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1. 개요
불완전 베타 함수(Incompete beta function)은 다음 적분을 의미한다.3변수 함수이다.
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )=int_{0}^{a}{x}^{b-1}left ( 1-x right )^{c-1} mathrm{d}x)]
베타 함수는 불완전 베타 함수에서 [math(displaystyle a=1)]인 경우이다.
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )=int_{0}^{a}{x}^{b-1}left ( 1-x right )^{c-1} mathrm{d}x)]
베타 함수는 불완전 베타 함수에서 [math(displaystyle a=1)]인 경우이다.
2. 무한급수 표현
우선 포흐하머 기호에 대해서 알아보자.
이 함수를 무한급수로 표현할 때 등장하는 식은 하강 계승이다.
따라서
[math(displaystyle left ( a right )_{b}=frac{Gammaleft ( a+b right )}{Gammaleft ( a right )})]이다.
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )={a}^{b}sum_{n=0}^{infty}frac{{a}^{n}frac{Gammaleft ( 1-b+n right )}{Gammaleft ( 1-b right )}}{n!left ( b+n right )})]
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )=frac{{a}^{b}}{Gammaleft ( 1-b right )}sum_{n=0}^{infty}frac{{a}^{n}Gammaleft ( n+1-b right )}{n!left ( b+n right )})]
단 위 식은 a의 절댓값이 1 이하일 때만 수렴하는 것으로 보인다.
이 함수를 무한급수로 표현할 때 등장하는 식은 하강 계승이다.
따라서
[math(displaystyle left ( a right )_{b}=frac{Gammaleft ( a+b right )}{Gammaleft ( a right )})]이다.
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )={a}^{b}sum_{n=0}^{infty}frac{{a}^{n}frac{Gammaleft ( 1-b+n right )}{Gammaleft ( 1-b right )}}{n!left ( b+n right )})]
[math(displaystyle Betaleft ( a,b,c right )=frac{{a}^{b}}{Gammaleft ( 1-b right )}sum_{n=0}^{infty}frac{{a}^{n}Gammaleft ( n+1-b right )}{n!left ( b+n right )})]
단 위 식은 a의 절댓값이 1 이하일 때만 수렴하는 것으로 보인다.
3. 활용
3.1. x^5의 0에서 5까지 곡선의 길이를 다르게 표현하기
우선 위 함수의 도함수는 의문의 여지 없이 [math(displaystyle 5{x}^{4})]이다.
따라서 우리는 [math(displaystyle int_{0}^{5} sqrt{1+25{x}^{8}},mathrm{d}x)]를 구해줘야 한다.
[math(displaystyle int_{0}^{5}sqrt{1+25{x}^{8}},mathrm{d}x)]
[math(displaystyle x={e}^{frac{-i pi}{8}}t=gleft ( t right ))]
[math(displaystyle frac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x}={e}^{frac{i pi}{8}})]
[math(displaystyle {e}^{frac{-i pi}{8}}int_{0}^{5{e}^{-frac{i pi}{8}}}sqrt{1-25{t}^{8}},mathrm{d}t)]
[math(displaystyle {25}{t}^{8}=z)]
[math(displaystyle {t}^{8}=frac{z}{25})]
[math(displaystyle t=sqrt[8]{frac{z}{25}})]
[math(displaystyle frac{dt}{dz}={8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{t}^{-frac{7}{8}})]
[math(displaystyle {8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{e}^{-frac{i pi}{8}}int_{0}^{-25times{5}^{8}}left ( 1-t right )^{frac{1}{2}}{t}^{-frac{7}{8}},mathrm{d}t)]
[math(displaystyle {8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{e}^{-frac{i pi}{8}}Betaleft ( -25times{5}^{8},frac{1}{8},frac{3}{2} right ))]
값은 대략 3125.673 정도이다.
따라서 우리는 [math(displaystyle int_{0}^{5} sqrt{1+25{x}^{8}},mathrm{d}x)]를 구해줘야 한다.
[math(displaystyle int_{0}^{5}sqrt{1+25{x}^{8}},mathrm{d}x)]
[math(displaystyle x={e}^{frac{-i pi}{8}}t=gleft ( t right ))]
[math(displaystyle frac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x}={e}^{frac{i pi}{8}})]
[math(displaystyle {e}^{frac{-i pi}{8}}int_{0}^{5{e}^{-frac{i pi}{8}}}sqrt{1-25{t}^{8}},mathrm{d}t)]
[math(displaystyle {25}{t}^{8}=z)]
[math(displaystyle {t}^{8}=frac{z}{25})]
[math(displaystyle t=sqrt[8]{frac{z}{25}})]
[math(displaystyle frac{dt}{dz}={8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{t}^{-frac{7}{8}})]
[math(displaystyle {8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{e}^{-frac{i pi}{8}}int_{0}^{-25times{5}^{8}}left ( 1-t right )^{frac{1}{2}}{t}^{-frac{7}{8}},mathrm{d}t)]
[math(displaystyle {8}^{-1}{5}^{-frac{1}{4}}{e}^{-frac{i pi}{8}}Betaleft ( -25times{5}^{8},frac{1}{8},frac{3}{2} right ))]
값은 대략 3125.673 정도이다.