처음 나눗셈을 배울 때 몫과 나머지가 당연히 존재한다고 생각하고 나눗셈을 한다. 하지만 소인수분해의 존재성과 마찬가지로 몫과 나머지의 존재성은 당연한 결과가 아니며[1] 수학적인 증명이 필요하다. 나눗셈 정리는 우리가 나눗셈을 통해 몫과 나머지를 자연스럽게 구하게 할 수 있게 만들어 주는 정리이다. 자세한 정리는 아래와 같다.

크게 존재성과 유일성, 두 파트로 나뉜다.

집합 $A=\left\{b-na|n\in \mathbb{Z},\, b-an\geq0\right\}$을 생각하자. 그럼 집합 $A$는 공집합이 아니고,[2] $A\subseteq \mathbb{N}$[3]이므로 well-ordering 원리에 의해 집합 $A$에는 가장 작은 원소가 존재한다. 그 원소를 $r$이라 하면 적당한 정수 $q$에 대해 $r=b-aq$로 표시된다. 즉, $b=aq+r$이고 $r\geq0$이다. 만약 $r\geq a$라 가정하면 $b-\left(q+1\right)a=b-aq-a=r-a\geq0$이므로 $r-a\in A$이다. 그런데 $a>0$이므로 $r-a<r$이고, 이는 곧 $r$이 집합 $A$의 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 $r<a$이다.

정수 $p,s$가 $b=ap+s,\,\left(0\leq s<a\right)$을 만족시킨다고 하자. 그러면 $ap+s=aq+r$로 부터 $\left(p-q\right)a=r-s$이다. 여기서 만약 $p\neq q$이라고 하면,[4] $\left|a\right|\leq\left|p-q\right|\cdot\left|a\right|$[5]$=\left|\left(p-q\right)a\right|=\left|r-s\right|<\left|a\right|$가 되어 모순이다. 따라서 $p=q$이어야 하고, 이는 곧 $r=s$를 의미한다. 즉, 몫과 나머지가 유일하게 존재한다.

이 당연해 보이는 성질을 어떻게 활용하냐면, 정수론에서의 유클리드 호제법이나 다항식에서의 나머지 정리 등, 여러 가지로 활용된다. 유클리드 호제법은 이 나눗셈 정리가 없다면 애초에 성립조차 할 수 없으며, 이 나눗셈 정리의 다항식 버전이 고등학교에서 배우는 나머지 정리가 되기 때문. 또한, 최대공약수의 성질의 증명에서도 활용된다. 즉, 나눗셈 정리는 정수론의 기초 중에 기초라고 할 수 있다.