1. 알못을 위한 소개
motive를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소 해석을 생각해보자다. 복소 해석 하면 그 영역에 대한 극좌표 변환과 같은 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적(analytic)이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, differential forms들과 closed curve 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 de Rham theorem이라고 부른다. homology란 적분에 의해서 잘 변하는 closed curve의 모임, cohomology는 적분에 의해서 잘 변하는 differential forms들의 모임으로 부를 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 호지 이론. 그리고 이것을 더 일반화시킨 것이 motive다.
어째 여전히 수학과가 아니고서야 이해가 불가능한 것 같다. 수학과인데도 구어체라 알아보기 힘들다
2. 역사
1960년대 etale cohomology가[1]가 만들어졌다. etale cohomology는 Weil conjecture라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 etale cohomology로 Weil conjecture는 풀리게 된다. 하지만 Grothendieck는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, Weil conjecture를 풀 수 있는 적당한 cohomology를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 cohomology와 성질이 거의 같은 cohomology를 finite field 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문이었다. 그렇게 해서 etale cohomology같은 cohomology를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 Grothendieck의 생각이었고, 그렇게 해서 motive라는 것을 생각하게 되었다.
3. 개요
그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. [math(ksubseteq Bbb{C})]를 field라고 하고 [math( mathrm{Var}_{k})]를 [math(k)] 위의 모든 smooth projective (not assumed connected) variety라고 해보자. 그리고 [math( E)]를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 [math(mathrm{Gr}_{E})]를 [math(E)] 위의 category of finite dimensional graded [math(E)]-vector space라고 하자. 그렇다면 [math( mathrm{Gr}_{E})]엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
[math( (V otimes W)_n=bigoplus_{i+j=n}V_iotimes W_j)]
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor [math( H^*:mathrm{Var}_{k}^{mathrm{op}}to mathrm{Gr}_{E})]를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
[math( K_{X,Y}:H^*(X)otimes H^*(Y)cong H^*(Xtimes Y))]
를 생각할 수 있다.
[math( (V otimes W)_n=bigoplus_{i+j=n}V_iotimes W_j)]
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor [math( H^*:mathrm{Var}_{k}^{mathrm{op}}to mathrm{Gr}_{E})]를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
[math( K_{X,Y}:H^*(X)otimes H^*(Y)cong H^*(Xtimes Y))]
를 생각할 수 있다.
Nomalization. [math( <math>H^2(Bbb{P}^1))]은 [math(mathrm{Gr}_{E})]에서 invertible이다. 이제 [math(Vin mathrm{Gr}_{E})]라면
[math(V(r)=Votimes H^2(Bbb{P}^1)^{-otimes r})] 라고 정의하자. |
Trace axiom. [math( <math>X)]가 equidimension [math(d)]를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism
[math(mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)to E)] 가 있어서 다음 둘을 만족한다. (a) [math(K_{X,Y})]에 의해서 [math(mathrm{Tr}_{Xtimes Y}=mathrm{Tr}_{X}circ mathrm{Tr}_{Y})]다. 그러니까 [math(d_X)]가 [math(X)]의 dimension이라면 [math(H^{2d}(Xtimes Y)(d_X+d_Y)overset{K_{X,Y}}{longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)overset{mathrm{id}otimes mathrm{Tr}_{Y}}{longrightarrow} Eotimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)longrightarrow E)] 와 그냥 [math(mathrm{Tr}_{Xtimes Y})]로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다. (b) 다음 morphism을 생각하자. [math(H^*(X)otimes H^*(X)overset{K_{X,X}}{longrightarrow}H^*(X)otimes H^*(X)overset{Delta^*}{longrightarrow}H^*(X))] 여기에서 [math( Delta)]는 [math(x)]를 [math((x,x))]로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면 [math( H^{i}(X)times H^{2d-i}(X)(d)longrightarrow H^{2d}(X)(d)longrightarrow E)] 라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다. |
cycle class map. [math( <math>Z^r(X))]를 codimension [math(r)]인 integral closed scheme [math(Zhookrightarrow X)]들을 basis로 하는 [math(Bbb{Q})]라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다.
gamma^r_{X}:Z^r(X)longrightarrow H^{2r}(X)(r) 그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다. (a) [math(gamma^r_{X})]는 Chow group을 만든다. Chow group은 [math(Z^r(X))]을 rational equivalence로 나눈 것. (b) [math(gamma^r_{X})]는 contravariant다. 그러니까 [math( f^*gamma^r_{Y}(Z)=gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z]))] 가 된다. 여기에서 [math(f)]는 flat이어야 하는데, 그 이유는 [math([f^{-1}Z])]를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨져서 정의를 못 한다. (c) [math(alphain Z^r(X),betain Z^s(Y))]라면 [math( gamma^r_{X}(alpha)times gamma^s_Y(beta)=gamma^{r+s}(alphatimes beta))] 가 된다. 이 때에도 [math(alphatimes beta)]가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다. (d) [math( Z^d(X)longrightarrow H^{2d}(X)(d)longrightarrow E)] 는 [math([P_i])]를 [math([k(P_i):k])]로 보낸다. |