1. 개요
2. 정의
기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 [math(X)]는 모두 고정된 위상공간이다.
[math(X)]의 두 경로 [math(f, g: I to X)]가 주어져 있을 때, 만일 [math(f)]의 끝점과 [math(g)]의 시작점이 일치한다면[1]인 경우] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.
[math(h(t) = begin{cases} f(2t), & mathsf{if} 0 leq t leq dfrac 12 \ g(2t - 1), & mathsf{if} dfrac 12 leq t leq 1 end{cases})]
붙임 보조정리를 사용하면 [math(h: I to X)]가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 [math(h)]도 [math(X)]의 경로가 된다. 두 경로의 곱 [math(h)]를 [math(f cdot g)]라 표기하기도 한다.
또한 [math(x_0 in X)]에 대하여, 항상 [math(f(t) = x_0)]인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 [math(f: I to X)]에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 [math(x_0 in X)]인 자명 회로를 [math(c_{x_0})]라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 [math(f: I to X)]가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, [math(g(t) = f(1 - t))]로 정의한다. 이 [math(g: I to X)]가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.
이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.
[math(X)]의 두 경로 [math(f, g: I to X)]가 주어져 있을 때, 만일 [math(f)]의 끝점과 [math(g)]의 시작점이 일치한다면[1]인 경우] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.
[math(h(t) = begin{cases} f(2t), & mathsf{if} 0 leq t leq dfrac 12 \ g(2t - 1), & mathsf{if} dfrac 12 leq t leq 1 end{cases})]
붙임 보조정리를 사용하면 [math(h: I to X)]가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 [math(h)]도 [math(X)]의 경로가 된다. 두 경로의 곱 [math(h)]를 [math(f cdot g)]라 표기하기도 한다.
또한 [math(x_0 in X)]에 대하여, 항상 [math(f(t) = x_0)]인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 [math(f: I to X)]에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 [math(x_0 in X)]인 자명 회로를 [math(c_{x_0})]라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 [math(f: I to X)]가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, [math(g(t) = f(1 - t))]로 정의한다. 이 [math(g: I to X)]가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.
이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.
[ 정의 ] 기본군(Fundamental group)
주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 한 점 [math(x_0 in X)]에 대하여, 시작점과 끝점이 모두 [math(x_0)]인 회로의 집합 [math(mathcal F)]를 생각하고 여기에 연속변형 동치관계 [math(sim)] 를 주자. 이제 상집합 [math(mathcal F / sim)] 에 다음과 같은 연산[math( cdot )]을 정의할 수 있다.
위와 같은 연산이 정의된 [math((mathcal F / sim, cdot ))]는 군의 구조를 이룬다는 사실을 확인할 수 있다. 이를 위상공간 [math(X)]의 기본군(Fundamental group)라고 하며 기호로는 [math(pi_1(X, x_0))]라고 표시한다.
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이렇게 정의된 [math(pi_1(X, x_0))]이 실제로 군의 구조를 갖는지 확인해 보자. [math([f], [g], [h] in pi_1(X, x_0))]를 고정하고, 자명 회로 [math(c_{x_0})]와 역회로 [math(bar f)]를 생각하자. 이 자명 회로와 역회로는 각각 연산 [math( cdot )]의 항등원, 역원이 될 예정이다.
- 결합 법칙(Associativity): [math(([f] cdot [g]) cdot [h] = [f] cdot ([g] cdot [h]))]가 성립.
이를 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I times I to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다. 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = dfrac 14 + dfrac 14 t, t_2 = dfrac 12 + dfrac 14 t)]로 정의된 값이다.
[math(H(s, t) = begin{cases} f left( dfrac s{t_1} right), & mathsf{if} 0 leq s leq t_1 \ g left(4 cdot (s - t_1) right), & mathsf{if} t_1 leq s leq t_2 \ h left( dfrac {s - t_2}{1 - t_2} right), & mathsf{if} t_2 leq s leq 1 end{cases})]
- 항등원의 존재(existence of idnetity): [math([f] cdot [c_{x_0}] = [f] = [c_{x_0}] cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I times I to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[3] 여기서 [math(t_1)]은 [math(t_1 = dfrac 12 - dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
[math(H(s, t) = begin{cases} x_0, & mathsf{if} 0 leq s leq t_1 \ f left( dfrac {s - t_1}{1 - t_1} right), & mathsf{if} t_1 leq s leq 1 end{cases})]
- 역원의 존재(existence of inverse): [math([f] cdot [bar f] = [c_{x_0}] = [bar f] cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I times I to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[5] 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = dfrac 12 - dfrac 12 t, t_2 = dfrac 12 + dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
[math(H(s, t) = begin{cases} x_0, & mathsf{if} 0 leq s leq t_1 \ f(s - t_1), & mathsf{if} t_1 leq s leq dfrac 12 \ f(t_2 - s), & mathsf{if} dfrac 12 leq s leq t_2 \ x_0, & mathsf{if} t_2 leq s leq 1 end{cases})]
즉, 위 사실들을 종합하면 [math(pi_1(X, x_0))]는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.
3. 성질
기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 [math(X)]뿐만 아니라 기준점이 될 [math(x_0 in X)]에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 [math(pi_1(X))]가 아닌 [math(pi_1(X, x_0))]의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.
[ 명제 ] 주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 두 점 [math(x_0, x_1 in X)]을 생각하자. [math(X)]가 경로연결이므로, 적당한 경로 [math(h: I to X)]에 가 존재하여 [math(h(0) = x_0)], [math(h(1) = x_1)]이 성립한다. 이제 시작점을 [math(x_1)]로 하는 회로 [math(f)]에 대해 경로의 곱 [math(h cdot f cdot bar h)]를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 [math(x_0)]인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 [math(beta_h: pi_1(X, x_1) to pi_1(X, x_0))]를 생각할 수 있다.
[math(beta_h([f]) = [h cdot f cdot bar h])] 이 때, [math(beta_h)]는 두 기본군 [math(pi_1(X, x_1))], [math(pi_1(X, x_0))]사이의 동형사상이다. [ 증명 ]
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이 명제로부터, 경로연결 위상공간 [math(X)]의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 [math(pi_1(X, x_0))]대신 [math(pi_1(X))]의 표현도 사용한다.
한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.
한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.
[ 정의 ] 유도 준동형사상(Induced homomorphism)
두 위상공간 [math(X)], [math(Y)] 사이에 정의된 연속함수이면서, [math(y_0 = varphi(x_0))]인 [math(varphi: (X, x_0) to (Y, y_0))]를 생각하자. 이 [math(varphi)]로부터 기본군 사이의 준동형사상 [math(varphi_*: pi_1(X, x_0) to pi_1(Y, y_0))]가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다.
[math(varphi_*([f]) = [varphi circ f] = [varphi f])] 이 [math(varphi_*)]를 두 기본군 [math(pi_1(X, x_0))], [math(pi_1(Y, y_0))]사이의 유도 준동형사상(Induced homomorphism)이라고 정의한다. |
우선 우리가 정의한 사상 [math(varphi_*)]의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다.
- [math(f: I to X)]가 [math(f(0) = f(1) = x_0)]인 회로라면, [math(varphi f: I to Y)] 역시 회로로서 [math(varphi f(0) = varphi f(1) = y_0)]이 성립함은 거의 당연하다.
- [math([f] = [g])]이면 두 회로 [math(f)]와 [math(g)]사이의 연속변형 [math(H_t: I to X)]이 존재함을 의미한다. 이 때 [math(varphi H_t: I to Y)]는 [math(Y)]의 두 회로 [math(varphi f)]와 [math(varphi g)]사이의 연속변형이므로, [math([varphi f] = [varphi g])].
이렇게 [math(varphi_*)]가 잘 정의됨을 확인했고, [math(f_1, f_2: I to X)]가 [math(X)]의 두 회로라면
[math(begin{aligned} varphi_*([f_1] cdot [f_2]) & = [varphi (f_1 cdot f_2) ] \ & = [varphi f_1 cdot varphi f_2] \ & = [varphi f_1] cdot [varphi f_2] \ & = varphi_*([f_1]) cdot varphi_*([f_2]) end{aligned})]
이므로 [math(varphi_*)]가 준동형사상임을 확인할 수 있다.
[ 명제 ] [math((X, x_0) xrightarrow{psi} (Y, y_0) xrightarrow{varphi} (Z, z_0))]일 때,
[ 증명 ]두 명제 모두 정의로부터 바로 도출된다. 그래도 적어보자면, [math([(varphi psi )f] = [varphi (psi f) ])] 으로부터 첫 번째 명제가, [math([text{id}_X f] = [f] = text{id}_{pi_1(X, x_0)}([f]))] 에서 두 번째 명제가 증명된다.□ |
4. 기본군의 계산
4.1. 기본군이 자명군[6]인 경우
[ 정의 ] 단순연결공간(Simply connected space)
경로연결 위상공간 [math(X)]가 [math(pi_1(X) cong 0)][8]을 만족할 때, [math(X)]를 단순연결공간(Simply connected space)라고 한다.
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[ 명제 ] 유클리드 공간 [math(mathbb R^n)]에 매장(Embedding)된 볼록공간 [math(X)]와, 임의의 점 [math(x_0 in X)]에 대하여 [math(pi_1(X, x_0) cong 0)]이다.
[ 증명 ]임의의 회로 [math(f: I to X)]에 대하여, [math(f)]와 자명 회로 [math(c_{x_0})] 사이의 연속변형 [math(H: I times I to X)]를 다음과 같이 정의하자. [math(H(s, t) = (1 - t)f(s) + tx_0)] 공간 [math(X)]가 볼록공간이므로, 위 연속변형은 잘 정의된다. 따라서 임의의 동치류 [math([f])]는 항등원 [math([c_{x_0}])]와 같고, 이는 [math(pi_1(X, x_0) = left{ [c_{x_0}] right} cong 0)]임을 설명한다.□ |
[ 명제 ] [math(n geq 3)]일 때, [math(n)]차원 구
[math(S^{n - 1} = left{ (x_1, x_2, cdots x_n) in mathbb R^n biggl| biggr. displaystyle sum _{i = 1}^n x_i ^2 = 1 right})] 에 대하여 [math(pi_1(S^{n - 1}) cong 0)]이다. [ 증명 ][math(f: I to S^{n - 1})]을 시작점이 [math(x_0)]인 [math(S^{n - 1})]의 회로라고 하자. 본 증명의 목표는 항상 [math([f] = [c_{x_0}])]가 성립함을 보이는 것이다.
이번에는 집합 [math(f^{-1}(x))]를 생각하는데, [math(f)]가 연속이므로 [math(f^{-1}(x) subset I)]는 닫힌집합이다. 하이네-보렐 정리에 의해 실수 집합 [math(mathbb R)]의 유계닫힌집합 [math(f^{-1}(x))]는 옹골집합임을 알 수 있다. 그런데 [math(left{(a_i, b_i)right}_{i in mathbb N})]는 [math(f^{-1}(x))]의 열린덮개가 되므로, 유한 부분덮개 [math(left{(a_i, b_i)right}_{1 leq i leq k})]가 존재함을 안다. 함수 [math(f)]를 구간 [math([a_i, b_i])]에 한정시키면, 상 [math(f([a_i, b_i]))]는 열린 공 [math(B = B(x, delta))]의 폐포 [math(bar B = bar B(x, delta))]의 부분집합이 된다. 이 때, [math(f(a_i), f(b_i) in partial bar B)]. [math(delta > 0)]을 충분히 작게 잡았으므로, [math(bar B cap S^{n - 1})]이 단순연결공간이라 가정할 수 있고, 따라서 [math(bar B)]의 경로 [math(f rvert_{[a_i, b_i]})]를 적절히 [math(partial bar B)]의 경로 [math(g_i: [a_i, b_i] to partial bar B)]로 연속변형 시킬 수 있다. 이 연속변형을 [math(bar H_i: [a_i, b_i] times I to bar B)]라 할 때, 함수 [math(H_i: I times I to S^{n - 1})]을 [math(H_i(s, t) = begin{cases} f(s), & mathsf{if} s notin [a_i, b_i] \ bar H_i(s, t), & mathsf{if} s in [a_i, b_i] end{cases})] 로 정의하면 이 역시 연속변형이 된다. 모든 [math(1 leq i leq k)]에 대해 연속변형 [math(H_i)]를 합성한 연속변형 [math(H: I times I to S^{n - 1})]을 생각할 수 있다. [math(h: I to S^{n - 1})]을 [math(h(s) = H(s, 1))]로 정의하면, 정의에 의해 [math([f] = [h])]이고 [math(h left( displaystyle bigcup_{1 leq i leq k} [a_i, b_i] right) subset partial bar B)] [math(h(s) = f(s) forall s notin displaystyle bigcup_{1 leq i leq k} [a_i, b_i])] 를 얻는다. [math(x notin partial bar B)]이고 [math(f^{-1}(x) subset displaystyle bigcup_{1 leq i leq k} [a_i, b_i])]이므로, [math(h(s) = x)]인 [math(s in I)]가 존재하지 않음을 알 수 있다. 즉 [math(h: I to S^{n - 1})]은 전사함수가 아니며, 위에서 보인 바와 같이 [math([h] = [c_{x_0}])]이 된다. [math( therefore [f] = [h] = [c_{x_0}])].□ |
4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우
[ 명제 ] 2차원 평면 [math(mathbb R^2)]위의 단위원 [math(S^1 = { (x, y) | x^2 + y^2 = 1 })]을 생각하자. 이 때 [math(pi_1(X, (1, 0)) cong (mathbb Z, +))]이며, 두 군 사이의 동형사상 [math(phi: pi_1(X) to mathbb Z)]는 다음과 같다.
[math(phi([omega_n]) = n)] 여기서 회로 [math(omega_n: I to S^1)]은 [math(omega_n(t) = (cos 2npi t, sin 2npi t))][14]을 시계방향으로 [math(n)]바퀴 따라 돌아가는 회로.] 이다. |
5. 관련 정리들
[ 명제 ]
[ 증명 ]
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즉, 서로 변형수축 관계인 두 공간은 동형인 기본군을 가진다. 이는 기본군의 계산에 상당히 요긴하게 사용되는 명제이며, 역으로 이 명제를 이용해 수축/변형수축이 존재하지 않음을 보일 수도 있다.
[ 명제 ] [math(varphi: X to Y)]가 연속변형 동치이면, 이 [math(varphi)]로부터 유도된 준동형사상 [math(varphi_*: pi_1(X, x_0) to pi_1(Y, varphi(x_0)))]는 동형사상이다.
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5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리
[ 정리 ] 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)
위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(left{ A_alpha right}_{alpha in I})]들이 [math(X = displaystyle bigcup _{alpha in I} A_alpha)]를 만족한다고 하자. 이 때, 포함함수 [math(imath_alpha: A_alpha xhookrightarrow{} X)]로부터 유도되는 준동형사상 [math(imath_{alpha *}: pi_1(A_alpha) to pi_1(X_alpha))]을 생각할 수 있다. 자유군의 보편 성질에 의해, 다음을 만족하는 준동형사상 [math(Phi: {large *}_{alpha in I} pi_1(A_alpha) to pi_1(X))]가 유일하게 존재한다.
[math(Phi([f]) = imath_{alpha *}([f]) forall alpha in I, forall [f] in pi_1(A_alpha))] 이제 [math(left{ A_alpha right}_{alpha in I})]가 다음 조건들을 만족한다면, 위 준동형사상 [math(Phi)]는 전사함수이다.
추가로, 다음 조건이 주어져 있는 경우를 생각할 수 있다.
여기서 포함함수 [math(A_alpha cap A_beta xhookrightarrow{} A_alpha)]에 의해 유도되는 준동형사상을 [math(imath_{alpha beta}: pi_1(A_alpha cap A_beta) to pi_1(A_alpha))]라 놓자. 이 때 준동형사상 [math(Phi)]의 핵 [math(N = text{ker } Phi)]은 자유군 [math({large *}_{alpha in I} pi_1(A_alpha))]의
[math(imath_{alpha beta}(omega)imath_{beta alpha}(omega)^{-1} forall omega in pi_1(A_alpha cap A_beta))] 와 같은 단어(word)들로 생성되는 정규부분군이다. 즉, [math(pi_1(X) cong {large *}_{alpha in I} pi_1(A_alpha) Bigl/ Bigr. leftlangle imath_{alpha beta}(omega)imath_{beta alpha}(omega)^{-1} rightrangle)] 이 성립한다.(제1 동형사상 정리.) |
사실, 위 함수들의 구성에 의해 [math(imath_{alpha *} circ imath_{alpha beta} equiv imath_{beta *} circ imath_{beta alpha})]임을 알 수 있고 이는 포함함수 [math(A_alpha cap A_beta xhookrightarrow{} X)]로부터 유도된다. 그렇기 때문에, 각 원소 [math(omega in pi_1(A_alpha cap A_beta))]에 대하여 단어 [math(imath_{alpha beta}(omega)imath_{beta alpha}(omega)^{-1})]는 [math(pi_1(X))]의 자명한 원소를 가리켜야만 하고 이로부터 핵 [math(N = text{ker } Phi)]은 군 [math(leftlangle imath_{alpha beta}(omega)imath_{beta alpha}(omega)^{-1} rightrangle)]에 포함되어야만 한다. 자이페르트-반 캠펀 정리는 정확히 이 군과 핵 [math(N)]이 같음을 주장하고 있다. 이 정리를 이용하면 굉장히 많은 종류의 공간들의 기본군을 간단히 계산해 낼 수 있다!
아래 정리들은 따름정리들이다.
아래 정리들은 따름정리들이다.
[ 따름정리 ] 위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(left{ A_alpha right}_{alpha in I})]들이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
이 때, 기본군 [math(pi_1(X))]와 [math(pi_1(A_alpha))] 사이에
[math(pi_1(X) cong {large *}_{alpha in I} pi_1(A_alpha))] 이 성립한다. |
자이페르트-반 캠펀 정리의 자명한 응용. [math(A_alpha cap A_beta)]의 단순연결성에 의해, 해당 정리에 나오는 핵 [math(N)]을 구성하는 모든 단어들은 자명한 단어 뿐이다. 즉 [math(N cong 0)]이므로 결론이 바로 얻어진다.
[ 따름정리 ] 경로연결공간 [math(X)]과 2-세포(2-cell) [math(e_alpha^2 (alpha in I))]들이 주어져 있을 때, 이 2-세포들을 부착사상(Attaching map) [math(varphi_alpha: S^1 to X)]를 이용하여 붙인 위상공간을 [math(Y)]라 하자. 이제 이 2-세포들이 붙어있는 경계 [math(varphi_alpha (S^1))]은 [math(X)]의 회로로 볼 수 있다. 한편 [math(X)]가 경로연결공간이므로 [math(x_0)]와 [math(varphi_alpha (S^1))]의 시점 [math(x_alpha)]를 잇는 경로 [math(gamma_alpha)]가 존재한다. 이 때 [math(xi_alpha = gamma_alpha cdot varphi_alpha (S^1) cdot bar gamma_alpha)]는 시작점이 [math(x_0)]인 [math(X)]의 회로이다.
여기서, 기본군 [math(pi_1(Y))]와 [math(pi_1(X))] 사이에 [math(pi_1(Y, x_0) cong pi_1(X, x_0) bigl/ bigr. leftlangle xi_alpha rvert alpha in I rightrangle)] 가 성립한다. |
[ 따름정리 ] 위 따름정리에서 2-세포 대신 [math(n geq 3)]인 [math(n)]-세포 [math(e_alpha^n)]들을 붙였다면, [math(pi_1(Y, x_0) cong pi_1(X, x_0))]이다.
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위 두 따름정리들은 CW 복합체의 기본군 계산을 편하게 해 준다. 특히, 아래 정리로부터 임의의 CW 복합체 [math(X)]의 기본군 [math(pi_1(X))]은 그 2-뼈대(2-skeleton) [math(X^2)]의 기본군 [math(pi_1(X^2))]와 같음을 알 수 있다.
[1] 즉, [math(f(1) = g(0))[2] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[3] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[4] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[5] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[6] 원소가 항등원 단 하나인 군.[7] 즉, 자명군과 동형일 때[8] 즉, 자명군과 동형일 때[9] [math(delta > 0)[10] [math(delta > 0)[11] [math(delta > 0)[12] [math(delta > 0)[13] 단위원 [math(S^1)[14] 단위원 [math(S^1)