체 [math(F)]에 대해, [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]가 닮음(similar), 또는 상사(相似)[1]라는 것은 [math(Pin text{GL}_{n}left(Fright))]가 존재하여, [math(A=PBP^{-1})]임을 말한다. 이 경우, [math(Asim B)]라 표현한다.

[math(Pin text{GL}_{n}left(Fright))]는 [math(F^{n})]의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2]에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 [math({(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)})]에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, [math(A)], [math(B)]가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

닮음불변량이란, 닮음 관계에 있는 행렬들이 서로 같은 값을 갖는 것을 의미하며, 다음과 같은 것들이 있다.

만약, 대각행렬[3]인 행렬 ] [math(D)]이 존재하여, [math(A=PDP^{-1})]라 하자. 그러면, [math( A^{k}=PD^{k}P^{-1})]이고, [math(D^{k})]를 계산하는 것은, [math(A^{k})]를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다.[4]가 [math(ntimes n)] 형태의 대각행렬일 때, [math(D=displaystyle{sum_{m=1}^{n}}l_m e_{mm})]이라고 하면, [math(D^k)]는 [math(D^k=displaystyle{sum_{m=1}^{n}}{l_m}^k e_{mm})]이 된다. 즉 대각행렬의 n차 거듭제곱은 각 성분만 n제곱하면 되는 것.
※[math(e_{kl})]은 [math(k)]행 [math(l)]열만 1이고 그 외의 성분이 0인 특수한 행렬을 의미한다. 즉 [math(e_{mm})]은 m행 m열의 원소만 1이고 그 외의 원소가 모조리 0인 행렬을 의미한다.]그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[5]로 표현된다면, [math(B^{k}=bigoplus B_{i}^{k})]이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, [math(D=bigoplus d_{i})]이다. ] [math(B)]에 대해, [math(A=PBP^{-1})]가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[6]라면, 선형 변환 [math(T)]는 [math(T=bigoplus left.Tright|_{W_{i}})]으로 표현될 것이다.] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.