단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem, MCT)는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(Completeness Axiom)를 이용하여 실수의 완비성(Completeness of Real Number)을 밝혀내는 것이다.

단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(Monotone Sequence)과 유계(Bounded)라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.

일단 무한수열 {a_n}이 주어져 있다고 하자.

모든 자연수 n에 대하여 $a_n \leq a_{n+1}$이면 $\{a_n\}$은 (단조)증가수열이다.
모든 자연수 n에 대하여 $a_n \geq a_{n+1}$이면 $\{a_n\}$은 (단조)감소수열이다.
{a_n}이 증가수열 또는 감소수열일 때, 단조수열이라고 부른다.

실수 $M$이 존재하고 모든 자연수 n에 대하여 $a_n \leq M$일 때 $\{a_n\}$은 위로 유계(Bounded Above)이다. 이때 $M$을 상계(Upper Bound)라고 한다.
실수 $m$이 존재하고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \geq m$일 때 $\{a_n\}$은 아래로 유계(Bounded Below)이다. 이때 $m$을 하계(Lower Bound)라고 한다.
$\{a_n\}$이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, 유계라고 부른다.

"유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다(If a real sequence is bounded and monotone, it converges.)"라는 것이 단조 수렴 정리의 내용이다.

더욱 자세한 내용은 단조 수렴 정리(네이버 블로그), 상한과 하한(네이버 블로그)를 참고하자.