위에서 다뤘던 LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자.
| [math(displaystyle f(x)=e^{x} qquad qquad g'(x)=cos{x} )] |
따라서
| [math(displaystyle f'(x)=e^{x} qquad qquad g(x)=sin{x} )] |
이상에서 부분적분 공식에 대입하면,
| [math(displaystyle begin{aligned} int e^{x}cos{x},mathrm{d}x = e^{x}sin{x}-int e^{x}sin{x} ,mathrm{d}x end{aligned} )] |
우리는 우변의 제 2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분 하면,
| [math(displaystyle int e^{x}sin{x} ,mathrm{d}x=-e^{x}cos{x}+int e^{x}cos{x},mathrm{d}x )] |
이상에서
| [math(displaystyle begin{aligned} int e^{x}cos{x},mathrm{d}x = e^{x}sin{x}+e^{x}cos{x}-int e^{x}cos{x},mathrm{d}xend{aligned} )] |
이고, 이것을 다시 쓰면,
| [math(displaystyle begin{aligned} 2int e^{x}cos{x},mathrm{d}x = e^{x}(sin{x}+cos{x})end{aligned} )] |
이므로 우리는 부정적분으로 다음을 얻는다:
| [math(displaystyle begin{aligned} int e^{x}cos{x},mathrm{d}x =frac{1}{2} e^{x}(sin{x}+cos{x})+ mathsf{const.} end{aligned} )] |
[math(mathsf{const.})]는 적분 상수이다.
[별해]세로셈 방법을 사용한다.
| [math(displaystyle frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x})] | [math(displaystyle int ,mathrm{d}x)] | |
| [math(+)] | [math(cos{x})] | [math(e^{x})] | [math(displaystyle int e^{x} cos{x} ,mathrm{d}x=)] |
| [math(-)] | [math(-sin{x})] | [math(e^{x})] | [math(displaystyle +e^{x}cos{x})] |
| [math(+)] | [math(-cos{x})] | [math(e^{x})] | [math(displaystyle +e^{x}sin{x})] |
| [math(rightarrow)] | [math(displaystyle -int e^{x} cos{x} ,mathrm{d}x)] |
이상에서
| [math(displaystyle int e^{x} cos{x} ,mathrm{d}x=e^{x}(sin{x}+cos{x})-int e^{x} cos{x} ,mathrm{d}x )] |
양변을 이항하고, 정리하면, 다음을 얻는다:
| [math(displaystyle begin{aligned} int e^{x}cos{x},mathrm{d}x =frac{1}{2} e^{x}(sin{x}+cos{x})+mathsf{const.} end{aligned} )] |