1. 설명
[math(displaystyle Beta(p,,q)=int_{0}^{1}x^{p-1}left(1-xright)^{q-1}mathrm{d}x)] |
여기서 [math(p>0,,q>0)]이다.
2. 성질
베타 함수는 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 할 수 있다.
[math(displaystyle Beta(p,,q)=frac{q-1}{p+q-1}Beta(p,,q-1))] [math(displaystyle Beta(n-k+1,,k+1)=left[(n+1){nchoose k}right]^{-1})] |
[math(displaystyle Beta(p,,q)=2int_{0}^{frac{pi}{2}}left(sinthetaright)^{2p-1}left(costhetaright)^{2q-1}mathrm{d}theta)] |
[math(displaystyle Beta(p,,q)=frac{Gamma(p)Gamma(q)}{Gamma(p+q)})] |
이는 야코비안을 통해 유도할 수 있다.
한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,
【유도 과정】
<math>displaystyle Gamma(p)Gamma(q) \= int_0^infty x^{p-1} e^{-x},mathrm{d}x , int_0^infty y^{q-1} e^{-y} mathrm{d}y \= int_0^infty int_0^infty x^{p-1} y^{q-1} e^{-x-y},mathrm{d}x mathrm{d}y </math>
여기서 [math(x=uv,,y=u left( 1-v right) )]라 하면 [math(v in [0,,1],, u in [0,,infty),, left| J right| = u)]이므로
<math>displaystyle = int_0^1 int_0^infty left( uv right) ^{p-1} left( u left( 1-v right) right) ^{q-1} e^{-u} u mathrm{d}u mathrm{d}v \= int_0^1 int_0^infty v^{p-1} left( 1-v right) ^{q-1} u^{p+q-1} e^{-u},mathrm{d}u mathrm{d}v \= int_0^1 v^{p-1} left( 1-v right) ^{q-1},mathrm{d}v int_0^infty u^{p+q-1} e^{-u},mathrm{d}u = Beta (p,,q) Gamma (p+q)</math>
【출처】 https://ghebook.blogspot.com/2011/12/beta-function.html
여기서 [math(x=uv,,y=u left( 1-v right) )]라 하면 [math(v in [0,,1],, u in [0,,infty),, left| J right| = u)]이므로
<math>displaystyle = int_0^1 int_0^infty left( uv right) ^{p-1} left( u left( 1-v right) right) ^{q-1} e^{-u} u mathrm{d}u mathrm{d}v \= int_0^1 int_0^infty v^{p-1} left( 1-v right) ^{q-1} u^{p+q-1} e^{-u},mathrm{d}u mathrm{d}v \= int_0^1 v^{p-1} left( 1-v right) ^{q-1},mathrm{d}v int_0^infty u^{p+q-1} e^{-u},mathrm{d}u = Beta (p,,q) Gamma (p+q)</math>
【출처】 https://ghebook.blogspot.com/2011/12/beta-function.html
한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,
[math(displaystyle Beta(p,,q)=Beta(q,,p))] |
이 성립한다. 이는 베타 함수의 정의에서 [math(x)]를 [math(1-x)]로 치환하면 바로 나온다.
특수한 경우로 [math(p+q=1)]을 만족한다면 아래와 같이 나온다.
특수한 경우로 [math(p+q=1)]을 만족한다면 아래와 같이 나온다.
[math(displaystyle Beta(p,,1-p)=frac{pi}{sin ppi})] |
이것은 베타 함수를 감마함수로만 바꾸면 금방 증명된다.
3. 일반화
베타 함수는 정의식 중 적분의 위끝이 [math(1)]이다. 이때 위끝을 [math(1)]이 아닌 일반적인 상수로 정하게 되면 불완전 베타 함수가 된다. 즉, 불완전 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.
[math(displaystyle Beta(a;,p,,q)=int_{0}^{a}x^{p-1}left(1-xright)^{q-1}mathrm{d}x)] |
4. 고등학교 교육과정에서의 활용
[math(displaystyle int_alpha^beta (x-alpha)^m (beta-x)^n ,{rm d}x = frac{m!n!(beta-alpha)^{m+n+1}}{(m+n+1)!}\
int_0^{fracpi2} sin^{2m+1} theta cos^{2n+1} theta ,{rm d}theta = frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\
int_0^{fracpi2} sin^{2m} theta cos^{2n+1} theta ,{rm d}theta = int_0^{fracpi2} sin^{2n+1} theta cos^{2m} theta ,{rm d}theta = frac{4^n}{2m+2n+1} frac{{}_{m+n} {rm C}_n}{{}_{2m+2n} {rm C}_{2n} {}_{2n} {rm C}_n}\
int_0^{fracpi2} sin^{2m} theta cos^{2n} theta ,{rm d}theta = frac{pi}{2^{2m+2n+1}} frac{{}_{2m} {rm C}_m {}_{2n} {rm C}_n}{{}_{m+n} {rm C}_{n}}\
int_0^{fracpi2} tan^p theta ,{rm d}theta = int_0^{fracpi2} cot^p theta ,{rm d}theta = fracpi2 sec fracpi2 p ,, (left| p right| < 1)\
int_0^infty frac1{x^k+1} ,{rm d}x = frac{frac pi k}{sin frac pi k} ,, (k>1)\
int_0^1 left( frac1t -1 right)^x ,{rm d}t = frac{pi x}{sin pi x}
)]
int_0^{fracpi2} sin^{2m+1} theta cos^{2n+1} theta ,{rm d}theta = frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\
int_0^{fracpi2} sin^{2m} theta cos^{2n+1} theta ,{rm d}theta = int_0^{fracpi2} sin^{2n+1} theta cos^{2m} theta ,{rm d}theta = frac{4^n}{2m+2n+1} frac{{}_{m+n} {rm C}_n}{{}_{2m+2n} {rm C}_{2n} {}_{2n} {rm C}_n}\
int_0^{fracpi2} sin^{2m} theta cos^{2n} theta ,{rm d}theta = frac{pi}{2^{2m+2n+1}} frac{{}_{2m} {rm C}_m {}_{2n} {rm C}_n}{{}_{m+n} {rm C}_{n}}\
int_0^{fracpi2} tan^p theta ,{rm d}theta = int_0^{fracpi2} cot^p theta ,{rm d}theta = fracpi2 sec fracpi2 p ,, (left| p right| < 1)\
int_0^infty frac1{x^k+1} ,{rm d}x = frac{frac pi k}{sin frac pi k} ,, (k>1)\
int_0^1 left( frac1t -1 right)^x ,{rm d}t = frac{pi x}{sin pi x}
)]