1. 정의
디랙 행렬(Dirac matrix)은 [math(0, pm 1, pm i)]로 이루어진 4개의 행렬이다. 감마 행렬(gamma matrix)라고도 부른다. 정의는 다음과 같다.
[math(displaystyle gamma^0 = begin{pmatrix}
end{pmatrix} )]
[math(displaystyle gamma^1 = begin{pmatrix}
end{pmatrix} )]
[math(displaystyle gamma^2 = begin{pmatrix}
end{pmatrix} )]
[math(displaystyle gamma^3 = begin{pmatrix}
end{pmatrix} )]
이때, 0, 1, 2, 3은 거듭제곱을 의미하는 것이 아니라 그냥 첨자이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.
[math(displaystyle gamma^5 = i gamma^0 gamma^1 gamma^2 gamma^3 = begin{pmatrix}
end{pmatrix} )]
첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.
[math(displaystyle gamma^0 = begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
[math(displaystyle gamma^1 = begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & -1 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 0 & 00 & 0 & 1 & 0 \
0 & -1 & 0 & 0 \
[math(displaystyle gamma^2 = begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \
0 & 0 & i & 0 \
0 & i & 0 & 0 \
-i & 0 & 0 & 00 & 0 & i & 0 \
0 & i & 0 & 0 \
[math(displaystyle gamma^3 = begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1 \
-1 & 0 & 0 & 0 \0 & 0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 & 0
이때, 0, 1, 2, 3은 거듭제곱을 의미하는 것이 아니라 그냥 첨자이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.
[math(displaystyle gamma^5 = i gamma^0 gamma^1 gamma^2 gamma^3 = begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0
첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.
2. 성질
디랙 행렬은 다음과 같은 반교환자(anticommutator) 관계가 성립한다.
[math(displaystyle left{ gamma^mu , gamma^nu right} = gamma^mu gamma^nu + gamma^nu gamma^mu = 2 eta^{mu nu} I )]
이때 [math(eta^{mu nu})]는 민코프스키 계량 텐서 (Minkowski metric)
[math(eta = begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
0 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
의 [math(mu)]행 [math(nu)]열 성분이고, [math(I)]는 [math(4 times 4)] 단위행렬이다.