집합 $X$와 거리공간 $\left(Y, d\right)$가 있을 때, $X$에서 $Y$로 가는 함수들의 열 $\left\{ f_n \right\}$을 생각해보자. 이 때, 일반적인 수열과 마찬가지로 $\left\{ f_n \right\}$이 "수렴"하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다.

수렴한다면 무엇에 수렴할까? 함수들의 수열이니 어떤 함수에 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다. 그렇다면, 함수에 수렴하는 것이 도대체 무엇일까?

$f_n(x)$는 $x$를 고정시켜서 보면 ${ f_n(x) }$이 ${ n }$에 따라 변하는 "값"의 수열이 된다. 그렇다면 실수에서 정의된 수열과 마찬가지로 각각의 수열이 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있다. 따라서 $x$에 대응되는 수렴값이 존재하고, 우리는 그것을 ${ g(x) }$라고 부를 수 있을 것이다. 즉, $f_n(x) \overset{n\to \infty}{\longmapsto} {g(x)}$이다. 그렇다면, $X$에 속하는 모든 $x$에 대해서 수열 $\left\{ f_n(x) \right\}_{n=1}^{\infty}$가 수렴할 때, $f_n \mapsto g$라고 쓸 수 있을 것이다. 이렇게 생각해보면 함수의 수열 $\left\{ f_n \right\}$은 ${ g }$에 수렴하는 것이다. 이런 방식으로 함수가 수렴하는 것은 각각의 점 ${x}$마다 수열 $\left\{ f_n(x) \right\}$가 수렴하는 것이기 때문에 점마다 수렴 또는 점별 수렴(Pointwise Convergence)라고 한다.

이렇게 하면 함수의 수열이 수렴하는 것이 정의된다. 그런데 점별 수렴할 때는 $\left\{ f_n \right\}$의 중요한 성질이 ${g}$에 보존되지 않는다는 심각한 문제점이 발견되었다.

예를 들어보자. $f_n(x) = \cos^{2n}(\pi x)$[1]라고 할 때, $f(x) = 1 \left(x \in \mathbb{Z} \right),\ f(x) = 0 \left(x \notin \mathbb{Z} \right)$[2]이다. 즉, ${f_n(x)}$는 모두 연속 함수인데 $f(x)$는 $x \in \mathbb{Z}$에서 불연속이다! 그 외에도 미분 가능성, 적분 가능성 등등이 전혀 보존되지 않기도 하며, 설령 가능하다 하더라도 그 미분계수 및 적분값이 일치하지 않을 수 있다는 사실이 밝혀졌다.[3] 따라서 더 강력한 조건이 필요한데... 이 때 나타난 것이 바로 카를 바이어슈트라스가 제안한 균등 수렴의 개념이다.

균등 수렴의 개념을 생각하기에 앞서 점별 수렴의 개념을 다시 생각해보자. 점별 수렴은 원래 수열을 정의역의 각각의 점에 대한 수열로 나눠서 각 수열이 수렴하면 원래 수열이 수렴값의 함수에 수렴한다고 생각하는 개념이다. 너무나도 우회하는 개념이 아닌가? 우리가 원하는 것은 각각의 수열의 수렴이 아니라 함수 자체의 수렴이었다. 실수열이 수렴하는 것의 정의는 무엇인가? $\left\{a_n\right\}$이 있을 때, 임의의 양수 $\epsilon$이 주어지면 충분히 큰 자연수 $N$이 있어서 $n\ge N$일 때 $\left\vert {a_n}-\alpha \right\vert < \epsilon$이라는 것이었다. 균등 수렴도 이와 비슷한 방식으로 정의한다. 즉, 임의의 $\epsilon >0$을 잡을 때, 자연수 $N$이 있어서 $n\ge N$이면 정의역 X에 있는 모든 $x$에 대해 $d\left(f_n(x), g(x) \right) < \epsilon$이 성립하는 것을 $\left\{f_n\right\}$이 $g$에 균등 수렴한다고 정의한다. 이를 다시 쓰면,

이라는 것이다. 이는 곧

이라는 말과 같다. 따라서 함수열 $\left\{f_n\right\}$이 $g$로 균등수렴한다는 것은 실수열 $\displaystyle \left(\sup_{x\in X} d\left(f_n(x), g(x) \right) \right)_{n\in \mathbb{N}}$이 0으로 수렴한다는 말이 된다.

그리고 이를 기호로는 $f_n \rightrightarrows g$와 같이 나타낸다.

놀랍게도, 균등 수렴하는 함수열은 각 항이 연속 함수일 때 극한 함수도 연속 함수이며, 각 항이 적분 가능하면 극한 함수도 적분 가능하고, 심지어 이 경우에는 각 항의 적분의 극한이 극한 함수의 적분이라는 것까지도 알려져 있다! 다만, 미분가능성의 경우에는 좀 상황이 다르게 돌아가는데, 다른 성질과 비슷하게 조건을 줘도 극한 함수가 미분 가능하지 않을 경우가 생긴다. [4]

유한 측도를 갖는 집합에서 분해 가능 거리공간[5]으로 가는 함수열이 거의 모든 점에서 점별수렴하면, '거의' 균등수렴한다. 즉, 측도공간 $(X,\Sigma,\mu)$과 분해 가능 거리공간 $(Y,d)$가 주어졌다고 하자. 이 때, $X$의 유한측도를 갖는 부분집합 위에서 정의된 함수열 $f_{n}:E\to Y$가 $f$로 거의 모든 점에서 점별수렴하면, 임의의 양수 $\epsilon$에 대하여, 적당한 가측집합 $F\subset E$가 존재하여, $f_{n}$이 $F$ 위에서 $f$로 균등수렴하고, $\mu (E-F)<\epsilon$을 만족한다.