[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == '''해밀턴 역학'''(Hamiltonian mechanics)은 고전역학을 기술하는 하나의 체계이다. 역사적으로 보면 18세기에 [[라그랑주 역학]]이 먼저 개발되었고, 그것으로부터 출발하여 윌리엄 로원 해밀턴이 19세기에 해밀턴 역학을 도입하였다. 고전역학의 영역 내에서만 본다면 해밀턴 역학은 라그랑주 역학과 동일한 결과를 주며, 그 전개방식에도 유사성이 많아 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 쉽게 오갈 수도 있다. 이는 두 역학 모두가 일반화 좌표계와 각종 '일반화된' 물리량의 개념을 사용하고 있기 때문이며 해밀턴의 원리라고도 불리는 최소 작용의 원리를 기초로 하고 있기 때문이다. 아래에서도 해밀토니언과 라그랑지언이 서로가 르장드르 변환으로 연결된 것을 확인할 수 있다. 뉴턴 역학을 사용하든, 라그랑주 역학을 사용하든, 해밀턴 역학을 사용하든 전혀 다른 결과가 나오지 않는다면 대체 왜 이런 것을 열심히 연구하는지 의문을 품을 수도 있다. 그러나, 고전역학의 틀을 벗어나면 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 그 진정한 힘을 발휘하는데 본문에서 그러한 예를 볼 수 있다.[* 단적인 예로, 뉴턴의 운동 방적식에서 힘을 질량과 위치 벡터의 이계도 함수의 곱으로 정의하고 운동을 기술하려 했지만, 정작 그 힘에 대해서는 정체가 무엇인지 밝히지 않고있다. ] 우선 해밀턴 역학의 출발점은 [[라그랑주 역학]]이므로 아래의 내용을 읽기 전에 해당 항목을 읽고 오는 것을 권한다. == 해밀토니언 == 일반적인 직교좌표계에서 운동량은 [math( p_i = {\partial \mathscr{L} }/{ \partial \dot{x}_i })] 로 표현된다. 이러한 힌트로부터 일반 좌표계에서의 일반화 운동량(Generalized momentum)을 다음과 같이 정의한다. 오른쪽 식은 일반화 운동량으로 표현한 라그랑지언 운동방정식이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} p_{i} &\equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} \\ \dot{p}_{i} & \equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_{i}} \end{aligned} )] }}} 원래 라그랑지언은 각 일반화 좌표 [math( q_i )] 와 그것의 시간 미분 [math( \dot{q}_i )]을 변수로 가진 함수였다. 해밀토니언은 [math( q_i )]와 위에서 정의한 [math( p_i )]들을 변수로 인정하여 다음과 같은 [[르장드르 변환]]으로 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}(q_{i},\,p_{i},\,t)=\sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i}-\mathscr{L}(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t) \end{aligned} )] }}} 여기에서 변수로 인정되는 게 무엇인지 알고 그것들만으로 해밀토니언을 표현하는 것이 대단히 중요하다. 정의된 라그랑지안으로부터 우변의 식을 단순히 계산하면 [math( \dot{q}_i )]들이 수식에 남아 있는 경우가 대부분인데, 반드시 이러한 표현들을 [math( q_i )]와 [math( p_i )]들로 대체하여야만 해밀토니언이 공식적으로 완성된 것이다.[* 아래에서 보듯이 각 변수들로 편미분을 해야 하기 때문에, 잘못된 변수가 수식에 남아 있어서는 안된다.] 이러한 변수 [math( q_{i} )] 와 [math( p_{i} )]를 서로의 '''공액 변수(conjugate variable)'''라고 부르고 [math( p_i, \, q_i )]들로 표현된 좌표계를 '''정규 좌표계(canonical coordinates)''', 이들을 변수로 하는 공간을 '''위상 공간(phase space)'''이라고 부른다. 해밀토니언은 일반화 좌표 [math(q_{i})], 일반화 운동량 [math(p_{i})], 그리고 시간 [math(t)]의 함수이므로 전미분은 일반적으로 다음과 같은 형태가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} \,dq_i + {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} \,dp_i \right) + {\partial \mathcal{H} \over \partial t} \,dt )] }}} 그런데 해밀토니언이 라그랑지언의 [[르장드르 변환]]이라는 정의를 기억하면, 전미분이 다음과 같이 표현되는 것 역시 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( \dot{q}_i\, dp_i + p_i \,d\dot{q}_i - {\partial \mathscr{L} \over \partial q_i}\, dq_i - {\partial \mathscr{L} \over \partial \dot{q}_i}\, d \dot{q}_i \right) - {\partial \mathscr{L} \over \partial t} \,dt )] }}} 위에서 정의한 일반화 운동량과 운동 방정식의 표현을 이용하면 위 식은 다음과 같이 간략화된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle d \mathcal{H} = \sum_i \left( \dot{q}_i \,dp_i - \dot{p}_i \,d q_i \right) - {\partial \mathscr{L} \over \partial t}\, dt )] }}} 이제 이 식을 제일 위의 전체 미분 식과 비교하면 다음과 같은 해밀토니언 운동 방정식을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{q}_{i} &\equiv \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}} \\ -\dot{p}_{i} & \equiv \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} \end{aligned} )] }}} 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} )] }}} 식도 얻어지는데 이것은 운동 방정식과 크게 관련은 없고, 이상의 내용을 모두 종합하면, [[르장드르 변환]] 식으로 부터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\frac{d \mathcal{H}}{d t} )] }}} 을 얻을 수 있다. 이제 구체적으로 해밀토니안이 어떤 물리량인지 따지고자 한다. 다시 르장드르 변환 식으로 부터 출발한다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} =\sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i}-\mathscr{L} \end{aligned} )] }}} 그런데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle p_{i} \equiv \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} =\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{i}} -\mathscr{L} \end{aligned} )] }}} 임을 알 수 있다. 그런데 라그랑지언은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 선형 결합 [math(\mathscr{L}=T-U)]이고, 일반화 속도 [math(\dot{q}_{i})]는 운동 에너지 [math(T)]에만 의존하므로 위 식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} -(T-U) \end{aligned} )] }}} 간단한 역학계에서 운동 에너지는 일반화 속도의 2차 [[동차함수]]이므로 [[오일러 정리]]로 부터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} =2T \end{aligned} )] }}} 이상에서 해밀토니언이 다음과 같음을 얻는다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathcal{H}=T+U )] }}} 즉, 어떤 시스템의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총 합이 곧 해밀토니언이 된다. 그러나 이 조건은 두 조건이 만족할 경우에만 그렇다고 할 수 있다. ||<table width=100%> 1. 퍼텐셜 에너지는 속도 [math(\dot{x}_{\alpha,\,i})]와 시간에 의존하지 않아야 한다. 1. 입자의 좌표 [math(x_{\alpha,\,i})]와 일반화 좌표 [math(q_{i})] 간의 변환식이 시간에 의존하지 않아야 한다. || 그 이유에 대해선 수준 상의 문제로 고전역학 책을 한 번 볼 것을 권한다. 또한, 위에서 얻었던 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\frac{d \mathcal{H}}{d t} )] }}} 을 고려하면, 해밀토니언이 시간에 직접적으로 의존하지 않는다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{d \mathcal{H}}{d t}=0 )] }}} 이고 이것은 해밀토니언이 보존됨을 의미한다. 만약 해밀토니언이 [math(\mathcal{H}=T+U =E)]를 만족하는 시스템이라면, 이 경우엔 해밀토니안이 총 역학적 에너지로 보존된다. 참고적으로 해밀토니안은 흘림체인 [math(\mathcal{H})]으로 쓰는 것을 권장하는데, 이는 [math(H)]는 겹치는 의미가 꽤 있어서([[헤비사이드 계단 함수]], [[에르미트 행렬]], 에르미트 함수 등) 명확한 구별을 위해 흘림체로 쓰는 것이 좋다. === 예제 1 === ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 질량 [math(m)]인 입자가 반지름 [math(R)]인 원통에 구속되어 움직일 때, 해밀토니안을 구하고 해밀턴 역학을 이용하여 계를 분석하시오. || [[파일:나무_해밀토니언_예제.png|width=230px&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] ----- 이 문제를 유용하게 분석할 수 있는 원통 좌표계를 사용한다. 이 상황에서 계의 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}) \end{aligned} )] }}} 또한 퍼텐셜 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle U=mgz )] }}} 따라서 계의 라그랑지언은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathscr{L}=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})-mgz )] }}} 임을 알 수 있다. 따라서 [math(\theta,\,z)]에 대한 일반화 운동량은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} p_{\theta}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta}}=mR^{2}\dot{\theta} \\ p_{z}&=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{z}}=m\dot{z} \end{aligned} )] }}} 으로 구해진다. 라그랑지언이 시간에 무관하므로 계의 해밀토니언은 결국 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 구해지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=T+U\\&=\frac{1}{2}m(R^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2})+mgz \end{aligned} )] }}} 그러나 해밀토니안은 일반화 운동량과 일반화 좌표의 함수이므로 위에서 얻었던 정보를 고려하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^{2}} +\frac{p_{z}^{2}}{2m} +mgz \end{aligned} )] }}} 으로 구해진다. 이번에는 정준 방정식을 이용하여 계를 분석해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{p}_{\theta}&=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \theta}=0 \\ \dot{p}_{z}&=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial z}=-mg \end{aligned} )] }}} 즉, [math(\theta)]에 대한 운동량은 보존됨을 알 수 있으며, 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{\theta}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{\theta}}=\frac{p_{\theta}}{mR^{2}} \\ \dot{z}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m} \end{aligned} )] }}} 을 얻을 수 있다. 위에서 얻은 정보를 이용하면, 다음의 두 미분 방정식을 쉽게 얻음을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \ddot{\theta}&=0 \\ \ddot{z}&=-g \end{aligned} )] }}} 따라서 이 계는 [math(\theta)]방향으로 각운동량이 보존되면서, [math(z)]방향으로 중력 가속도의 가속도로 등가속도 운동함을 알 수 있다. }}} === 예제 2[* [[라그랑주 역학]] 문서에도 나와있는 문제로, 거기에 가보면 라그랑주 역학과 뉴턴 역학을 사용한 풀이들을 볼 수 있다. ] === ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 그림과 같이 마찰이 없는 수평면 위에 질량 [math(M)]이고, 경사각이 [math(\theta)], 빗면의 길이가 [math(l)]인 경사면이 있고, 경사면 꼭대기에 질량 [math(m)]인 작은 물체를 놓았을 때, [math(m)]이 빗면을 모두 내려오기까지 걸린 시간을 구하시오. (단, 중력 가속도 [math(\mathbf{g}=-g \hat{\mathbf{y}})]이다.) || [[파일:라그랑주 역학_경사면 예제_수정.png|width=250&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] 물체들의 위치를 일반화좌표계로 우선 쓰자. 경사면의 꼭대기의 좌표를 [math(x_{1},\,y_{1})], 물체의 좌표를 [math(x_{2},\,y_{2})]라 놓으면 다음을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} x_{1}&=X \\ y_{1}&=0 \\ x_{2}&=X+Y\cos{\theta} \\ y_{2}&=-Y\sin\theta \end{aligned})] }}} 이로부터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{x}_{1}&=\dot{x} \\ \dot{y}_{1}&=0 \\ \dot{x}_{2}&=\dot{X}+\dot{Y}\cos{\theta} \\ \dot{y}_{2}&=-\dot{Y}\sin\theta \end{aligned})] }}} 이기 때문에 계의 운동 에너지 [math(T)]와 퍼텐셜 에너지 [math(U)]는 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} T&={1 \over 2} M (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) + {1 \over 2} m (\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2) \\ &={1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) \\ U&=Mgy_1 + mgy_2 = -mgY \sin \theta \end{aligned})] }}} 이것으로부터 라그랑지안은 결정될 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L} &= T- U \\& = {1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) + mgY \sin \theta \end{aligned})] }}} 또, 결정되는 일반화 운동량은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} p_X &= \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{X}}\\& = (M+m)\dot{X} + m\dot{Y} \cos{\theta} \\ p_Y &= \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{Y}} \\& = m\dot{X} \cos \theta + m \dot{Y} \end{aligned})] }}} 이고, 이에 해밀토니안은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &= T + U \\& = {1 \over 2} M \dot{X}^2 + {1 \over 2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X} \dot{Y} \cos \theta + \dot{Y}^2) - mgY \sin \theta \end{aligned})] }}} 으로 결정된다. 이것을 시간 미분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \dot{p}_X &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial X} \\&= 0 \\ \dot{p}_Y &= -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Y} \\&= mg \sin \theta \end{aligned})] }}} 위에서 구한 일반화 운동량을 시간 미분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{p}_X &= (M+m)\ddot{X} + m\ddot{Y} \cos \theta \\ \dot{p}_Y &= m\ddot{X} \cos \theta + m \ddot{Y} \end{aligned})] }}} 이상에서 다음의 미분 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (M+m)\ddot{X} + m\ddot{Y} \cos \theta&=0 \\ m\ddot{X} \cos \theta + m \ddot{Y} &=mg \sin \theta \end{aligned})] }}} 이 방정식을 풀면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \ddot{X} &= \frac{ -mg \sin \theta \cos \theta }{ M + m \sin^2 \theta } \\ \ddot{Y} &= \frac{ (m+M) g \sin \theta }{ M + m \sin^2 \theta } \end{aligned})] }}} 따라서 물체가 경사면을 떨어지는데 걸리는 시각을 [math(T)]라 놓으면, [math( l=2 \ddot{Y}T^{2})]로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T = \sqrt{\frac{ 2l (M + m \sin^2 \theta) }{ (m+M) g \sin \theta }} )] }}} 의 결과가 나오게 된다. }}} == [[푸아송 괄호]]를 이용한 해석 == 정규 좌표계로 표현되는 두 함수 [math( f(q_{i},\,p_{i}) )]와 [math( g(q_{i},\,p_{i}) )] 에 대해 [[푸아송 괄호]]는 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \{ f,\, g \} \equiv \sum_{i} \left( {\partial f \over \partial q_i} \ {\partial g\over \partial p_i} - {\partial f \over \partial p_i} \ {\partial g\over \partial q_i} \right) )] }}} 푸아송 괄호를 사용하면 해밀토니언 운동방정식은 다음과 같이 표현된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} {dq_i \over dt} &= {\partial \mathcal{H} \over \partial p_i} &= \{ q_i, \,\mathcal{H} \} \\ {dp_i \over dt} &= - {\partial \mathcal{H} \over \partial q_i} &= \{ p_i, \,\mathcal{H} \} \end{aligned} )] }}} 그리고 일반적인 함수 [math( f(q_{i},\,p_{i}) )]의 시간미분은 다음과 같음을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {df \over dt} =\{ f, \,\mathcal{H} \} + {\partial f \over \partial t})] }}} 여기까지만 봐선, 새로운 기호를 정의했을 뿐이지 별다른 유용성은 전혀 없다고 생각할지 모른다. 자, 이제 각 일반좌표 [math( q_i )] 와 일반화 운동량 [math( p_i )] 들간의 푸아송 괄호를 계산해 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ q_i, \, q_j \right\} &= \left\{ p_i,\, p_j \right\} = 0 \\ \left\{ q_i, \, p_j \right\} &= \delta_{ij} \end{aligned} )] }}} [math(\delta_{ij})]는 [[크로네커 델타]]이다. [[양자역학]]에 익숙한 사람들이라면 이쯤 오면 무언가가 떠오르기 시작할 것이다. 공액 변수들이 바로 양자역학에서의 불확정성 원리에서 서로 대응되는 두 변수들이고, 푸아송 괄호의 역할이 양자역학적인 교환자의 역할과 유사해진다. 즉, 고전역학에서 양자역학으로 가는 한 방법은 변수와 함수들을 오퍼레이터로 만들고, 해밀턴 역학에서 푸아송 괄호를 [math( 1 / i \hbar )]를 곱한 교환자로 대체하는 것이다. 이러한 것을 따르면 다음과 같은 식들이 얻어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} [ \hat{q}_i, \, \hat{q}_j ] &= [ \hat{p}_i, \, \hat{p}_j ] = 0 \\ [ \hat{q}_i,\, \hat{p}_j ] &= i \hbar \delta_{ij} \end{aligned} )] }}} 그리고, 시간의 직접적인 함수가 아닌 [[연산자]] [math( \hat{f} )]에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {d \hat{f} \over dt} = {1 \over i\hbar} [ \hat{f},\, \hat{\mathcal{H}}] )] }}} 임을 알 수 있는데, 이것이 바로 하이젠베르크 묘사 (Heisenberg picture) 에서의 양자역학을 지배하는 운동방정식이 된다. 고전역학으로부터 양자역학으로 넘어오는 방법은 이것 외에도 여러 가지가 있다. 슈뢰딩거의 양자역학에 대한 논문도 해밀턴 역학으로부터 유도된 해밀턴-자코비 방정식으로부터 출발하고, 최소작용의 원리를 최소 근처의 작용을 허용하도록 수정하면 라그랑주 역학에서 출발하여 파인만의 경로적분으로 표현되는 양자역학에 도달할 수 있다. 즉, [[하이젠베르크]], [[슈뢰딩거]], [[리처드 필립스 파인만|파인만]]이 각각 발견한 비상대론적 양자역학의 세 가지 공식화 방법이 전부 고전역학에 그 힌트가 숨어 있는 것이다. == 관련 문서 == * [[고전역학]] * [[해석역학]] * [[라그랑주 역학]] * [[르장드르 변환]] * [[보존력]] [각주] [[분류:역학]]