[목차] == 개요 == '''항등원(Identity)'''은 임의의 수 a와 어떤 수를 연산했을 때 a가 나오게 하는 그 어떤 수를 의미한다. 예를 들어, * 덧셈에서의 항등원은 [[0]]이다. 덧셈의 항등원은 달리 '''영원'''이라고도 한다. * 곱셈에서의 항등원은 [[1]]이다. 기호로는 e 를 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 [[자연로그의 밑]]과 혼동에 주의. == 정의 == 집합 [math( S )]와 이 집합 위에서 정의된 [[이항연산]] [math( *:S \times S \to S )]가 있을 때, 어떤 [math( e \in S )]가 다음을 만족한다고 하자. 1. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( e*x = x )] 1. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*e = x )] 1을 만족하는 경우 [math(e)]를 왼쪽 항등원(left indentity)라 하고, 2를 만족하는 경우에는 오른쪽 항등원(right indentity)라 한다. 1과 2를 동시에 만족시키면 [math(e)]를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 항등원이라 한다. === 역원 === 연산결과로 항등원을 만드는 원소를 '''역원(Inverse element)'''이라고 한다. 보통 [math(S^{-1})]로 표기한다. * 덧셈의 역원은 [[부호]]가 반대인 수([[반수]])이다. ([math(a + (-a) =0)]) * 곱셈의 역원은 [[지수(수학)|지수]]의 부호가 반대인 수([[역수]])이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)]) 한편, 역원이 존재하지 않는 [[군(대수학)|군]]은 [[모노이드]]라고 한다. 대표적으로 [[자연수]] 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.[* 물론 순수 자연수 집합은 [[반군#s-2|덧셈의 항등원이 없기 때문에]] 모노이드로서 다룰 때에는 여기에 [[0]]을 포함시킨다.] === 멱등원 === 동일한 연산(대부분 [[지수(수학)|거듭제곱]])을 한 원소가 그 원소와 동일한 원소를 '''멱등원(Idempotent element)'''이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다. 위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 [[멱등행렬]], [[멱등함수]] 등이 있다. 항등원과 멱등원이 동일한 경우도 있으나, 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 곱셈에 대해서는 항등원이 아닌 0을 예로 들자면, __0을 곱한 횟수에 상관없이 결과값이 0으로 동일하므로__ 멱등원에 속한다. == 예시 == || [math( S )] || [math( *:S \times S \to S )] || [math( e \in S )] || [math( S^{-1} )] || [math(S^2=S)] || || [[행렬]]의 집합 || 덧셈 || 영행렬 || 부호가 반대인 행렬 || 영행렬 || || [math( n \times n )] 행렬의 집합 || [[행렬곱]] || [math( n \times n )] [[단위행렬]] || [[역행렬]][* 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다.] || [[멱등행렬]] || || [[함수]]의 집합 || [[합성함수|함수의 합성]] || [[항등함수]] || [[역함수]][* 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.] || [[멱등함수]] || [[분류:대수학]][[분류:수학 용어]]