문서:모노이드

분류

대수학

1. 개요2. 정의3. 자유 모노이드(free monoid)4. 가환 모노이드의 [[알렉산더 그로텐디크|그로센딕]] 확장(Grothendieck extension)

Monoid

1. 개요

대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.

2. 정의

[math(M)]과 그 위의 이항연산[math(*)][1]에 대해, [math(left(M,*, eright))]가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.

(결합법칙; associativity) 임의의 [math(a,b,cin M)]에 대해, [math(a*left(b*cright)=left(a*bright)*c)]

(항등원의 존재; identity) 적절한 [math(ein M)]이 존재하여[3]를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.], 임의의 [math(a)]에 대해, [math(a*e=a=e*a)]

이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) [math(mathbb{N})]이다. 곱셈에 대해서 [math(mathbb{Z})]도 군이 아닌 모노이드이다.

3. 자유 모노이드(free monoid)

자유 모노이드는 집합 [math(X)]위에서 정의된다.집합 [math(X)]에 대한 자유 모노이드 [math(Fleft(Xright))][4]는 [math(X)]의 원소들로 이루어진 단어[5])]]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열[math(e=left[right])]이다. 예를 들어, [math(X=left{a,bright})]에 대해, 다음이 성립한다.

[math(left[right],left[aright],left[bright],left[babaaright]in Fleft(Xright))]
[math(left[ababaright]*left[abaaaaaaaright]=left[ababaabaaaaaaaright])]

[math(left|Xright|>1)]이면 [math(Fleft(Xright))]는 비가환이고, [math(left|Xright|=1)]이면 [math(Fleft(Xright)=N)], [math(left|Xright|=0)]이면 [math(Fleft(Xright)=left{left[right]right})]이다.

4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)

모노이드 [math(M)]에 대해, [math(M^{2})]위의 동치류 [math(equiv)]를 다음과 같이 정의한다.

TFAE
[math(left(a,bright)equivleft(x,yright))]
[math(exists min M aym=bxm)][7]의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다. ]

그리고 [math(~)]에 의한 [math(left(a,bright))]의 동치류를 [math(left[a,bright]in M^{2}/equiv)]라 하자. 이 위의 연산 [math(cdot)]을 [math(left[a,bright]cdot left[x,yright]=left[ax,byright])]라 주면, 이는 결합적이고[math([e,e])]이 항등원으로 가지며, [math([a,b])]의 역원은 [math([b,a])]이다. 즉, [math(left(M^{2}/equiv,cdotright))]은 군이다.

[1] *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서 [math(e)[3] 여기서 [math(e)[4] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다. [5] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [math(displaystyle left[cdotright[6] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. [math(m)[7] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. [math(m)