겔폰트-슈나이더 상수는 2의 √2 제곱, 즉 [math(2^{sqrt{2}})]이다. 힐베르트의 23가지 문제 중 “[math(a)]가 [math(0, 1)]이 아닌 대수적 수이고 b가 유리수가 아닌 대수적 수일 때 [math(a^b)]는 초월수인가?”의 증명 과정에서 등장한 수이다.

다비트 힐베르트가 자신의 문제들에서 리만 가설, 페르마의 마지막 정리, 그리고 [math(2^{sqrt{2}})]의 초월성 증명이 이 순서대로 풀릴 것이라고 말했다. 실제로는 그 반대로 풀려서, 겔폰트-슈나이더 상수가 가장 먼저 초월수임이 밝혀졌고, 그 다음이 페르마의 마지막 정리고, 리만 가설은 현재까지도 풀리지 않았다. 1919년 쿠즈민이 이 상수가 초월수임을 밝혔고, 1934년 겔폰트와 슈나이더가 독자적으로 위의 [math(a^b)]가 초월수임을 증명했다.

이 수의 제곱근인 [math(sqrt{2}^{sqrt{2}})]은 무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있음을 보이는 데 쓰일 수 있다. 이 수 자체나 그 제곱근이 초월수인지 아닌지, 심지어 무리수인지 유리수인지 몰라도 가능하다.[1]가 유리수라면 [math(p^2)] 역시 유리수가 되어야 하지만, [math(p^2=2^{sqrt{2}})]는 실수의 초월수이므로 자연스럽게 무리수가 되기 때문.] 단 [math(sqrt{2})]가 무리수라는 게 전제가 된다.[2] 참고]

한편 무리수^무리수=유리수는 로그를 갖고도 가능하다. [math({sqrt{2}}^{log_2 9}=3)]이기 때문. 이건 [math(log_2 3)]가 무리수라는 것만 추가로 더 보이면 되고, 이건 겔폰트-슈나이더 상수를 이용한 증명에서 √2가 무리수임을 보이는 정도의 수준이면 된다.[증명]이면 [math(2^{ frac{p}{q}} = 3)] 이고 [math( 2^p = 3^q)]이다. 이 때 [math(3>2)]이므로 [math(p>q)]인 양의 정수 [math(p,,q)]가 존재하고 이때 [math(2^p)]는 짝수, [math(3^q)]는 홀수이므로 등식이 성립하지 않아 모순이다. 실수인 것은 실수의 완비성에 의해 [math( mathrm{sup}{x|2^x<3})]이 실수임을 이용하면 된다.]

또는 [math(e^{ln{10}} = pi^{log_pi 10} = 10)] 도 가능하...지 않을까 싶은데, 이건 먼저 [math({ln{10}})] 이 무리수임을 증명해야 하고 이걸 증명하려면 대개 [math(e)]가 초월수인걸 먼저 증명해야 하는 문제가 생긴다. 애초에 [math({ln{n}})]가 [math({n})]이 1이 아닌 정수일 때 무리수라는 걸 확장해 증명한 게 겔폰트 슈나이더 정리이다. 반면 겔폰트 슈나이더 상수를 이용하면 겔폰트 슈나이더 상수의 제곱근인 상수[math({sqrt{2}}^{sqrt{2}})] 자체가 유리수든 무리수든 무리수^무리수=유리수를 보일 수 있다.