분류
1. 개요
無限小數
무한소수는 소수점 밑으로 무한히 이어지는 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(유리수)와 비순환소수(무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.333333...[1] 이나 0.47834834834...[2] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다.
무한소수는 소수점 밑으로 무한히 이어지는 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(유리수)와 비순환소수(무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.333333...[1] 이나 0.47834834834...[2] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다.
2. 순환소수
일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 소수다. 나타낼 때는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[3]
- [math(0.333333 cdots = 0. dot 3)]
- [math(0.1624624624 cdots = 0.1 dot 62 dot 4)]
- [math(0.34343434 cdots = 0. dot 3 dot 4)]
우리나라에서는 이 방법을 사용하고 있지만, 표현법에는 여러 가지가 있고, 순환마디 처음부터 끝까지 줄을 친다거나([math(0.1 overline{624})]) 괄호를 치는 등의 여러 가지 방법이 있다. 우리나라는 점을 찍는 걸 사용하므로, 시험을 볼 땐 점을 찍어야 한다.
첫째 자리부터 시작되면 순순환소수라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면 혼순환소수라고 한다.
첫째 자리부터 시작되면 순순환소수라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면 혼순환소수라고 한다.
2.1. 순환소수의 유리화
순환소수의 유리화(분수로 고치기)는 다음과 같은 방법으로 가능하다.
- 대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. [math(0. dot 3)]의 경우- [math(a=0.333333 cdots)]로 놓으면
- [math(10a=3.333333 cdots)] (ㄱ)
- [math(a=0.333333 cdots)] (ㄴ)
[math(0. dot 14285 dot 7)]의 경우- [math(a=0.142857142857 cdots)]로 놓으면
- [math(1000000a=142857.142857 cdots)] (ㄱ)
- [math(a=0.142857142857 cdots)] (ㄴ)
- (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(999999a=142857 ; therefore a=displaystyle frac{142857}{999999} = displaystyle frac{1}{7})]
-
- [math(2.32 dot 4)]는 [math(2.32 + 0.00 dot 4)]로 쓸 수 있다.
- [math(0.00 dot 4 = displaystyle frac{1}{100} left( frac{4}{10} + frac{4}{100} + frac{4}{1000} + cdots right) = displaystyle frac{4}{100} left( frac{1}{10} + frac{1}{100} + frac{1}{1000} + cdots right) = displaystyle frac{4}{100} sum^{infty}_{n=1} left( frac{1}{10} right)^n)]
여기서 [math(Sigma)] 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 [math(displaystyle frac{1}{10})]인 등비급수다. - 첫째항이 [math(a)], 공비가 [math(r)]인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 [math(displaystyle frac{a}{1 - r})]이므로,
[math(displaystyle sum^{infty}_{n=1} left( frac{1}{10} right)^n = displaystyle frac{frac{1}{10}}{1 - frac{1}{10}} = frac{1}{9})] - 그러므로 [math(2.32 dot 4 = 2.32 + 0.00 dot 4 = displaystyle frac{232}{100} + left( frac{4}{100} times frac{1}{9} right) = displaystyle frac{232}{100} + frac{4}{900} = displaystyle frac{2092}{900} = frac{523}{225})]
- 쉬운 방법
위와 같이 [math(2.32 dot 4)]를 예로 들면- 분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
- 분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.
위와 같은 과정을 따르면 [math(displaystyle frac{2324-232}{900} = frac{2092}{900})]이 나오게 된다. 약분까지 하면 [math(displaystyle frac{523}{225})].[ 증명 펼치기 · 접기 ]
위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.[math(begin{aligned} 2.32 + 0.00 dot 4 &= displaystyle frac{232}{100} + left( frac{4}{100} times frac{frac{1}{10}}{1 - frac{1}{10}} right) \ &= displaystyle frac{232}{100} + frac{4}{100 times left( 1 - frac{1}{10} right) times 10} \ &= displaystyle frac{232}{100} + frac{4}{100 times (10 - 1)} \ &= displaystyle frac{232 times (10 - 1) + 4}{100 times (10 - 1)} \ &= displaystyle frac{(2320 + 4) - 232}{100 times 9} \ &= displaystyle frac{2324 - 232}{900} left( = displaystyle frac{2092}{900} = frac{523}{225} right) end{aligned})]여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.
3. 비순환소수
4. 기타
십진법에서 유한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 무한소수가 될 수 있다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 예를 들어 0.2를 이진법으로 나타내면 [math(0. dot 001 dot 1_{(2)})]이 나온다. 일반적으로 기약분수를 [math(k)]진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가 [math(k)]의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.