디랙 행렬

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1. 정의2. 성질

1. 정의[편집]

디랙 행렬(Dirac matrix)은 0,±1,±i0, \pm 1, \pm i로 이루어진 4개의 행렬이다. 감마 행렬(gamma matrix)라고도 부른다. 정의는 다음과 같다.


γ0=(1000010000−10000−1)\displaystyle \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}


γ1=(000100100−100−1000)\displaystyle \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}


γ2=(000−i00i00i00−i000)\displaystyle \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}


γ3=(0010000−1−10000100)\displaystyle \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}


이때, 0, 1, 2, 3은 거듭제곱을 의미하는 것이 아니라 그냥 첨자이다. 또한 편의상 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.

γ5=iγ0γ1γ2γ3=(0010000110000100)\displaystyle \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}


첨자가 5인 이유는 예전에는 첨자를 1부터 5까지 썼는데 4차원 성분을 첨자 0으로 쓰면서 표기가 굳어졌기 때문이다.

2. 성질[편집]


디랙 행렬은 다음과 같은 반교환자(anticommutator) 관계가 성립한다.

{γμ,γν}=γμγν+γνγμ=2ημνI\displaystyle \left\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I

이때 ημν\eta^{\mu \nu}는 민코프스키 계량 텐서 (Minkowski metric)

η=(10000−10000−10000−1)\eta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

의 μ\mu행 ν\nu열 성분이고, II는 4×44 \times 4 단위행렬이다.