면적분

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1. 개요2. 스칼라장의 면적분3. 벡터장의 면적분4. 관련 문서

1. 개요

面積分, surface integral

벡터 미적분에 등장하는 개념. 곡면에 대한 적분이다. 3차원 공간에 어떤 스칼라장 ff 또는 벡터장 F\mathbf{F}를 곡면 SS 위에서 적분하는 것. 평범한 1차원 적분을 확장한게 선적분이라면, 2차원인 이중적분을 비슷하게 확장한 것이 이 면적분이다.

2. 스칼라장의 면적분

곡면 SS에서 스칼라장 ff의 적분:
∬Sf dS=∬Σf(s(u, v))∥∂s∂u×∂s∂v∥du dv\displaystyle \iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} f(\mathbf{s}(u,\,v)) \left\|\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right\| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v
여기서 dS\mathrm{d}S는 SS의 미소 면적, s\mathbf{s}는 SS를 uvuv 평면으로 매개화한 것, Σ\Sigma는 SS에 대응되는 uvuv 평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분이다.

3. 벡터장의 면적분

곡면 SS에서 벡터장 F\mathbf{F}의 적분:
∬SF⋅dS=∬ΣF(s(u, v))⋅ ⁣(∂s∂u×∂s∂v)du dv\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{s}(u,\,v)) \cdot \!\left(\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right) \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v
dS\mathrm{d}\mathbf{S}는 SS의 미소 면적인 dS\mathrm{d}S의 크기를 가졌으면서 dS\mathrm{d}S와 수직인 벡터, s\mathbf{s}는 SS를 uvuv 평면으로 매개화한 것, Σ\Sigma는 SS에 대응되는 uvuv평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분.

이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다.

벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[1]. 예를 들어, F\mathbf{F}가 물의 속력장이라면, SS에 대한 면적분은 시간당 SS를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다.

4. 관련 문서

[1] 이 개념은 전기장과 자기장을 다루는 전자기학에서 중요하다.[2] 폐곡면의 면적분을 구할때 매우 유용한 정리다.