분류
1. 정의
임의의 정식 [math(f(x, y, z, ...))]에 대해 어느 두 문자를 교환하여도 식이 원래의 식과 부호가 반대인 것으로 될 때, [math(f(x, y, z, ...))]를 교대식이라 한다. 대칭식 항목과 같이 볼 것.
비슷하게 교대다항식(alternating polynomial)이 일반적 교대식보다 중요하지만, 아래의 성질처럼 교대다항식은 대칭다항식만으로 묘사가 가능하다.
비슷하게 교대다항식(alternating polynomial)이 일반적 교대식보다 중요하지만, 아래의 성질처럼 교대다항식은 대칭다항식만으로 묘사가 가능하다.
2. 성질
교대다항식은 항상 대칭다항식 곱하기 특정 식의 꼴을 지닌다. 보통 Vandermonde determinant라 불리는 이 특정 식은 다음 두 가지의 행렬식/인수분해 표현이 존재한다.
[math(V(x_1, cdots, x_n) = prod_{i<j} (x_i - x_j) = det(x_i^{j-1})_{i,j} )]
예시로 [math(n=3)]이면 [math(V(x,y,z) = (x-y)(x-z)(y-z) = x^2 y - x^2 z + y^2 z - y^2 x + z^2 x - z^2 y)]이다.
[math(V(x_1, cdots, x_n) = prod_{i<j} (x_i - x_j) = det(x_i^{j-1})_{i,j} )]
예시로 [math(n=3)]이면 [math(V(x,y,z) = (x-y)(x-z)(y-z) = x^2 y - x^2 z + y^2 z - y^2 x + z^2 x - z^2 y)]이다.
[math(n=3)]일 때의 증명 : [math(f(x, y, z))]가 교대식이므로 [math(f(x, y, z)=-f(x, z, y))]이다. 이때, 이 식은 [math(x, y, z)]에 관한 항등식이므로 양변에 [math(z)]대신 [math(y)]를 대입하면 [math(f(x, y, y)=-f(x, y, y))]이다. 즉, [math(f(x,y,y)=0)]이므로 이는 다항식 [math(f(x,y,z))]가 [math((y-z))]로 나누어떨어짐을 의미한다. 이때, 다시 [math(f(x, y, z))]가 교대식임을 사용하면 앞과 같이 [math((x-y), (y-z), (z-x))]를 인수로 가짐을 알 수 있다. 즉, [math(f(x,y,z))]는 반드시 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수로 갖는다. 일반적 n의 경우에도 비슷하게 진행하면 된다.
이 반데르몬드 행렬식의 제곱이 대칭식이므로, 교대다항식은 덧셈/뺄셈에 대해서는 닫혀 있지만 곱했을 때는 (대칭식)*(교대식)=(교대식), (교대식)*(교대식)=(대칭식)을 만족한다.
교대군 [math(A_n)]에 대한 불변다항식(대칭식 항목 참조)은 (대칭식)+(교대식)의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
갈루아 이론 중 다항식의 해법을 구할 때는, 근들에 대한 저 Vandermonde determinant의 제곱이 판별식(discriminant)이라는 이름으로 많이 등장한다. [math(V(x))]의 제곱인 판별식은 대칭식이므로, 제곱근을 구하면 [math(V(x))]의 값을 구할 수 있는 것. 이차방정식의 [math(b^2 - 4ac)]의 일반화로 볼 수 있다.