1. 개요
비에타 정리(Vieta's formula)
체 [math(F)] 위에서 차수 [math(n)]의 다항식 [math(displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + cdots + a_{1} x + a_0)]
의 근이 중복을 포함하여 [math(alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n)]으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 [math(a_k)]는 다음의 식으로 나타낼 수 있다. ([math(0 le k le n)])
[math(displaystyle (-1)^k frac{a_{n-k}}{a_n} = sum_{1 le i_1 < i_2 < cdots < i_k le n} alpha_{i_1} cdots alpha_{i_k})]
위 식의 우변은 n개의 수 [math(alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n)] 중 서로 다른 [math(k)]개를 선택해서 더한 것으로, 보통 기본 대칭다항식(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 [math(s_k(alpha_1, cdots, alpha_n))]으로 표기한다.
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비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 [math(-a_{n-1}/a_n)], 모든 근의 곱은 [math((-1)^n a_0/a_n)]이 된다.
정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태
[math(displaystyle f(x) = sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- alpha_1)(x-alpha_2) cdots (x - alpha_n))]
에서 양변의 [math(x^{n-k})]의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 [math(x)]가 [math((n-k))]번 선택되어야 하므로 근 [math(alpha_i)] 중에서 [math(k)]개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 [math((-1)^k)] 부분은 [math((-alpha_i))]들을 [math(k)]번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. ([math(alpha_1 = cdots = alpha_n)]이면 실제로 이항정리가 되기는 한다.)
비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 대칭다항식 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 근들에 대한 모든 대칭다항식은 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 [math(alpha, beta)]에 대한 다항식 중 [math(alpha leftrightarrow beta)] 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 [math(alpha+beta, alpha beta)]의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 [math(alpha_k)]의 [math(m)]제곱의 합을 구하는 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 [math(n)]차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다.
비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 대칭다항식 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 근들에 대한 모든 대칭다항식은 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 [math(alpha, beta)]에 대한 다항식 중 [math(alpha leftrightarrow beta)] 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 [math(alpha+beta, alpha beta)]의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 [math(alpha_k)]의 [math(m)]제곱의 합을 구하는 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 [math(n)]차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다.