분류
삼각뿔
| 사각뿔
| 오각뿔
| 육각뿔
| 오각별뿔[2]
|
1. 개요
2. 일반적인 다각뿔에 대한 정보
각기둥 밑면의 넓이를 [math(A)], 밑면의 둘레를 [math(ell)], 높이를 [math(h)]라고 할 때
부피(volume) = [math(displaystylefrac{1}{3}Ah)]
부피(volume) = [math(displaystylefrac{1}{3}Ah)]
2.1. 정n각뿔에 대한 정보
단위/특성
| 개수
| 비고
|
꼭지점(vertex, 0차원)
| n+1
| |
모서리(edge), 1차원)
| 2n
| |
면(face, 2차원)
| n+1
| |
쌍대
| 정n각뿔[9]
|
3. 확장된 의미
2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 부호는 ()∨P[10]로 3차원 다각뿔과 같다.
밑면의 초넓이가 A[11], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은
[math(displaystyle Aleft(frac{h-t}{h}right)^{n-1})]
이므로, 높이 0~h까지 적분하면
[math(displaystyleint^{h}_{0}Aleft(frac{h-t}{h}right)^{n-1}, dt)]
[math(=,displaystyle-Afrac{h}{n}left[left(frac{h-t}{h}right)^nright]^{h}_{0})]
[math(=,displaystylefrac{1}{n}Ah)]
따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 [math(displaystylefrac{1}{n}Ah)]이다.
밑면의 초넓이가 A[11], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은
[math(displaystyle Aleft(frac{h-t}{h}right)^{n-1})]
이므로, 높이 0~h까지 적분하면
[math(displaystyleint^{h}_{0}Aleft(frac{h-t}{h}right)^{n-1}, dt)]
[math(=,displaystyle-Afrac{h}{n}left[left(frac{h-t}{h}right)^nright]^{h}_{0})]
[math(=,displaystylefrac{1}{n}Ah)]
따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 [math(displaystylefrac{1}{n}Ah)]이다.
[1] 이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 부호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서 슐레플리 부호를 참조.[2] 이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 부호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서 슐레플리 부호를 참조.[3] 정삼각형이 6개 모이면 각도가 360º가 되고, 이는 평면도형으로 축퇴되며, 당연히 이보다 많은 정삼각형은 한 점에 모을 수 없다.[4] 슐레플리 부호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.[5] 참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.[6] 슐레플리 부호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.[7] 참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.[8] 밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.[9] 밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.[10] 단, P는 n-1차원 도형[11] n차원 초입체를 이루는, n-1차원 도형. 면처럼 취급한다.