar}{m omega} left( n+frac{1}{2} right)} qquad qquad Delta p=sqrt{m omega hbar left( n+frac{1}{2} right)} )]
이고,
[math(displaystyle Delta x Delta p=hbar left( n+frac{1}{2} right) geq frac{hbar}{2} )]
이므로 불확정성 원리를 만족한다는 것을 알 수 있다.
2.6. 평균값
이번엔 양자 조화 진동자의 평균 에너지 [math(langle E rangle)]에 대해 논해보자.
[math(displaystyle langle E rangle=langle T rangle+langle V rangle )]
이때, [math(langle T rangle)]는 운동 에너지 평균값, [math(langle V rangle)]는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
[math(displaystyle langle T rangle=frac{langle p^{2} rangle}{2m} qquad qquad langle V rangle=frac{1}{2}klangle x^{2} rangle=frac{1}{2}m omega^{2} langle x^{2} rangle )]
그런데, [math(langle x^{2} rangle)], [math(langle p^{2} rangle)]는 위에서 각각 구하였다. 따라서 그 결과를 이용하면,
[math(displaystyle langle T rangle= langle V rangle=frac{1}{2}hbar omega left( n+frac{1}{2} right) )]
임을 알 수 있다. 따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서
[math(displaystyle langle E rangle=2langle T rangle=2langle V rangle )]
이 성립함에 따라 맨 위에서 구했던 결과
[math(displaystyle langle E rangle=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) )]
를 얻는다.
[math(displaystyle langle E rangle=langle T rangle+langle V rangle )]
이때, [math(langle T rangle)]는 운동 에너지 평균값, [math(langle V rangle)]는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
[math(displaystyle langle T rangle=frac{langle p^{2} rangle}{2m} qquad qquad langle V rangle=frac{1}{2}klangle x^{2} rangle=frac{1}{2}m omega^{2} langle x^{2} rangle )]
그런데, [math(langle x^{2} rangle)], [math(langle p^{2} rangle)]는 위에서 각각 구하였다. 따라서 그 결과를 이용하면,
[math(displaystyle langle T rangle= langle V rangle=frac{1}{2}hbar omega left( n+frac{1}{2} right) )]
임을 알 수 있다. 따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서
[math(displaystyle langle E rangle=2langle T rangle=2langle V rangle )]
이 성립함에 따라 맨 위에서 구했던 결과
[math(displaystyle langle E rangle=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) )]
를 얻는다.
2.7. 대응 원리
양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근해가서 대응되게 되는 것을 대응원리(Correspondence principle)라 한다. 이제부터 양자 조화 진동자의 대응원리를 알아보고자 한다.
양자역학적으로 입자가 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 발견될 확률 [math(P_{mathrm{QM}})]은 알다시피, 고유함수의 절댓값 제곱으로 주어진다. 즉,
[math(displaystyle P_{mathrm{QM}}=left| varphi(x) right|^{2} )]
그렇다면, 고전적으로 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 입자가 발견될 확률 [math(P_{mathrm{CM}})]은 얼마인가? 이제부터 이것이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 [math(T)]과 극히 짧은 시간 간격 [math(dt)]의 비로 보았다. 즉,
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}},dx=frac{dt}{T} )]
이 된다. 이때, [math(T=2pi/omega)]가 되므로 윗 식은
[math(displaystyle frac{dt}{T}=frac{2pi}{omega},dt )]
으로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,
[math(displaystyle frac{omega}{2pi},dt=frac{omega}{2pi},frac{dt}{dx}dx=frac{2pi}{omega}frac{1}{dot{x}}dx)]
으로 쓸 수 있다. [math(dot{x}:= dx/dt)]로 속도를 의미한다. 이미 진폭 [math(x_{0})]인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
[math(displaystyle begin{aligned} x&=x_{0}sin{omega t} \ dot{x}&=x_{0}omega cos{omega t} end{aligned})]
이때, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle dot{x}=omega sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} )]
이상에서
[math(displaystyle frac{omega}{2pi},frac{dt}{dx}dx=frac{2pi}{omega}frac{1}{dot{x}}dx=frac{1}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } },dx )]
로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}}=frac{A}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
로 쓸 수 있다. [math(A)]를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
[math(displaystyle int_{-x_{0}}^{x_{0}}frac{A}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } },dx=1 , rightarrow , A=2 )]
이상에서 찾는 고전적인 확률은
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}}=frac{1}{pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
임을 알 수 있다.
아래의 그림은 [math(n=50)]일 때의 [math(P_{mathrm{QM}})]과 [math(P_{mathrm{CM}})]을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼 양자수가 높아지면, 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다는 것을 알 수 있다.
파일:나무_양자조화진동자_대응원리.png
양자역학적으로 입자가 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 발견될 확률 [math(P_{mathrm{QM}})]은 알다시피, 고유함수의 절댓값 제곱으로 주어진다. 즉,
[math(displaystyle P_{mathrm{QM}}=left| varphi(x) right|^{2} )]
그렇다면, 고전적으로 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 입자가 발견될 확률 [math(P_{mathrm{CM}})]은 얼마인가? 이제부터 이것이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 [math(T)]과 극히 짧은 시간 간격 [math(dt)]의 비로 보았다. 즉,
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}},dx=frac{dt}{T} )]
이 된다. 이때, [math(T=2pi/omega)]가 되므로 윗 식은
[math(displaystyle frac{dt}{T}=frac{2pi}{omega},dt )]
으로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,
[math(displaystyle frac{omega}{2pi},dt=frac{omega}{2pi},frac{dt}{dx}dx=frac{2pi}{omega}frac{1}{dot{x}}dx)]
으로 쓸 수 있다. [math(dot{x}:= dx/dt)]로 속도를 의미한다. 이미 진폭 [math(x_{0})]인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
[math(displaystyle begin{aligned} x&=x_{0}sin{omega t} \ dot{x}&=x_{0}omega cos{omega t} end{aligned})]
이때, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle dot{x}=omega sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} )]
이상에서
[math(displaystyle frac{omega}{2pi},frac{dt}{dx}dx=frac{2pi}{omega}frac{1}{dot{x}}dx=frac{1}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } },dx )]
로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}}=frac{A}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
로 쓸 수 있다. [math(A)]를 붙인 이유는 아직 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
[math(displaystyle int_{-x_{0}}^{x_{0}}frac{A}{2pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } },dx=1 , rightarrow , A=2 )]
이상에서 찾는 고전적인 확률은
[math(displaystyle P_{mathrm{CM}}=frac{1}{pi sqrt{x_{0}^{2}-x^{2} } } )]
임을 알 수 있다.
아래의 그림은 [math(n=50)]일 때의 [math(P_{mathrm{QM}})]과 [math(P_{mathrm{CM}})]을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼 양자수가 높아지면, 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다는 것을 알 수 있다.
파일:나무_양자조화진동자_대응원리.png
3. 급수해 해법
퍼텐셜이
[math(displaystyle V(x)=frac{1}{2}kx^{2}=frac{1}{2}m omega^{2}x^{2} )]
의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}varphi=E varphi )]
에서
[math(displaystyle -frac{hbar^{2}}{2m}frac{d^{2} varphi}{dx^{2}}+frac{1}{2}m omega^{2}x^{2} varphi =Evarphi )]
가 된다. 다음과 같이 변수를 무차원화 시키면,
[math(displaystyle x:= sqrt{frac{hbar}{m omega}},xi qquad qquad epsilon := frac{2E}{hbar omega} )]
이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
[math(displaystyle frac{d^{2} varphi}{dxi^{2}}+(epsilon-xi^{2})varphi=0 )]
이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾고자 한다. [math(xi gg 1)] 영역에서 위의 방정식은
[math(displaystyle frac{d^{2} varphi}{dxi^{2}}-xi^{2}varphi=0 )]
으로 주어지고, 이 방정식의 해는
[math(displaystyle varphi(xi) propto exp{left(pm frac{xi^{2}}{2} right)} )]
으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 [math(xi gg 1)] 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
[math(displaystyle varphi(xi) propto exp{left(- frac{xi^{2}}{2} right)} )]
가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
[math(displaystyle varphi(xi) propto H(xi) exp{left(- frac{xi^{2}}{2} right)} )]
[math(H(xi))]는 아직 정체가 밝혀지지 않은 [math(xi)]에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
[math(displaystyle frac{d^{2}H(xi)}{d xi^{2}}-2xi frac{dH(xi)}{d xi}+( epsilon-1)H(xi)=0 )]
의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수 [math(H(xi))]를 다음과 같은 형태로 가정하자.
[math(displaystyle H(xi) := sum_{n=0}^{infty}a_{n}xi^{n} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{k=2}^{infty} k(k-1)a_{n}xi^{n-2}-2 xi sum_{k=1}^{infty} ka_{k}xi^{k-1}+( epsilon-1)sum_{k=0}^{infty}a_{k}xi^{k}=0 )]
좌변의 제 1항에 대해 [math(k to k+2)]로 하면,
[math(displaystyle sum_{k=0}^{infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}xi^{k}-2 sum_{k=1}^{infty} ka_{k}xi^{k}+( epsilon-1)sum_{k=0}^{infty}a_{k}xi^{k}=0 )]
따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.
[math(displaystyle a_{k+2}=frac{2k+1-epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} )]
참고적으로 위 관계는 [math(n=0)]일 때도 성립한다. 따라서 모든 [math(a_{k})]는 [math(a_{0})], [math(a_{1})]으로 표기할 수 있고, 이를 이용하면,
[math(displaystyle H(xi)=a_{0}left[ 1+frac{1-epsilon}{2}xi^{2}+frac{(5-epsilon)(1-epsilon)}{24}xi^{4}+cdots right]+a_{1} left[ xi+frac{3-epsilon}{6}xi^{3}+frac{(7-epsilon)(3-epsilon)}{120}xi^{5}+cdots right] )]
으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한 [math(xi gg 1)] 영역에서 발산한다. 따라서 [math(k=n)]일 때, 급수의 항이 더 더해지지 않고, 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고, 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은
[math(displaystyle a_{n+2}=frac{2n+1-epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 )]
을 만족시키면 된다. 단, [math(a_{n} neq 0)]이다. 따라서
[math(displaystyle epsilon_{n}=2n+1 quad (n=0,,1,,2,,3,cdots) )]
이때 [math(displaystyle epsilon_{n} = 2E_{n}/hbaromega)]이므로 이를 대입하면
[math(displaystyle dfrac{2E_{n}}{hbaromega}=2n+1 )]
[math(displaystyle E_{n}=hbaromega left( n+dfrac{1}{2} right) quad (n=0,,1,,2,,3,cdots) )]
임을 알 수 있다. 따라서 이 조건일 때, 미분 방정식은
[math(displaystyle frac{d^{2}H(xi)}{d xi^{2}}-2xi frac{dH(xi)}{d xi}+2nH(xi)=0 )]
이며 이 방정식을 만족하는 해는 에르미트 다항식 [math(H_{n}(xi))]이다.[3]로 썼는데, 이 함수의 표기와 혼동되지 않기 위함이다.] 따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{n}&=sqrt{frac{1}{2^{n}n! sqrt{pi} } }H_{n}(xi)exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} qquad biggl(xi:= sqrt{frac{m omega}{hbar}},x biggr)\ E_{n}&=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) end{aligned} )]
[math(displaystyle V(x)=frac{1}{2}kx^{2}=frac{1}{2}m omega^{2}x^{2} )]
의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은
[math(displaystyle hat{mathcal{H}}varphi=E varphi )]
에서
[math(displaystyle -frac{hbar^{2}}{2m}frac{d^{2} varphi}{dx^{2}}+frac{1}{2}m omega^{2}x^{2} varphi =Evarphi )]
가 된다. 다음과 같이 변수를 무차원화 시키면,
[math(displaystyle x:= sqrt{frac{hbar}{m omega}},xi qquad qquad epsilon := frac{2E}{hbar omega} )]
이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
[math(displaystyle frac{d^{2} varphi}{dxi^{2}}+(epsilon-xi^{2})varphi=0 )]
이제 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾고자 한다. [math(xi gg 1)] 영역에서 위의 방정식은
[math(displaystyle frac{d^{2} varphi}{dxi^{2}}-xi^{2}varphi=0 )]
으로 주어지고, 이 방정식의 해는
[math(displaystyle varphi(xi) propto exp{left(pm frac{xi^{2}}{2} right)} )]
으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 [math(xi gg 1)] 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
[math(displaystyle varphi(xi) propto exp{left(- frac{xi^{2}}{2} right)} )]
가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
[math(displaystyle varphi(xi) propto H(xi) exp{left(- frac{xi^{2}}{2} right)} )]
[math(H(xi))]는 아직 정체가 밝혀지지 않은 [math(xi)]에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
[math(displaystyle frac{d^{2}H(xi)}{d xi^{2}}-2xi frac{dH(xi)}{d xi}+( epsilon-1)H(xi)=0 )]
의 방정식이 나오게 된다. 찾는 함수 [math(H(xi))]를 다음과 같은 형태로 가정하자.
[math(displaystyle H(xi) := sum_{n=0}^{infty}a_{n}xi^{n} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(displaystyle sum_{k=2}^{infty} k(k-1)a_{n}xi^{n-2}-2 xi sum_{k=1}^{infty} ka_{k}xi^{k-1}+( epsilon-1)sum_{k=0}^{infty}a_{k}xi^{k}=0 )]
좌변의 제 1항에 대해 [math(k to k+2)]로 하면,
[math(displaystyle sum_{k=0}^{infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}xi^{k}-2 sum_{k=1}^{infty} ka_{k}xi^{k}+( epsilon-1)sum_{k=0}^{infty}a_{k}xi^{k}=0 )]
따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.
[math(displaystyle a_{k+2}=frac{2k+1-epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} )]
참고적으로 위 관계는 [math(n=0)]일 때도 성립한다. 따라서 모든 [math(a_{k})]는 [math(a_{0})], [math(a_{1})]으로 표기할 수 있고, 이를 이용하면,
[math(displaystyle H(xi)=a_{0}left[ 1+frac{1-epsilon}{2}xi^{2}+frac{(5-epsilon)(1-epsilon)}{24}xi^{4}+cdots right]+a_{1} left[ xi+frac{3-epsilon}{6}xi^{3}+frac{(7-epsilon)(3-epsilon)}{120}xi^{5}+cdots right] )]
으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한 [math(xi gg 1)] 영역에서 발산한다. 따라서 [math(k=n)]일 때, 급수의 항이 더 더해지지 않고, 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고, 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은
[math(displaystyle a_{n+2}=frac{2n+1-epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 )]
을 만족시키면 된다. 단, [math(a_{n} neq 0)]이다. 따라서
[math(displaystyle epsilon_{n}=2n+1 quad (n=0,,1,,2,,3,cdots) )]
이때 [math(displaystyle epsilon_{n} = 2E_{n}/hbaromega)]이므로 이를 대입하면
[math(displaystyle dfrac{2E_{n}}{hbaromega}=2n+1 )]
[math(displaystyle E_{n}=hbaromega left( n+dfrac{1}{2} right) quad (n=0,,1,,2,,3,cdots) )]
임을 알 수 있다. 따라서 이 조건일 때, 미분 방정식은
[math(displaystyle frac{d^{2}H(xi)}{d xi^{2}}-2xi frac{dH(xi)}{d xi}+2nH(xi)=0 )]
이며 이 방정식을 만족하는 해는 에르미트 다항식 [math(H_{n}(xi))]이다.[3]로 썼는데, 이 함수의 표기와 혼동되지 않기 위함이다.] 따라서 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
[math(displaystyle begin{aligned} varphi_{n}&=sqrt{frac{1}{2^{n}n! sqrt{pi} } }H_{n}(xi)exp{left( -frac{xi^{2}}{2} right)} qquad biggl(xi:= sqrt{frac{m omega}{hbar}},x biggr)\ E_{n}&=hbar omega left( n+frac{1}{2} right) qquad (n=0,,1,,2,,cdots) end{aligned} )]
4. n차원 조화 진동자
퍼텐셜이
[math(displaystyle begin{aligned} V(r)&=frac{1}{2} momega^2 r^2 \ &= frac{1}{2} m omega^2 (x^2+y^2+z^2) end{aligned})]
일 경우에도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 이때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 다음과 같다.
[math(displaystyle -frac{hbar}{2m} left( frac{partial^2 psi}{partial x^2} +frac{partial^2 psi}{partial y^2}+frac{partial^2 psi}{partial z^2} right) + frac{1}{2} m omega^2 (x^2+y^2+z^2) psi = E psi)]
이때 [math(psi(x,,y,,z) = X(x) Y(y) Z(z))]로 두고 양변을 [math(XYZ)]로 나누면 다음과 같다.
[math(displaystyle left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{X} frac{partial^2 X}{partial x^2} + frac{1}{2} m omega^2 x^2 right) + left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{Y} frac{partial^2 Y}{partial y^2} + frac{1}{2} m omega^2 y^2 right) + left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} + frac{1}{2} m omega^2 z^2 right) = E)]
이때 좌변의 항들은 각각 [math(x,y,z)]만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각 [math(E_x, E_y, E_z)]로 놓고 [math(E_x + E_y + E_z = E)]라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해는
[math(displaystyle begin{aligned} E_{x}&=hbar omega left(n_x + frac{1}{2} right) \ E_{y}&=hbar omega left(n_y + frac{1}{2} right) \ E_{z}&=hbar omega left(n_z + frac{1}{2} right) end{aligned} )]
가 되고, 에너지는
[math(displaystyle begin{aligned} E &= E_{x} + E_y + E_z \& = left( n_x + n_y + n_z + frac{3}{2} right) hbar omega \& = left( n+frac{3}{2} right) hbar omega end{aligned} )]
이다. 같은 방법으로 [math(k)]차원 조화 진동자의 에너지는 [math(displaystyle left( n + k/2 right) hbar omega )]이다.
[math(displaystyle begin{aligned} V(r)&=frac{1}{2} momega^2 r^2 \ &= frac{1}{2} m omega^2 (x^2+y^2+z^2) end{aligned})]
일 경우에도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 이때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 다음과 같다.
[math(displaystyle -frac{hbar}{2m} left( frac{partial^2 psi}{partial x^2} +frac{partial^2 psi}{partial y^2}+frac{partial^2 psi}{partial z^2} right) + frac{1}{2} m omega^2 (x^2+y^2+z^2) psi = E psi)]
이때 [math(psi(x,,y,,z) = X(x) Y(y) Z(z))]로 두고 양변을 [math(XYZ)]로 나누면 다음과 같다.
[math(displaystyle left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{X} frac{partial^2 X}{partial x^2} + frac{1}{2} m omega^2 x^2 right) + left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{Y} frac{partial^2 Y}{partial y^2} + frac{1}{2} m omega^2 y^2 right) + left( -frac{hbar}{2m} frac{1}{Z} frac{partial^2 Z}{partial z^2} + frac{1}{2} m omega^2 z^2 right) = E)]
이때 좌변의 항들은 각각 [math(x,y,z)]만의 함수이므로, 세 항 모두 상수여야 한다. 이를 각각 [math(E_x, E_y, E_z)]로 놓고 [math(E_x + E_y + E_z = E)]라고 하면 이는 1차원 조화 진동자와 똑같은 문제가 된다. 따라서 각각의 해는
[math(displaystyle begin{aligned} E_{x}&=hbar omega left(n_x + frac{1}{2} right) \ E_{y}&=hbar omega left(n_y + frac{1}{2} right) \ E_{z}&=hbar omega left(n_z + frac{1}{2} right) end{aligned} )]
가 되고, 에너지는
[math(displaystyle begin{aligned} E &= E_{x} + E_y + E_z \& = left( n_x + n_y + n_z + frac{3}{2} right) hbar omega \& = left( n+frac{3}{2} right) hbar omega end{aligned} )]
이다. 같은 방법으로 [math(k)]차원 조화 진동자의 에너지는 [math(displaystyle left( n + k/2 right) hbar omega )]이다.
5. 여담
양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, 1차원 공간에서의 일반적인 퍼텐셜 [math(V(x))]을 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극솟값 주변[4] 인근에서, [math(V'(x_{0})=0)], [math( V''(x_{0})>0)]]에서 테일러 전개를 하면,
[math(displaystyle V(x) simeq V(x_{0})+frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + mathcal{O}(x^3) )]
로 표현이 가능해서, 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.
양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를 고체 물리학에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 포논을 분석할 때 쓰이게 된다.
[math(displaystyle V(x) simeq V(x_{0})+frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + mathcal{O}(x^3) )]
로 표현이 가능해서, 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.
양자 조화 진동자가 실제 물리 현상을 설명하는 예를 고체 물리학에서 접할 수 있다. 대표적으로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 포논을 분석할 때 쓰이게 된다.