기본군

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1. 개요2. 정의3. 성질4. 기본군의 계산
4.1. 기본군이 자명군인 경우4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우
5. 관련 정리들
5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리

1. 개요[편집]

Fundamental group · 基本群

기본군은 위상공간의 대수적 구조로, 공간에 존재하는 모든 회로들의 집합에 연속변형 동치류를 준 뒤 군의 구조를 부여한 것이다.

2. 정의[편집]

기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 XX는 모두 고정된 위상공간이다.

XX의 두 경로 f,g:I→Xf, g: I \to X가 주어져 있을 때, 만일 ff의 끝점과 gg의 시작점이 일치한다면[1] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.

h(t)={f(2t),if 0≤t≤12g(2t−1),if 12≤t≤1h(t) = \begin{cases} f(2t), & \mathsf{if} \ 0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ g(2t - 1), & \mathsf{if} \ \dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases}

붙임 보조정리를 사용하면 h:I→Xh: I \to X가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 hh도 XX의 경로가 된다. 두 경로의 곱 hh를 f⋅gf \cdot g라 표기하기도 한다.

또한 x0∈Xx_0 \in X에 대하여, 항상 f(t)=x0f(t) = x_0인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 f:I→Xf: I \to X에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 x0∈Xx_0 \in X인 자명 회로를 cx0c_{x_0}라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 f:I→Xf: I \to X가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, g(t)=f(1−t)g(t) = f(1 - t)로 정의한다. 이 g:I→Xg: I \to X가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.

이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.
[ 정의 ] 기본군(Fundamental group)
주어진 경로연결 위상공간 XX와 한 점 x0∈Xx_0 \in X에 대하여, 시작점과 끝점이 모두 x0x_0인 회로의 집합 F\mathcal F를 생각하고 여기에 연속변형 동치관계 ∼\sim 를 주자. 이제 상집합 F/∼\mathcal F / \sim 에 다음과 같은 연산 ⋅ \ \cdot \ 을 정의할 수 있다.
  • [f]⋅[g]=[f⋅g]∈F/∼[f] \cdot [g] = [f \cdot g] \in \mathcal F / \sim.
위와 같은 연산이 정의된 (F/∼, ⋅ )(\mathcal F / \sim, \ \cdot \ )는 군의 구조를 이룬다는 사실을 확인할 수 있다. 이를 위상공간 XX의 기본군(Fundamental group)라고 하며 기호로는 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)라고 표시한다.
이렇게 정의된 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)이 실제로 군의 구조를 갖는지 확인해 보자. [f],[g],[h]∈π1(X,x0)[f], [g], [h] \in \pi_1(X, x_0)를 고정하고, 자명 회로 cx0c_{x_0}와 역회로 fˉ\bar f를 생각하자. 이 자명 회로와 역회로는 각각 연산  ⋅ \ \cdot \ 의 항등원, 역원이 될 예정이다.
  • 결합 법칙(Associativity): ([f]⋅[g])⋅[h]=[f]⋅([g]⋅[h])([f] \cdot [g]) \cdot [h] = [f] \cdot ([g] \cdot [h])가 성립.
    이를 보이기 위해서는 연속변형 H:I×I→XH: I \times I \to X를 다음과 같이 정의하면 충분하다. 여기서 t1,t2t_1, t_2는 각각 t1=14+14t,t2=12+14tt_1 = \dfrac 14 + \dfrac 14 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 14 t로 정의된 값이다.

    H(s,t)={f(st1),if 0≤s≤t1g(4⋅(s−t1)),if t1≤s≤t2h(s−t21−t2),if t2≤s≤1H(s, t) = \begin{cases} f \left( \dfrac s{t_1} \right), & \mathsf{if} \ 0 \leq s \leq t_1 \\ g \left(4 \cdot (s - t_1) \right), & \mathsf{if} \ t_1 \leq s \leq t_2 \\ h \left( \dfrac {s - t_2}{1 - t_2} \right), & \mathsf{if} \ t_2 \leq s \leq 1 \end{cases}
  • 항등원의 존재(existence of idnetity): [f]⋅[cx0]=[f]=[cx0]⋅[f][f] \cdot [c_{x_0}] = [f] = [c_{x_0}] \cdot [f]가 성립.
    첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 H:I×I→XH: I \times I \to X를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[2] 여기서 t1t_1은 t1=12−12tt_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t로 정의된 값이다.

    H(s,t)={x0,if 0≤s≤t1f(s−t11−t1),if t1≤s≤1H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \mathsf{if} \ 0 \leq s \leq t_1 \\ f \left( \dfrac {s - t_1}{1 - t_1} \right), & \mathsf{if} \ t_1 \leq s \leq 1 \end{cases}
  • 역원의 존재(existence of inverse): [f]⋅[fˉ]=[cx0]=[fˉ]⋅[f][f] \cdot [\bar f] = [c_{x_0}] = [\bar f] \cdot [f]가 성립.
    첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 H:I×I→XH: I \times I \to X를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[3] 여기서 t1,t2t_1, t_2는 각각 t1=12−12t,t2=12+12tt_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 12 t로 정의된 값이다.

    H(s,t)={x0,if 0≤s≤t1f(s−t1),if t1≤s≤12f(t2−s),if 12≤s≤t2x0,if t2≤s≤1H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \mathsf{if} \ 0 \leq s \leq t_1 \\ f(s - t_1), & \mathsf{if} \ t_1 \leq s \leq \dfrac 12 \\ f(t_2 - s), & \mathsf{if} \ \dfrac 12 \leq s \leq t_2 \\ x_0, & \mathsf{if} \ t_2 \leq s \leq 1 \end{cases}

즉, 위 사실들을 종합하면 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.

3. 성질[편집]

기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 XX뿐만 아니라 기준점이 될 x0∈Xx_0 \in X에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 π1(X)\pi_1(X)가 아닌 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.
[ 명제 ] 주어진 경로연결 위상공간 XX와 두 점 x0,x1∈Xx_0, x_1 \in X을 생각하자. XX가 경로연결이므로, 적당한 경로 h:I→Xh: I \to X에 가 존재하여 h(0)=x0h(0) = x_0, h(1)=x1h(1) = x_1이 성립한다. 이제 시작점을 x1x_1로 하는 회로 ff에 대해 경로의 곱 h⋅f⋅hˉh \cdot f \cdot \bar h를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 x0x_0인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 βh:π1(X,x1)→π1(X,x0)\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)를 생각할 수 있다.

βh([f])=[h⋅f⋅hˉ]\beta_h([f]) = [h \cdot f \cdot \bar h]

이 때, βh\beta_h는 두 기본군 π1(X,x1)\pi_1(X, x_1), π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)사이의 동형사상이다.
[ 증명 ]
  • βh\beta_h는 두 군 π1(X,x1)\pi_1(X, x_1), π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)사이의 준동형사상이다.
    실제로, [f],[g]∈π1(X,x1)[f], [g] \in \pi_1(X, x_1)일 때,

    βh([f]⋅[g])=[h⋅(f⋅g)⋅hˉ]=[h⋅f⋅(hˉ⋅h)⋅g⋅hˉ]=[h⋅f⋅hˉ]⋅[h⋅g⋅hˉ]=βh([f])⋅βh([g])​\begin{aligned} \beta_h([f] \cdot [g]) & = [h \cdot (f \cdot g) \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) \cdot g \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot \bar h] \cdot [h \cdot g \cdot \bar h] \\ & = \beta_h([f]) \cdot \beta_h([g]) \end{aligned}​

    이므로 βh:π1(X,x1)→π1(X,x0)\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)는 준동형사상이 된다.

  • βh\beta_h는 전사함수이다.
    임의의 [f]∈π1(X,x0)[f] \in \pi_1(X, x_0)에 대하여, [hˉ⋅f⋅h]∈π1(X,x1)[\bar h \cdot f \cdot h] \in \pi_1(X, x_1)이고

    βh([hˉ⋅f⋅h])=[h⋅(hˉ⋅f⋅h)⋅hˉ]=[(h⋅hˉ)⋅f⋅(h⋅hˉ)]=[f]​\begin{aligned} \beta_h([\bar h \cdot f \cdot h]) & = [h \cdot (\bar h \cdot f \cdot h) \cdot \bar h] \\ & = [(h \cdot \bar h) \cdot f \cdot (h \cdot \bar h) ] \\ & = [f] \end{aligned}​

    이므로 βh:π1(X,x1)→π1(X,x0)\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)는 전사함수이다.

  • βh\beta_h는 단사함수이다.
    두 [f],[g]∈π1(X,x0)[f], [g] \in \pi_1(X, x_0)가 βh([f])=βh([g])\beta_h([f]) = \beta_h([g])를 만족한다면 [h⋅f⋅hˉ]=[h⋅g⋅hˉ][h \cdot f \cdot \bar h] = [h \cdot g \cdot \bar h]이고,

    [f]=[(hˉ⋅h)⋅f⋅(hˉ⋅h)]=[hˉ⋅(h⋅f⋅hˉ)⋅h]=[hˉ⋅(h⋅g⋅hˉ)⋅h]=[(hˉ⋅h)⋅g⋅(hˉ⋅h)]=[g]​\begin{aligned} [f] & = [(\bar h \cdot h) \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) ] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot f \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot g \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [(\bar h \cdot h) \cdot g \cdot (\bar h \cdot h) ] = [g] \end{aligned}​

    이므로 βh:π1(X,x1)→π1(X,x0)\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0)는 단사함수가 된다.□
이 명제로부터, 경로연결 위상공간 XX의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0)대신 π1(X)\pi_1(X)의 표현도 사용한다.

한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.
[ 정의 ] 유도 준동형사상(Induced homomorphism)
두 위상공간 XX, YY 사이에 정의된 연속함수이면서, y0=φ(x0)y_0 = \varphi(x_0)인 φ:(X,x0)→(Y,y0)\varphi: (X, x_0) \to (Y, y_0)를 생각하자. 이 φ\varphi로부터 기본군 사이의 준동형사상 φ∗:π1(X,x0)→π1(Y,y0)\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0)가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다.

φ∗([f]​)=[φ∘f]=[φf]\varphi_*([f]​) = [\varphi \circ f] = [\varphi f]

이 φ∗\varphi_*를 두 기본군 π1(X,x0)\pi_1(X, x_0), π1(Y,y0)\pi_1(Y, y_0)사이의 유도 준동형사상(Induced homomorphism)이라고 정의한다.
우선 우리가 정의한 사상 φ∗\varphi_*의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다.
  • f:I→Xf: I \to X가 f(0)=f(1)=x0f(0) = f(1) = x_0인 회로라면, φf:I→Y\varphi f: I \to Y 역시 회로로서 φf(0)=φf(1)=y0\varphi f(0) = \varphi f(1) = y_0이 성립함은 거의 당연하다.
  • [f]=[g][f] = [g]이면 두 회로 ff와 gg사이의 연속변형 Ht:I→XH_t: I \to X이 존재함을 의미한다. 이 때 φHt:I→Y\varphi H_t: I \to Y는 YY의 두 회로 φf\varphi f와 φg\varphi g사이의 연속변형이므로, [φf]=[φg][\varphi f] = [\varphi g].

이렇게 φ∗\varphi_*가 잘 정의됨을 확인했고, f1,f2:I→Xf_1, f_2: I \to X가 XX의 두 회로라면

φ∗([f1]⋅[f2]​)=[φ(f1⋅f2)]=[φf1⋅φf2]=[φf1]⋅[φf2]=φ∗([f1])⋅φ∗([f2]​)​\begin{aligned} \varphi_*([f_1] \cdot [f_2]​) & = [\varphi (f_1 \cdot f_2) ] \\ & = [\varphi f_1 \cdot \varphi f_2] \\ & = [\varphi f_1] \cdot [\varphi f_2] \\ & = \varphi_*([f_1]) \cdot \varphi_*([f_2]​) \end{aligned}​

이므로 φ∗\varphi_*가 준동형사상임을 확인할 수 있다.
[ 명제 ] (X,x0)→ψ​(Y,y0)→φ​(Z,z0)(X, x_0) \xrightarrow{\psi}​ (Y, y_0) \xrightarrow{\varphi}​ (Z, z_0)일 때,
  • π1(X,x0)→ψ∗​π1(Y,y0)→φ∗​π1(Z,z0)\pi_1(X, x_0) \xrightarrow{\psi_*}​ \pi_1(Y, y_0) \xrightarrow{\varphi_*}​ \pi_1(Z, z_0)로서 (φψ)∗=φ∗ψ∗(\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_*.
  • (idX)∗=idπ1(X,x0)(\text{id}_X)_* = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}.
[ 증명 ]
두 명제 모두 정의로부터 바로 도출된다. 그래도 적어보자면,

[(φψ)f]​=[φ(ψf)][(\varphi \psi )f]​ = [\varphi (\psi f) ]

으로부터 첫 번째 명제가,

[idXf]​=[f]=idπ1(X,x0)([f])[\text{id}_X f]​ = [f] = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}([f])

에서 두 번째 명제가 증명된다.□

4. 기본군의 계산[편집]

4.1. 기본군이 자명군[4]인 경우[편집]

[ 정의 ] 단순연결공간(Simply connected space)
경로연결 위상공간 XX가 π1(X)≅0\pi_1(X) \cong 0[5]을 만족할 때, XX를 단순연결공간(Simply connected space)라고 한다.
[ 명제 ] 유클리드 공간 Rn\mathbb R^n에 매장(Embedding)된 볼록공간 XX와, 임의의 점 x0∈Xx_0 \in X에 대하여 π1(X,x0)≅0\pi_1(X, x_0) \cong 0이다.
[ 증명 ]
임의의 회로 f:I→Xf: I \to X에 대하여, ff와 자명 회로 cx0c_{x_0} 사이의 연속변형 H:I×I→XH: I \times I \to X를 다음과 같이 정의하자.

H(s,t)=(1−t)f(s)+tx0H(s, t) = (1 - t)f(s) + tx_0

공간 XX가 볼록공간이므로, 위 연속변형은 잘 정의된다. 따라서 임의의 동치류 [f][f]는 항등원 [cx0][c_{x_0}]와 같고, 이는 π1(X,x0)={[cx0]}≅0\pi_1(X, x_0) = \left\{ [c_{x_0}] \right\} \cong 0임을 설명한다.□
[ 명제 ] n≥3n \geq 3일 때, nn차원 구

Sn−1={(x1,x2,⋯xn)∈Rn ∣ ∑i=1nxi2=1}S^{n - 1} = \left\{ (x_1, x_2, \cdots x_n) \in \mathbb R^n \ \biggl| \biggr. \ \displaystyle \sum _{i = 1}^n x_i ^2 = 1 \right\}

에 대하여 π1(Sn−1)≅0\pi_1(S^{n - 1}) \cong 0이다.
[ 증명 ]
f:I→Sn−1f: I \to S^{n - 1}을 시작점이 x0x_0인 Sn−1S^{n - 1}의 회로라고 하자. 본 증명의 목표는 항상 [f]=[cx0][f] = [c_{x_0}]가 성립함을 보이는 것이다.
  • ff가 함수로서 전사함수가 아니라면, x∉f(I)x \notin f(I)인 x∈Sn−1x \in S^{n - 1}를 택할 수 있다. 그런데

    Sn−1−{x}≈Rn−1S^{n - 1} - \{ x \} \approx \mathbb R^{n - 1}

    이고, 유클리드 공간 Rn−1\mathbb R^{n - 1}은 단순연결공간이므로 [f]=[cx0][f] = [c_{x_0}]이다.

  • 이제 ff가 전사함수라고 가정하자. x0≠xx_0 \neq x인 x∈Sn−1x \in S^{n - 1}와 xx의 열린근방 B=B(x,δ)⊂Sn−1B = B(x, \delta) \subset S^{n - 1}을 생각하자.[6] ff가 연속이므로, f−1(B)⊂If^{-1}(B) \subset I 역시 열린집합이며 이는 서로소인 가산개의 구간 {(ai,bi)}i∈N\left\{(a_i, b_i)\right\}_{i \in \mathbb N}의 합집합으로 표현된다.

이번에는 집합 f−1(x)f^{-1}(x)를 생각하는데, ff가 연속이므로 f−1(x)⊂If^{-1}(x) \subset I는 닫힌집합이다. 하이네-보렐 정리에 의해 실수 집합 R\mathbb R의 유계닫힌집합 f−1(x)f^{-1}(x)는 옹골집합임을 알 수 있다. 그런데 {(ai,bi)}i∈N\left\{(a_i, b_i)\right\}_{i \in \mathbb N}는 f−1(x)f^{-1}(x)의 열린덮개가 되므로, 유한 부분덮개 {(ai,bi)}1≤i≤k\left\{(a_i, b_i)\right\}_{1 \leq i \leq k}가 존재함을 안다.

함수 ff를 구간 [ai,bi][a_i, b_i]에 한정시키면, 상 f([ai,bi])f([a_i, b_i])는 열린 공 B=B(x,δ)B = B(x, \delta)의 폐포 Bˉ=Bˉ(x,δ)\bar B = \bar B(x, \delta)의 부분집합이 된다. 이 때, f(ai),f(bi)∈∂Bˉf(a_i), f(b_i) \in \partial \bar B. δ>0\delta > 0을 충분히 작게 잡았으므로, Bˉ∩Sn−1\bar B \cap S^{n - 1}이 단순연결공간이라 가정할 수 있고, 따라서 Bˉ\bar B의 경로 f∣[ai,bi]f \rvert_{[a_i, b_i]}를 적절히 ∂Bˉ\partial \bar B의 경로 gi:[ai,bi]→∂Bˉg_i: [a_i, b_i] \to \partial \bar B로 연속변형 시킬 수 있다.

이 연속변형을 Hˉi:[ai,bi]×I→Bˉ\bar H_i: [a_i, b_i] \times I \to \bar B라 할 때, 함수 Hi:I×I→Sn−1H_i: I \times I \to S^{n - 1}을

Hi(s,t)={f(s),if s∉[ai,bi]Hˉi(s,t),if s∈[ai,bi]H_i(s, t) = \begin{cases} f(s), & \mathsf{if} \ s \notin [a_i, b_i] \\ \bar H_i(s, t), & \mathsf{if} \ s \in [a_i, b_i] \end{cases}

로 정의하면 이 역시 연속변형이 된다. 모든 1≤i≤k1 \leq i \leq k에 대해 연속변형 HiH_i를 합성한 연속변형 H:I×I→Sn−1H: I \times I \to S^{n - 1}을 생각할 수 있다. h:I→Sn−1h: I \to S^{n - 1}을 h(s)=H(s,1)h(s) = H(s, 1)로 정의하면, 정의에 의해 [f]=[h][f] = [h]이고

h(⋃1≤i≤k[ai,bi])⊂∂Bˉh \left( \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i] \right) \subset \partial \bar B
h(s)=f(s)   ∀s∉⋃1≤i≤k[ai,bi]h(s) = f(s) \ \ \ \forall s \notin \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i]

를 얻는다. x∉∂Bˉx \notin \partial \bar B이고 f−1(x)⊂⋃1≤i≤k[ai,bi]f^{-1}(x) \subset \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i]이므로, h(s)=xh(s) = x인 s∈Is \in I가 존재하지 않음을 알 수 있다. 즉 h:I→Sn−1h: I \to S^{n - 1}은 전사함수가 아니며, 위에서 보인 바와 같이 [h]=[cx0][h] = [c_{x_0}]이 된다.   ∴[f]=[h]=[cx0]\ \ \therefore [f] = [h] = [c_{x_0}].□

4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우[편집]

[ 명제 ] 2차원 평면 R2\mathbb R^2위의 단위원 S1={(x,y) ∣ x2+y2=1}S^1 = \{ (x, y) \ | \ x^2 + y^2 = 1 \}을 생각하자. 이 때 π1(X,(1,0))≅(Z,+)\pi_1(X, (1, 0)) \cong (\mathbb Z, +)이며, 두 군 사이의 동형사상 ϕ:π1(X)→Z\phi: \pi_1(X) \to \mathbb Z는 다음과 같다.

ϕ([ωn])=n\phi([\omega_n]) = n

여기서 회로 ωn:I→S1\omega_n: I \to S^1은

ωn(t)=(cos⁡2nπt,sin⁡2nπt)\omega_n(t) = (\cos 2n\pi t, \sin 2n\pi t)[7]

이다.
이 사실과 자이페르트-반 캠펀 정리를 이용하면, 기초 대수적 위상수학에서 접할 수 있는 거의 모든 대상의 기본군들을 계산해 낼 수 있다.

5. 관련 정리들[편집]

[ 명제 ]
  • AA가 XX의 수축이면, 포함함수 ı:A↪X\imath: A \xhookrightarrow{} X로부터 유도된 준동형사상 ı∗:π1(A)→π1(X)\imath_*: \pi_1(A) \to \pi_1(X)는 단사함수이다.
  • 만약 AA가 XX의 변형수축이라면, ı∗\imath_*는 동형사상이다.
[ 증명 ]
  • r:X→Ar: X \to A가 수축이라면, rı=idr \imath = \text{id}이므로 r∗ı∗=idr_* \imath_* = \text{id}. 따라서 ı∗\imath_*는 단사 동형사상이다.
  • rt:X→Xr_t: X \to X가 변형수축이라고 하자. XX의 임의의 회로 ff는 연속변형 rtf:X→Xr_tf: X \to X에 의해 AA의 회로 r1fr_1f로 옮겨지므로,

    [f]=[r0f]=[r1f]=ı∗([r1f])[f] = [r_0f] = [r_1f] = \imath_*([r_1f]).

    따라서 ı∗\imath_*는 전사 동형사상이다.□
즉, 서로 변형수축 관계인 두 공간은 동형인 기본군을 가진다. 이는 기본군의 계산에 상당히 요긴하게 사용되는 명제이며, 역으로 이 명제를 이용해 수축/변형수축이 존재하지 않음을 보일 수도 있다.
[ 명제 ] φ:X→Y\varphi: X \to Y가 연속변형 동치이면, 이 φ\varphi로부터 유도된 준동형사상 φ∗:π1(X,x0)→π1(Y,φ(x0))\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0))는 동형사상이다.

5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리[편집]

[ 정리 ] 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)
위상공간 XX와 점 x0∈Xx_0 \in X가 주어져 있고, XX의 부분공간 {Aα}α∈I\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}들이 X=⋃α∈IAαX = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha를 만족한다고 하자. 이 때, 포함함수 ıα:Aα↪X\imath_\alpha: A_\alpha \xhookrightarrow{} X로부터 유도되는 준동형사상 ıα∗:π1(Aα)→π1(Xα)\imath_{\alpha *}: \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X_\alpha)을 생각할 수 있다. 자유군의 보편 성질에 의해, 다음을 만족하는 준동형사상 Φ:∗α∈Iπ1(Aα)→π1(X)\Phi: {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X)가 유일하게 존재한다.

Φ([f])=ıα∗([f])   ∀α∈I,∀[f]∈π1(Aα)\Phi([f]) = \imath_{\alpha *}([f]) \ \ \ \forall \alpha \in I, \forall [f] \in \pi_1(A_\alpha)

이제 {Aα}α∈I\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}가 다음 조건들을 만족한다면, 위 준동형사상 Φ\Phi는 전사함수이다.
  • 임의의 α∈I\alpha \in I에 대하여, AαA_\alpha는 점 x0x_0를 포함하는 경로연결 열린공간.
  • 임의의 α,β∈I\alpha, \beta \in I에 대하여, Aα∩AβA_\alpha \cap A_\beta는 경로연결공간.

추가로, 다음 조건이 주어져 있는 경우를 생각할 수 있다.
  • 임의의 α,β,γ∈I\alpha, \beta, \gamma \in I에 대하여, Aα∩Aβ∩AγA_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma는 경로연결공간.
여기서 포함함수 Aα∩Aβ↪AαA_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} A_\alpha에 의해 유도되는 준동형사상을 ıαβ:π1(Aα∩Aβ)→π1(Aα)\imath_{\alpha \beta}: \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta) \to \pi_1(A_\alpha)라 놓자. 이 때 준동형사상 Φ\Phi의 핵 N=ker ΦN = \text{ker } \Phi은 자유군 ∗α∈Iπ1(Aα){\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha)의

ıαβ(ω)ıβα(ω)−1   ∀ω∈π1(Aα∩Aβ)\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \ \ \ \forall \omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)

와 같은 단어(word)들로 생성되는 정규부분군이다. 즉,

π1(X)≅∗α∈Iπ1(Aα)/⟨ıαβ(ω)ıβα(ω)−1⟩\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \Bigl/ \Bigr. \left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle

이 성립한다.(제1 동형사상 정리.)
사실, 위 함수들의 구성에 의해 ıα∗∘ıαβ≡ıβ∗∘ıβα\imath_{\alpha *} \circ \imath_{\alpha \beta} \equiv \imath_{\beta *} \circ \imath_{\beta \alpha}임을 알 수 있고 이는 포함함수 Aα∩Aβ↪XA_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} X로부터 유도된다. 그렇기 때문에, 각 원소 ω∈π1(Aα∩Aβ)\omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)에 대하여 단어 ıαβ(ω)ıβα(ω)−1\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}는 π1(X)\pi_1(X)의 자명한 원소를 가리켜야만 하고 이로부터 핵 N=ker ΦN = \text{ker } \Phi은 군 ⟨ıαβ(ω)ıβα(ω)−1⟩\left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle에 포함되어야만 한다. 자이페르트-반 캠펀 정리는 정확히 이 군과 핵 NN이 같음을 주장하고 있다. 이 정리를 이용하면 굉장히 많은 종류의 공간들의 기본군을 간단히 계산해 낼 수 있다!

아래 정리들은 따름정리들이다.
[ 따름정리 ] 위상공간 XX와 점 x0∈Xx_0 \in X가 주어져 있고, XX의 부분공간 {Aα}α∈I\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I}들이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
  • X=⋃α∈IAαX = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha.
  • 임의의 α∈I\alpha \in I에 대하여, AαA_\alpha는 점 x0x_0를 포함하는 경로연결 열린공간.
  • 임의의 α,β∈I\alpha, \beta \in I에 대하여, Aα∩AβA_\alpha \cap A_\beta는 단순연결공간.
  • 임의의 α,β,γ∈I\alpha, \beta, \gamma \in I에 대하여, Aα∩Aβ∩AγA_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma는 경로연결공간.
이 때, 기본군 π1(X)\pi_1(X)와 π1(Aα)\pi_1(A_\alpha) 사이에

π1(X)≅∗α∈Iπ1(Aα)\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha)

이 성립한다.
자이페르트-반 캠펀 정리의 자명한 응용. Aα∩AβA_\alpha \cap A_\beta의 단순연결성에 의해, 해당 정리에 나오는 핵 NN을 구성하는 모든 단어들은 자명한 단어 뿐이다. 즉 N≅0N \cong 0이므로 결론이 바로 얻어진다.
[ 따름정리 ] 경로연결공간 XX과 2-세포(2-cell) eα2(α∈I)e_\alpha^2 (\alpha \in I)들이 주어져 있을 때, 이 2-세포들을 부착사상(Attaching map) φα:S1→X\varphi_\alpha: S^1 \to X를 이용하여 붙인 위상공간을 YY라 하자. 이제 이 2-세포들이 붙어있는 경계 φα(S1)\varphi_\alpha (S^1)은 XX의 회로로 볼 수 있다. 한편 XX가 경로연결공간이므로 x0x_0와 φα(S1)\varphi_\alpha (S^1)의 시점 xαx_\alpha를 잇는 경로 γα\gamma_\alpha가 존재한다. 이 때 ξα=γα⋅φα(S1)⋅γˉα\xi_\alpha = \gamma_\alpha \cdot \varphi_\alpha (S^1) \cdot \bar \gamma_\alpha는 시작점이 x0x_0인 XX의 회로이다.

여기서, 기본군 π1(Y)\pi_1(Y)와 π1(X)\pi_1(X) 사이에

π1(Y,x0)≅π1(X,x0)/⟨ξα ∣ α∈I⟩\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0) \bigl/ \bigr. \left\langle \xi_\alpha \ \rvert \ \alpha \in I \right\rangle

가 성립한다.
[ 따름정리 ] 위 따름정리에서 2-세포 대신 n≥3n \geq 3인 nn-세포 eαne_\alpha^n들을 붙였다면, π1(Y,x0)≅π1(X,x0)\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0)이다.
위 두 따름정리들은 CW 복합체의 기본군 계산을 편하게 해 준다. 특히, 아래 정리로부터 임의의 CW 복합체 XX의 기본군 π1(X)\pi_1(X)은 그 2-뼈대(2-skeleton) X2X^2의 기본군 π1(X2)\pi_1(X^2)와 같음을 알 수 있다.

[1] 즉, f(1)=g(0)f(1) = g(0)인 경우[2] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[3] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능.[4] 원소가 항등원 단 하나인 군.[5] 즉, 자명군과 동형일 때[6] δ>0\delta > 0은 충분히 작게 잡아줘야 한다.[7] 단위원 S1S^1을 시계방향으로 nn바퀴 따라 돌아가는 회로.