분류
1. 개요
2. 증명의 대략적 아이디어
디리클레 정리의 증명에는 리만 제타 함수에서 따온 오일러 곱(Euler product)의 아이디어가 중요하게 사용된다. 예를 들어 4n+1꼴 소수와 4n+3 꼴 소수의 개수가 모두 무한히 많다는 것을 증명하기 위해서는, 다음과 같은 오일러 곱 둘을 생각할 수 있다.
[math( f_1(s)=displaystyle 1 + frac{1}{3^s} + frac{1}{5^s} + frac{1}{7^s} + cdots = prod_{p equiv 1} left(1 - frac{1}{p^s} right)^{-1} prod_{q equiv 3} left(1 - frac{1}{q^s} right)^{-1} )]
[math( f_2(s)=displaystyle 1 - frac{1}{3^s} + frac{1}{5^s} - frac{1}{7^s} +cdots= prod_{p equiv 1} left(1 - frac{1}{p^s} right)^{-1} prod_{q equiv 3} left(1 + frac{1}{q^s} right)^{-1} )]
[math( f_2(s)=displaystyle 1 - frac{1}{3^s} + frac{1}{5^s} - frac{1}{7^s} +cdots= prod_{p equiv 1} left(1 - frac{1}{p^s} right)^{-1} prod_{q equiv 3} left(1 + frac{1}{q^s} right)^{-1} )]
([math(p,q)]는 모두 소수, 하단 곱에서 합동식 기호는 법 4에 대해서)
만약 4n+3꼴 소수들인 q의 개수가 유한하다고 하면, 두 함수의 비율 [math(f_1/f_2)]는 유한개의 0이 아닌 수들의 곱으로 이루어져 있을 것이다. 한편 [math(s rightarrow 1)]의 극한을 생각하면, [math(f_1(1))]은 발산하는데 [math(f_2(1))]은 교대수렴한다. 이는 [math(f_1(1)/f_2(1))]이 0이 아닌 수가 된다는 것과 모순이므로 가정이 잘못되었고, 따라서 4n+3꼴 소수는 무한히 있어야 한다.
4n+1꼴 소수에 대해서는 대신 곱 [math(f_1 f_2)]을 생각할 수 있고, 만약 p의 개수가 유한하다 하면 이 곱이 [math(s rightarrow 1)]일 때 0이 아닌 유한한 수로 수렴함을 보일 수 있는데, q에 대한 곱 [math(prod_{q} (1- q^{2s})^{-1})]이 [math(s=1)]에서 수렴하기 때문이다. 여기서 모순을 보이려면 [math(f_2(1))]의 값이 실제로 0이 아닌 것을 계산해서 보여야 하는 과정이 추가되긴 한다.
위에 예로 든 [math(f_1, f_2)]는 모두 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 정의되는 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)
만약 4n+3꼴 소수들인 q의 개수가 유한하다고 하면, 두 함수의 비율 [math(f_1/f_2)]는 유한개의 0이 아닌 수들의 곱으로 이루어져 있을 것이다. 한편 [math(s rightarrow 1)]의 극한을 생각하면, [math(f_1(1))]은 발산하는데 [math(f_2(1))]은 교대수렴한다. 이는 [math(f_1(1)/f_2(1))]이 0이 아닌 수가 된다는 것과 모순이므로 가정이 잘못되었고, 따라서 4n+3꼴 소수는 무한히 있어야 한다.
4n+1꼴 소수에 대해서는 대신 곱 [math(f_1 f_2)]을 생각할 수 있고, 만약 p의 개수가 유한하다 하면 이 곱이 [math(s rightarrow 1)]일 때 0이 아닌 유한한 수로 수렴함을 보일 수 있는데, q에 대한 곱 [math(prod_{q} (1- q^{2s})^{-1})]이 [math(s=1)]에서 수렴하기 때문이다. 여기서 모순을 보이려면 [math(f_2(1))]의 값이 실제로 0이 아닌 것을 계산해서 보여야 하는 과정이 추가되긴 한다.
위에 예로 든 [math(f_1, f_2)]는 모두 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 정의되는 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)
[math( displaystyle L(s, chi) = sum_{n=1}^{infty} frac{chi(n)}{n^s} = prod_{p} left( 1 - frac{chi(p)}{p^s} right)^{-1} )]
의 일종이다. 여기서 디리클레 지표 [math(chi)]는 주어진 법 [math(a)]에 대해
[math( displaystyle chi(mn) = chi(m) chi(n), chi(n+ak)=chi(n), chi(n) = 0 text{ if } gcd(n,a)>1)]
을 만족하는 함수 [math(chi : mathbb{N} rightarrow mathbb{C})]이다.
위의 경우에선 법은 [math(a=4)]였고, [math(f_1, f_2)]는 법 4에 대해 가능한 모든 L-함수들이었다. 일반적인 법 [math(a)]에 대해서 디리클레 지표는 정확히 기약잉여계 개수만큼 존재하고, 어떤 기약잉여계의 b에 대해서도 이들 지표의 L-함수들을 적절히 지수를 취해서 곱하면 (an+b꼴 소수만으로 이루어진 곱)*(수렴하는 곱) 꼴을 얻어낼 수 있다는 걸 보일 수 있다. 즉 여기까지 왔으면 "[math(L(1,chi))]가 한 경우[1]. 이런 경우를 자명한 지표(trivial character)라고 한다]만 제외하면 모두 0이 아닌 값으로 수렴한다"는 사실만 보여도 디리클레 정리를 증명할 수 있다. 물론 저게 가장 어려운 핵심 부분이지만...
위의 경우에선 법은 [math(a=4)]였고, [math(f_1, f_2)]는 법 4에 대해 가능한 모든 L-함수들이었다. 일반적인 법 [math(a)]에 대해서 디리클레 지표는 정확히 기약잉여계 개수만큼 존재하고, 어떤 기약잉여계의 b에 대해서도 이들 지표의 L-함수들을 적절히 지수를 취해서 곱하면 (an+b꼴 소수만으로 이루어진 곱)*(수렴하는 곱) 꼴을 얻어낼 수 있다는 걸 보일 수 있다. 즉 여기까지 왔으면 "[math(L(1,chi))]가 한 경우[1]. 이런 경우를 자명한 지표(trivial character)라고 한다]만 제외하면 모두 0이 아닌 값으로 수렴한다"는 사실만 보여도 디리클레 정리를 증명할 수 있다. 물론 저게 가장 어려운 핵심 부분이지만...
[1] (a,n)=1이기만 하면 [math(chi(n)=1)