로런츠 인자

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Lorentz factor

로런츠 인자는 상대성 이론에서 사용되는 기호로서 시간 지연, 길이 수축과 상대론적 좌표 변환 등에 사용되는 Factor이며, 일반적으로 γ\gamma[1]로 표기한다. 로런츠 인자는 아래와 같이 정의된다. vv는 물체 혹은 어떤 좌표계의 속력이며, cc는 진공 중에서의 광속이다.

γ≡11−(vc)2 \displaystyle \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle \left( \frac{v}{c} \right)^{2} }}


파일:시간 지연.png
로런츠 인자가 의미하는 기하학적인 의미는 위 그림에서 R=cΔt′R=c\Delta t', H=cΔtH=c\Delta t, L=vΔt′L=v\Delta t'이고 RR과 LL의 끼인각을 θ\theta라고 했을 때 Δt′\Delta t'와 Δt\Delta t의 관계를 나타낼 수 있는 식 sin⁡θ=HR=cΔtcΔt′=ΔtΔt′\sin\theta = \dfrac HR = \dfrac{c\Delta t}{c\Delta t'} = \dfrac{\Delta t}{\Delta t'}에서 Δt′=Δtsin⁡θ=Δt1−cos⁡2θ=Δt1−(LR)2=Δt1−(vc)2\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sin\theta} = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\cos^2\theta}} = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\left(\dfrac LR\right)^2}} = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\left(\dfrac vc\right)^2}}
에서 유도된 것으로, 순수하게 '계 내부의 시간과 계 외부의 시간의 비'를 의미한다.

아래는 로런츠 인자를 그래프로 나타낸 것이다. v→cv \rightarrow c일 때, γ→∞\gamma \rightarrow \infty임을 알 수 있다.

파일:나무_로런츠인자.png

이와 관련하여 자세한 내용은 상대성 이론 문서를 참조하시오.

[1] 표기가 같은 오일러-마스케로니 상수 γ=∫1∞(1⌊x⌋−1x)dx\displaystyle \gamma =\int_1^\infty \left( \frac 1{\lfloor x \rfloor} - \frac 1x \right) \mathrm{d}x와의 혼동에 주의.