분류
1. 개요
비탈리 집합(Vitali set)은 르베그 불가측 집합의 예시이다.
2. 상세
<math>E</math>를 양의 르베그측도를 갖는 <math>mathbb{R}</math>의 임의의 유계 부분집합이라고 하고, <math>E</math>에 동치관계 <math>sim</math>를 아래와 같이 정의하자.
<math>xsim y iff x-y in mathbb{Q}</math>
그러면, 선택공리에 의해서, 각 동치류에서 대표 원소를 1개씩 뽑을 수 있다. 이렇게 뽑은 대표 원소들의 집합을 <math>V</math>라고 하자. 그러면, <math>V</math>는 르베그 불가측 집합이다.
2.1. 증명
서로 다른 임의의 <math>q_{1},q_{2}inmathbb{Q}</math>에 대해 <math>(V+q_{1})cap (V+q_{2})=emptyset</math>인 것에 주목하자. <math>E</math>가 유계이므로,
<math>V subset E subset [-a,a]</math>
인 양수 <math>a</math>가 존재한다. <math>I=[-2a,2a]cap mathbb{Q}</math>라고 하자. 그러면, 임의의 <math>xin E</math>에 대해서, 적당한 유리수 <math>qin I</math>가 존재해서, <math>xin V+q</math>이 성립한다. 즉,
<math>Esubset displaystylebigcup _{qin I}(V+q)</math>.
이제, <math>V</math>가 르베그 가측집합이라고 가정하면 르베그 측도의 이동불변성에 의하여 <math>V+q</math>도 가측이고, <math>m(V+q)=m(V)</math>가 성립하여,
<math>m(E)leq mleft(displaystylebigcup_{qin I}(V+q)right)= displaystylesum_{qin I } m(V+q) =sum_{n=1}^{infty}m(V)</math>
이다. 그런데, <math>cup_{qin I}(V+q)</math>는 유계이므로, <math>0<m(cup_{qin I}(V+q))<infty</math>인데, <math>sum_{n=1}^{infty}m(V)<infty</math>이려면, <math>m(V)=0</math>이여야 하므로, 모순이다.