두 집합 A, B의 원소의 개수를 비교할 때, A의 원소수가 B의 원소수보다 작거나 같고, 또한 반대로 B의 원소수가 A의 원소수보다 작거나 같다면, 두 집합의 원소의 수가 같다는 정리이다. 유한집합에서는 자명하지만 무한집합에서도 이러한 사실이 성립한다는 내용을 담고 있다.

임의의 집합 [math( A, B )]에 대하여, 함수 [math(f: A to B )]와 [math(g: B to A )]가 모두 단사함수라면 전단사함수 [math( h: A to B )]가 존재한다.

이를 다시쓰면,

가 성립한다.

단사함수 [math(f: A to B )]와 [math(g: B to A )]가 있을 때, 집합열 [math( left(C_n right))]을 다음과 같이 정의한다.

그리고, [math(displaystyle C = bigcup_{n=0}^{infty} C_n)]이라 할 때, 함수 [math( h: A to B )]를 다음과 같이 정의한다.

그러면 [math( h )]는 전단사함수가 된다.

먼저, 단사함수가 되는 것을 보인다. [math(x_1, x_2 in A )]가 있다고 하자[math( left(x_1 neq x_2right) )]. [math( f, g^{-1} )]는 각각 정의된 영역에서 단사이므로 [math(x_1 in C, x_2 in Asetminus C )]인 경우만 살피면 충분하다. [math(x_1 in C)]이므로, [math(x_1 in C_n)]인 n이 존재한다. 따라서 [math( left(C_n right))]의 정의로부터 [math(gleft(fleft(x_1right)right) in C_{n+1} )]이 성립하고, [math( g^{-1}left(x_2right) in Bsetminus g^{-1}left(Cright))]이므로 [math( fleft(x_1right)neq g^{-1}left(x_2right) )]이다. 즉, [math( hleft(x_1right)neq hleft(x_2right) )]

다음으로, 전사함수가 됨을 보인다. 임의로 [math(y in B )]를 택했을 때, [math(y in fleft(Cright) )]라면 당연히 [math(y in hleft(Aright) )]이다. 만약 [math(y notin fleft(Cright) )]이라면 [math(g)]가 단사이므로

이다. 또한 정의에 의해 [math(gleft(yright) notin C_0 )]이다. 따라서 [math(gleft(yright) notin C )]이고, 이는 [math(gleft(yright) in Asetminus C )]라는 뜻이다. 따라서 [math(y in hleft(Aright) )]이다.