1. 개요
해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 [math(left(1+xright)^r)]를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.
2. 증명
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- 1) [math(r=0)]일 때, [math(left(1+xright)^0geq1+0cdot x Leftrightarrow 1geq1)]이므로 성립.
- 2) [math(r=k)]일 때 성립한다 가정하자. 그럼, [math(left(1+xright)^kgeq1+kx)]. 한편, [math(left(1+xright)^{k+1}=left(1+xright)^kcdotleft(1+xright)geqleft(1+kxright)left(1+xright)=1+kx+x+kx^2=1+left(k+1right)x+kx^2geq1+left(k+1right)x)]이므로 [math(r=k+1)]일 때도 성립.
3. 확장
위 부등식으로는 [math(left(1+xright)^r)]를 근사하는게 가능하나, 원래 식보다 작은값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 큰값으로 추정을 하기 위해선 자연로그의 밑 [math(e)]을 활용한다. 곧,
[math(left(1+xright)^rleq e^{rx})]
이다. 증명은 [math(left(1+frac{1}{x}right)^x<e)]임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,
<tablebgcolor=math>1+rxleqleft(1+xright)^rleq e^{rx}</math>
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가 되고, 이는 [math(left(1+xright)^r)]의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.
그런데 만약 [math(r)]이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 [math(r)]의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
그런데 만약 [math(r)]이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 [math(r)]의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
[math(xgeq-1)]일 때, [math(begin{cases} left(1+xright)^rgeq1+rxquad & text{ if }rgeq1,,rleq0 \ left(1+xright)^rleq1+rxquad & text{ if }0leq rleq1end{cases})]