모노이드

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1. 개요2. 정의3. 자유 모노이드(free monoid)4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)


Monoid

1. 개요[편집]

대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.

2. 정의[편집]

MM과 그 위의 이항연산∗*[1]에 대해, (M,∗,e)\left(M,*, e\right)가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
(결합법칙; associativity) 임의의 a,b,c∈Ma,b,c\in M에 대해, a∗(b∗c)=(a∗b)∗ca*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c
(항등원의 존재; identity) 적절한 e∈Me\in M이 존재하여[2], 임의의 aa에 대해, a∗e=a=e∗aa*e=a=e*a

이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해(00을 포함하는) N\mathbb{N}이다. 곱셈에 대해서 Z\mathbb{Z}도 군이 아닌 모노이드이다.

3. 자유 모노이드(free monoid)[편집]

자유 모노이드는 집합 XX위에서 정의된다.집합 XX에 대한 자유 모노이드 F(X)F\left(X\right)[3]는 XX의 원소들로 이루어진 단어[4]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열e=[]e=\left[\right]이다. 예를 들어, X={a,b}X=\left\{a,b\right\}에 대해, 다음이 성립한다.
[],[a],[b] [babaa]∈F(X)\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right)
[ababa]∗[abaaaaaaa]=[ababaabaaaaaaa]\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right]

∣X∣>1\left|X\right|>1이면 F(X)F\left(X\right)는 비가환이고, ∣X∣=1\left|X\right|=1이면 F(X)=NF\left(X\right)=N, ∣X∣=0\left|X\right|=0이면 F(X)={[]}F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\}이다.

4. 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)[편집]

모노이드 MM에 대해, M2M^{2}위의 동치류 ≡\equiv를 다음과 같이 정의한다.
TFAE
(a,b)≡(x,y)\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right)
∃m∈Maym=bxm\exists m\in M aym=bxm[5]

그리고  ~에 의한 (a,b)\left(a,b\right)의 동치류를 [a,b]∈M2/≡\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv라 하자. 이 위의 연산 ⋅\cdot을 [a,b]⋅[x,y]=[ax,by]\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right]라 주면, 이는 결합적이고[e,e][e,e]이 항등원으로 가지며, [a,b][a,b]의 역원은 [b,a][b,a]이다. 즉, (M2/≡,⋅)\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right)은 군이다.
[1] *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.[2] 여기서 ee를 항등원이라 한다. 자연로그의 밑이 아니다.[3] 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다. [4] 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [⋅]\displaystyle \left[\cdot\right][5] 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. mm의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.