Dirichlet's theorem
어떤 an+b꼴(단, a와 b는 서로소인 정수)의 등차수열에서, 그 수열 안에 존재하는 소수의 개수는 무한하다는 해석적 정수론의 정리이다. 당연하겠지만 a,b가 서로소가 아니면 an+b는 gcd(a,b)를 약수로 가지기 때문에 의미없다.

예로 4n+1꼴의 소수와 4n+3꼴의 소수는 모두 무한히 있다는 사실을 알 수 있다.

디리클레 정리의 증명에는 리만 제타 함수에서 따온 오일러 곱(Euler product)의 아이디어가 중요하게 사용된다. 예를 들어 4n+1꼴 소수와 4n+3 꼴 소수의 개수가 모두 무한히 많다는 것을 증명하기 위해서는, 다음과 같은 오일러 곱 둘을 생각할 수 있다.

($p,q$는 모두 소수, 하단 곱에서 합동식 기호는 법 4에 대해서)
만약 4n+3꼴 소수들인 q의 개수가 유한하다고 하면, 두 함수의 비율 $f_1/f_2$는 유한개의 0이 아닌 수들의 곱으로 이루어져 있을 것이다. 한편 $s \rightarrow 1$의 극한을 생각하면, $f_1(1)$은 발산하는데 $f_2(1)$은 교대수렴한다. 이는 $f_1(1)/f_2(1)$이 0이 아닌 수가 된다는 것과 모순이므로 가정이 잘못되었고, 따라서 4n+3꼴 소수는 무한히 있어야 한다.
4n+1꼴 소수에 대해서는 대신 곱 $f_1 f_2$을 생각할 수 있고, 만약 p의 개수가 유한하다 하면 이 곱이 $s \rightarrow 1$일 때 0이 아닌 유한한 수로 수렴함을 보일 수 있는데, q에 대한 곱 $\prod_{q} (1- q^{2s})^{-1}$이 $s=1$에서 수렴하기 때문이다. 여기서 모순을 보이려면 $f_2(1)$의 값이 실제로 0이 아닌 것을 계산해서 보여야 하는 과정이 추가되긴 한다.

위에 예로 든 $f_1, f_2$는 모두 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 정의되는 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)

의 일종이다. 여기서 디리클레 지표 $\chi$는 주어진 법 $a$에 대해

을 만족하는 함수 $\chi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$이다.

위의 경우에선 법은 $a=4$였고, $f_1, f_2$는 법 4에 대해 가능한 모든 L-함수들이었다. 일반적인 법 $a$에 대해서 디리클레 지표는 정확히 기약잉여계 개수만큼 존재하고, 어떤 기약잉여계의 b에 대해서도 이들 지표의 L-함수들을 적절히 지수를 취해서 곱하면 (an+b꼴 소수만으로 이루어진 곱)*(수렴하는 곱) 꼴을 얻어낼 수 있다는 걸 보일 수 있다. 즉 여기까지 왔으면 "$L(1,\chi)$가 한 경우[1]만 제외하면 모두 0이 아닌 값으로 수렴한다"는 사실만 보여도 디리클레 정리를 증명할 수 있다. 물론 저게 가장 어려운 핵심 부분이지만...