분류
1. 개요
리만 재배열 정리는 조건수렴하는 무한급수의 더하는 순서를 적당히 바꿔서, 임의의 값으로 수렴하거나, ±∞로 발산하도록 할 수 있다는 정리이다. 무한번 더하는 것은, 유한 번 더하는 것과는 다르다는 것을 나타내주는 예시 중 하나이다.
2. 상세
실수열 [math(a_{n})]에 대하여, [math(displaystylesum_{n=1}^{infty}a_{n})]이 수렴하고, [math(displaystylesum_{n=1}^{infty}|a_{n}|)]은 발산한다고 하자. 그러면, 임의의 확장된 실수 [math(rinmathbb{R}cup{pm infty})]에 대하여 [math(displaystylesum_{n=1}^{infty}a_{sigma(n)}=r )]를 만족하는 일대일대응 [math(sigma:mathbb{N}tomathbb{N})][2]이 존재한다.
사실, 꼭 조건 수렴할 필요는 없다. 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 발산하고, 일반항은 0으로 수렴하면 된다. 급수가 조건 수렴하는 경우, 양수항만 더한 급수와 음수항만 더한 급수가 각각 <math>pminfty</math>로 발산한다는 사실은 급수의 연산법칙에 의해 쉽게 유도할수 있다.
2.1. 재배열 하는 방법
재배열 하는 방법이 유일하지는 않지만, 항상 원하는 수렴값으로 재배열 할 수 있는 일반적인 방법이 있다.
급수가 조건수렴하는 수열 [math(a_{n})]이 주어졌을 때, 수열 [math(a^{+}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음이 아닌 항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하고, 반대로, 수열 [math(a^{-}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음수항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하자. (예를 들어서 [math(a_{n}=displaystylefrac{(-1)^{n-1}}{n})]이라고 하면, [math(a^{+}_{n}=displaystylefrac{1}{2n-1})], [math(a^{-}_{n}=-displaystylefrac{1}{2n})]이 된다. ) 이 때, [math(a^{pm}_{n})]는 모두 0으로 수렴하고, 급수는 [math(pminfty)]로 발산하는데, 수열을 재배열해서 급수를 [math(Linmathbb{R})]로 수렴시키고 싶으면,
급수가 조건수렴하는 수열 [math(a_{n})]이 주어졌을 때, 수열 [math(a^{+}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음이 아닌 항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하고, 반대로, 수열 [math(a^{-}_{n})]을 [math(a_{n})]의 음수항을 순서대로 늘어놓은 수열이라고 하자. (예를 들어서 [math(a_{n}=displaystylefrac{(-1)^{n-1}}{n})]이라고 하면, [math(a^{+}_{n}=displaystylefrac{1}{2n-1})], [math(a^{-}_{n}=-displaystylefrac{1}{2n})]이 된다. ) 이 때, [math(a^{pm}_{n})]는 모두 0으로 수렴하고, 급수는 [math(pminfty)]로 발산하는데, 수열을 재배열해서 급수를 [math(Linmathbb{R})]로 수렴시키고 싶으면,
- L을 넘을때까지 <math>a_{n}^{+}</math>을 차례대로 더한다.
즉, [math(a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}}>L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{1})]을 찾는다. - 1에 이어서 L보다 작아질때까지 <math>a_{n}^{-}</math>을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+cdots+a^{-}_{m_{2}})<L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{2})]을 찾는다. - 2에 이어서 L보다 커질때까지 <math>a_{n}^{+}</math>을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+cdots+a^{+}_{m_{3}})>L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{3})]을 찾는다. - 3에 이어서 L보다 작아질때까지 <math>a_{n}^{+}</math>을 차례대로 더한다.
즉, [math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+(a^{-}_{1}+cdots+a^{-}_{m_{2}})+(a^{+}_{m_{1}+1}+cdots+a^{+}_{m_{3}})+(a^{-}_{m_{2}+1}+cdots+a^{-}_{m_{4}})<L)] 을 만족하는 최소 자연수 [math(m_{4})]을 찾는다. - [math(cdots)]. [4]에 대해 [math(sum_{n=m}^{infty}a^{+}_{n})]가 무한대로 발산하고,[math(sum_{n=m}^{infty}a^{-}_{n})]은 음의 무한대로 발산하기 때문.]
위와 같이 [math(L)]을 기준으로 왔다리 갔다리 하다보면, 점점 [math(L)]에 가까워지게 된다. 왜냐하면, [math(m_{i})]까지 찾았다면,
[math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+cdots+a^{+}_{m_{i}})>L geq(a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{+}_{m_{i-2}}+cdots+a^{+}_{m_{i}})-a^{+}_{m_{i}})] 또는,
[math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+cdots+a^{-}_{m_{i}})<L leq (a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+cdots+a^{-}_{m_{i}})-a^{-}_{m_{i}})]
[math((a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+cdots+a^{-}_{m_{i}})<L leq (a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{-}_{m_{i-2}}+cdots+a^{-}_{m_{i}})-a^{-}_{m_{i}})]
가 성립해서, [math(m_{i-1}< k< m_{i+1})]일 때,
[math(left|(a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+left(displaystylesum_{i=m_{i-1}+1}^{k}a^{mp}_{i}right)-L right|leqleft|(a^{+}_{1}+cdots+a^{+}_{m_{1}})+cdots+(a^{pm}_{m_{i-2}+1}+cdots+a^{pm}_{m_{i}})-L right|leq|a^{pm}_{m_{i}}|)]
인데, 우변이 0으로 수렴하기 때문이다.
[math(L=pminfty)]로 발산하게 만들고 싶으면, 왔다리 갔다리 하는 기준이 되는 수를 점점 키우거나, 점점 줄이면 된다.
[math(L=pminfty)]로 발산하게 만들고 싶으면, 왔다리 갔다리 하는 기준이 되는 수를 점점 키우거나, 점점 줄이면 된다.
2.2. 함의
두 무한급수의 곱을 계산할 때, 전개하는 순서에 따라서 값이 달라질 수 있다. 대개 코시곱이라고 부르는 순서로 전개하는데, 이 방법은 가로축과 세로축에 각 수열의 항을 쓰고 축이 만나는 곳마다 두 항의 곱을 계산한 뒤 대각선을 따라 지그재그로 전개하는 것이라 볼 수 있다. 그런데 이 순서로 전개하면 조건수렴하는 무한급수끼리 곱해서 발산하는 급수를 얻는 게 가능하다. 위키백과에는 [math(a_{n}=frac{(-1)^n}{sqrt{n}})]로 주어진 수열의 무한급수를 자기자신과 곱하는 예시가 나온다.