르베그 공간

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분류
Lebesgue space, LpL^p-space

1. 개요
1.1. 정확한 정의1.2. -공간
2. 성질
2.1. 공간 사이의 관계2.2. 실수 위에서의 -공간
3. 쓰임새4. 이면?

1. 개요[편집]

측도 공간 (X,Σ,μ) (X,\Sigma,\mu) 및 실수 p≥1p \ge 1가 주어졌을 때 르베그 - pp공간(Lp L^{p}공간)은 다음을 만족시키는 보렐 가측함수 f:X→Rf : X \rightarrow \mathbb{R} 혹은 f:X→Cf : X \rightarrow \mathbb{C}들의 집합을 말한다.
Lp(μ):={f:(∫X∣f(x)∣pdμ)1/p<+∞}. L^p(\mu) := \{ f : ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p} < +\infty \}. .
이 LpL^p 공간을 결정하는 다음의 식을 르베그 노름 혹은 LpL^p-노름이라 한다.
∥f∥Lp=def(∫X∣f(x)∣pdμ)1/p {\lVert f \rVert}_{L_{p}} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} ({\int_{X}}|f(x)|^p{{\rm{d}}\mu})^{1/p}
즉 LpL^p-공간은 이 LpL^p-노름이 유한한 함수들의 집합이다.
유한개의 원소에 대해서는 초등적으로도 정의할 수 있는데 벡터 x=(a1,a2,......an) x = (a_{1},a_{2},......a_{n}) 에 대해 ∥x∥Lp=(∣a1∣p+∣a2∣p+......+∣an∣p)1/p {\lVert x \rVert}_{L_{p}} = (|a_{1}|^p+|a_{2}|^p+......+|a_{n}|^p)^{1/p} 로 정의한다.

1.1. 정확한 정의[편집]

측도론의 관점에서는 LpL^p-노름은 함수가 0이 아니어도, 함수값이 0과 다른 집합이 측도 0이기만 하면 0이 된다. 이러한 함수들은 LpL^p-공간을 생각할 때는 0으로 간주한다. 엄밀하게 이야기하자면 Lp\mathscr{L}^p를 LpL^p-노름이 유한한 함수들의 공간, N\mathscr{N}을 LpL^p-노름이 0인 함수들의 공간으로 정의했을 때, Lp=Lp/NL^p = \mathscr{L}^p/\mathscr{N}으로 생각할 수 있다. 이 관점에서는 LpL^p 공간의 원소들은 거의 모든 곳에서 같은 함수들의 동치류인 셈이다.

1.2. L∞L^{\infty}-공간[편집]

L∞L^{\infty} 노름은 함수의 최대값을 측도 공간에 맞추어 일반화한 '실질적 최댓값'의 개념으로, 다음처럼 정의된다.
∥f∥∞=inf⁡{M:μ(∣f∣>M)=0}\displaystyle \| f\|_{\infty} = \inf \{ M : \mu(|f|>M)=0 \}
통상적인 최대값의 경우 측도 0인 집합에서 함수값이 끝없이 커지면 거의 모든 점에서 f=gf=g일지라도 최대값이 다를 수 있기 때문에, 그것을 막으려 변경된 정의이다. 거의 모든 점에서 f=gf=g이면 L∞L^{\infty} 노름은 동일하며, 이것 덕분에 L∞L^{\infty} 노름이 유한한 집합 L∞L^{\infty}-공간을 비슷하게 정의할 수 있다.

2. 성질[편집]

별도의 서술이 없으면 p∈[1,∞]p \in [1, \infty]로 가정하자.
  • LpL^p-공간은 덧셈과 상수배에 닫혀 있는 벡터 공간이며, LpL^p-노름은 이 위에서 잘 정의된 노름(norm)이 된다.
    LpL^p-노름의 삼각부등식을 증명하기 위해서는 횔더 부등식과 이를 이용한 민코프스키 부등식이 사용된다.
  • LpL^p-공간은 노름에 대한 완비 공간이다. 즉 임의의 코시 수열이 수렴한다.
    완비인 노름 공간을 바나흐 공간(Banach space)이라 부른다.
  • L2L^2-노름은 내적이 되고, L2L^2-공간은 완비 내적 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)이 된다.

2.1. LpL^p 공간 사이의 관계[편집]

  • 일반적으로 LpL^p공간 사이에는 포함관계가 없다. 하지만 1<p1<q<p21 < p_1 < q < p_2에 대해 Lp1∩Lp2⊂Lq⊂Lp1+Lp2L^{p_1} \cap L^{p_2} \subset L^q \subset L^{p_1} + L^{p_2}은 성립한다.
  • 유한차원 공간이 아니면 pp가 다를 때 LpL^p 공간은 단순히 공간의 전체집합만 다른 것이 아니라 공간의 위상(topology)이 달라진다. 즉 f,fi∈Lp1∩Lp2f, f_i \in L^{p_1} \cap L^{p_2}에 대해 명제 ∥f−fi∥p1→0 \| f - f_i\|_{p_1} \rightarrow 0과 ∥f−fi∥p2→0 \| f - f_i\|_{p_2} \rightarrow 0 사이에는 아무런 관계가 없다.
  • 다만 확률공간(μ(X)=1\mu(X)=1인 공간)에선 p1<p2p_1<p_2이면 Lp2⊂Lp1L^{p_2} \subset L^{p_1}의 (위상공간으로서의) 포함관계가 성립한다. 또한 확률공간에서는 L∞L^{\infty}-노름은 p→∞p \rightarrow \infty일 때 LpL^p-노름의 극한이 된다.
  • 리츠 쌍대성(Riesz duality): 1<p<∞1 < p<\infty에 대해 LpL^p의 쌍대공간은 LqL^q로 주어진다. 여기서 qq는 p−1+q−1=1p^{-1}+q^{-1}=1을 만족하는 횔더 부등식에 등장하는 양수로, 보통 횔더 켤레(Holder conjugate)라 불린다. 이 쌍대성은 L1L^1과 L∞L^{\infty}에선 성립하지 않는데, (L1)∗=L∞(L^1)^{*} = L^{\infty}이지만 (L∞)∗≠L1(L^{\infty})^{*} \neq L^1이기 때문이다.
  • LpL^p-노름은 로그-볼록(log-convex)이다. 즉 p>1p>1에 대해 log⁡∥f∥p\log \|f\|_{p}는 볼록함수이다.
  • 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem)
주어진 지수 1≤p1<p2≤∞,1≤q1<q2≤∞1 \le p_1<p_2 \le \infty,1 \le q_1<q_2 \le \infty에 연관된 작용소 T:Lp1+Lp2→Lq1+Lq2T : L^{p_1} + L^{p_2} \rightarrow L^{q_1} + L^{q_2}가 T(Lp1)⊆Lq1T(L^{p_1}) \subseteq L^{q_1}, T(Lp2)⊆Lq2T(L^{p_2}) \subseteq L^{q_2}을 만족하고 정의역 위에서 유계일 때, 임의의 0<λ<10<\lambda<1과
(p,q)=(λp1+1−λp2)−1,(λq1+1−λq2)−1 \displaystyle (p,q)= \left( \frac{\lambda}{p_1} + \frac{1-\lambda}{p_2} \right)^{-1}, \left( \frac{\lambda}{q_1} + \frac{1-\lambda}{q_2} \right)^{-1}
에 대해서 TT는 Lp→LqL^{p} \rightarrow L^{q}로의 잘 정의된 유계 연산자이며, 그 크기는 다음의 식으로 제한된다.
∥T∣Lp∥≤∥T∣Lp1∥λ∥T∣Lp2∥1−λ \displaystyle \|T|_{L^p}\| \le \|T|_{L^{p_1}} \|^{\lambda} \|T|_{L^{p_2}} \|^{1-\lambda}
  • 푸리에 변환은 1≤p≤21 \le p \le 2이면 Lp→LqL^p \rightarrow L^q 위에서 잘 정의되며, 특별히 L2→L2L^2 \rightarrow L^2 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다.

2.2. 실수 위에서의 LpL^p-공간[편집]

  • 연속함수나 매끄러운 함수(smooth functions)들의 집합은 LpL^p의 조밀한 부분집합을 이룬다. 즉 임의의 ϵ>0\epsilon>0과 f∈Lpf \in L^p에 대해, ∥f−g∥p≤ϵ\|f - g\|_{p} \le \epsilon인 매끄러운 함수 g∈Lpg \in L^p가 존재한다.

3. 쓰임새[편집]

편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 L1,L2,L∞L^1, L^2, L^{\infty} 정도일 것이다.

이 중 L2L^2 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, LpL^p 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 L2L^2이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[1]는 특정 가중치가 주어진 변형된 L2L^2 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 L2L^2는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 L2L^2 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[2], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.

L1L^1과 L∞L^{\infty} 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 L2L^2보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 L2L^2보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 L1L^1이나 L∞L^{\infty} 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 L2L^2 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 L2L^2 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, L1L^1이나 L∞L^{\infty} 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.

확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 LnL^n을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 L2L^2를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.

해석학 내에선 LpL^p 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 LpL^p에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 대부분의 사람들이 p=1,2,∞p=1,2,\infty가 아닌 다른 특정한 차수의(L3L^3, L4L^4 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다. 특정 편미분방정식을 전공한다면 이야기는 또 달라질 수 있겠지만...

4. 0<p<10<p<1이면?[편집]

지수 pp가 1보다 작아도 LpL^p공간을 비슷하게 정의할 수 있다. 다만 LpL^p-노름은 삼각부등식을 만족시키지 못해 더 이상 노름이 되지 못한다.

[1] 정확히 말하면 타원 작용소(elliptic operator)들[2] 다만 양자역학의 힐베르트 공간 중에서도 L2L^2공간으로 정의되지 않는 것도 많으므로 주의하자.