複素平面 / Complex plane

복소수의 집합 $\mathbb{C}$를 좌표평면 $\mathbb{R}^{2}$에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. 가우스 평면, 복소수 평면이라고도 하며, 프랑스에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 아르강의 그림이라고 한다. 실직선이 실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.

당연한 소리지만, 0 이외에는 접점이 없는 실수와 허수를 '편의상' 한 평면에 표현한 것 뿐이니, 피타고라스 정리[1]라던가 하는 기하학적 법칙은 통하지 않는다.

Domain coloring

복소수 관련 자료 가운데 이런 알록달록한 그림을 볼 때도 있는데, 이게 복소함수의 그래프이다. 보통 명도는 함숫값의 크기를 나타내며[4], 색도는 편각을 나타낸다. 색의 기준점은 실수 양수를 나타내는 빨간색.[5]를 익혀 두면 쉽다. 각각 빨강: $1$, 노랑: $-\overline\omega$, 초록: $\omega$, 청록: $-1$, 파랑: $\overline\omega$, 자홍: $-\omega$의 편각이다.]

복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 $x+iy$를 $\left(\Re (x+iy), \Im(x+iy)\right) = \left(x,y\right)$에 대응시키면 이는 일대일 대응이 되고 벡터공간 구조를 보존해준다.

$i$는 $\left(0,\,1\right)$에, $1$은 $\left(1,\,0\right)$에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.

언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 $\mathbb{C}$를 $\mathbb{R}^{2}$에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다. 예를 들어, 두 복소수 a+bi,c+di를 더하면 복소평면에서는 두 위치벡터[6] (a.b),(c,d)의 합이므로 평행사변형법을 써서 구할 수 있다.

복소수 $z$의 켤레복소수 $\bar{z}$는 $z$의 x축 대칭이다.

실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.

직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 극분해(polar decomposition) 라고 한다.
$\displaystyle z = a+bi = r (\cos \theta + i \sin \theta), r=\sqrt{\Re(z)^{2}+\Im(z)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \theta = \arctan \left({b}\over{a} \right)$[7]

엄밀하게는 theta 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.

위 식에서 r 은 양의 실수이기에, $\dfrac{z}{r}=c+is$($c=\dfrac{a}{r}$, $s=\dfrac{b}{r}$는 실수)라 할 때, $\left|\dfrac{z}{r}\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1$이다. 따라서 실수 $\theta$가 존재하여 $c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$이다.

이걸 그대로 오일러의 공식 ($e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$)에 적용하면 아래의 결과가 나온다.

$z = a+bi=r \cdot e^{\theta i}$

여기서, $r$은 $0$과 $z$ 사이의 거리, $\theta=\angle z$이다. 즉, $z$를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.

허수 $i$의 곱셈은 시계 반대 방향으로의 90도 회전이다. 이를 이용해서 음수끼리의 곱셈이 왜 양수가 되는지 설명하는 데 쓸 수도 있다.

극분해된 두 복소수 $z_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i}$와 $z_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i}$의 곱은 $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i}$이다. 즉, 절댓값이 각각 $r_1$과 $r_2$, 편각이 각각 $\theta_1$과 $\theta_2$인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 $r_{1}r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2}$이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.

복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, $z^2, z^3$이나 좀 더 일반화해서 $z^n$ 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.