크로아티아 국적의 미드필더로 주 포지션은 공격형 미드필더. 윙어와 센터 포워드도 무리 없이 소화 가능하다.

청소년 시절부터 유망주 취급받던 그는 2014년 7월 17일 유로파 리그 던독 FC와의 경기에서 프로 데뷔전을 치렀다. 그리고 그 경기에서 데뷔골을 넣었다. 이 시즌에는 총 37경기를 출장해 4골을 기록했다.

2015-16 시즌에는 총 34경기를 출장해 2골 7도움을 기록했다. 2016-17 시즌에도 총 37경기를 출장해 4골 9도움을 기록하며 좋은 활약을 했다.

2017년 9월 1일에 에버튼 FC로 이적했다. 이적료는 £10m으로 계약기간은 2022년까지다.

총 19경기에 출전해 2골 1도움에 그쳤다. 그나마 있는 공격포인트도 유로파리그 아폴론 리마솔과의 경기에서 쌓은 것이라 자신의 가치를 보여줄 수 있는 스탯은 전무하다고 봐도 될 것이다. 기회를 많이 못받기도 했거니와 출전했을 때 기회를 잘 살리지도 못한 것이 복합적으로 얽혀 다소 부진한 첫 시즌을 보냈다.

8월 초 애슐리 윌리엄스, 쿠코 마르티나, 케빈 미랄라스와 함께 '올 시즌 1군 팀에서 훈련할 수 없다'는 통보를 받아 에버튼 내에서 전망이 암울해졌다. 젊은 선수를 중용하겠다고 말했던 마르코 실바 예하 코칭스태프 마저 팀 내에서도 꽤 어린 블라시치를 훈련 제외시킬 정도면 프리시즌에 특출나게 보여준 게 없는 듯. 뉴캐슬 유나이티드 FC로의 임대 소식도 있었으나 결국 2018-19 시즌은 PFC CSKA 모스크바에서 임대 생활을 하는 것으로 최종 확정되었다.

2018-2019 챔피언스리그 조별리그 2차전 레알 마드리드를 상대로 한 홈 경기에서 토니 크로스의 백패스 실수로 흘러온 볼을 이용하여 전반 1분 만에 득점에 성공하였다. 팀은 블라시치의 한 골로 1:0으로 홈에서 디펜딩 챔피언을 꺾었다!! 블라시치 본인도 모스크바에서 좋은 활약을 펼치며 8골 7도움으로 커리어 하이를 기록했다.

2019-20시즌을 앞두고 모스크바로 완전이적하였다. 이적료는 €15,70m. 완전히 모스크바에 자리를 잡았는지 좋은 모습들을 보여주며 주요 공격진으로 활약하고 있다.

2020-21시즌 20라운드 로코모티프 모스크바와의 경기에서 PK를 실축하고 코너킥을 찰때 코너 플래그를 먼저 차버렸다.

블라시치는 각 연령별 청소년 대표팀에 모두 선출된 적 있다. 2017년 5월 28일 멕시코와의 A매치에서 성인 대표팀 데뷔전을 치렀다.

블라시치의 가정은 스포츠 집안으로 유명한데 아버지인 조스코 블라시치는 전직 높이뛰기 선수이고 현재 높이뛰기 코치를 하고 있다. 누나인 블랑카 블라시치도 유명한 높이뛰기 선수로 올림픽 메달리스트다.