데자르그 정리

역사 raw
대문 랜덤 문서 최근 토론
분류

1. 개요2. 설명3. 증명

1. 개요[편집]

1648년 프랑스의 기하학자 Girard Desargues(지랄드 두 사르그)의 정리이다.

프랑스어에서 Desargues는 '데자르그'로 읽으며 '두 사르그' 내지 '드 사르그'는 영어식 피진이다. 대한수학회에서는 '데자르그 정리'로 번역되어있다.

2. 설명[편집]

파일:데자르그 wjdfl.png
△ABC\triangle{ABC}와 △A′B′C′\triangle{A'B'C'}에서 세 직선AA′‾\overline{AA'}, BB′‾\overline{BB'}, CC′‾\overline{CC'}가 한 점 OO에서 만날 때, 직선 BC‾\overline{BC}, B′C′‾\overline{B'C'}의 교점을 LL, 직선 AC‾\overline{AC}, A′C′‾\overline{A'C'}의 교점을 MM, 직선 AB‾\overline{AB}, A′B′‾\overline{A'B'}의 교점을 NN이라고 하면, 점LL, MM, NN는 한 직선 위에 있다.

3. 증명[편집]

메넬라오스 정리를 이용한다.

△OAB\triangle{OAB}와 NB′A′‾\overline{NB'A'}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
AN‾NB‾\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}BB′‾B′O‾\frac{\overline{BB'}}{\overline{B'O}}OA′‾A′A‾\frac{\overline{OA'}}{\overline{A'A}}=1 ☞ ①

△OBC\triangle{OBC}와 LC′B′‾\overline{LC'B'}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
BL‾LC‾\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}CC′‾C′O‾\frac{\overline{CC'}}{\overline{C'O}}OB′‾B′B‾\frac{\overline{OB'}}{\overline{B'B}}=1 ☞ ②

△OCA\triangle{OCA}와 MA′C′‾\overline{MA'C'}에서 메넬라오스 정리를 적용하면
CM‾MA‾\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}AA′‾A′O‾\frac{\overline{AA'}}{\overline{A'O}}OC′‾C′C‾\frac{\overline{OC'}}{\overline{C'C}}=1 ☞ ③

①, ②, ③을 모두 곱하여 소거시킬수 있는 것들을 소거시키면
AN‾NB‾\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}BL‾LC‾\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}CM‾MA‾\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}=1

그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 제 점LL, MM, NN는 한 직선 위에 있다.