[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == 합성함수에 대해 설명하는 문서. == 상세 == 함수 [math(h)]가 두 함수 [math(f)]와 [math(g)]의 연쇄로 나타내어질 때, [math(h)]를 [math(f)]와 [math(g)]의 '''합성함수'''라고 부르고, 대개 [math(h(x)= g(f(x)))], [math(h(x)= (g\circ f)(x))], 혹은 함수 자체를 다룰 때는 [math(h = g\circ f)]라고 쓴다.[* 고등학교나 대학교 저학년에는 [[귀차니즘]]으로 인해 중간 형태보다는 첫번째의 형태로 쓰는 경우가 많다. 그러나 함수 자체를 오브젝트로 다루는 때가 되면 보통 입력값인 [math(x)]를 생략하므로 [math(g\circ f)]를 주로 쓰게 된다.] 계산 과정상 제일 안쪽(오른쪽) 함수부터 계산 과정이 진행된다. 어떤 특정한 함수가 "합성함수다/아니다" 라고 구분하는 것은 수학적으로 아무 의미가 없다.[* 그러나 나무위키 항목들 중에는 이와 같은 서술을 하는 경우가 종종 있다. 해당 부분을 발견한다면 읽을 때 주의할 것.] 합성함수를 논의할 때는 '[math(h)]가 '''[math(f)]와 [math(g)]의 합성이다''''와 같이 무엇의 합성인지가 반드시 따라야 한다. 합성함수인지의 여부는 각 함수에 내재하는 고유한 속성이 아니라는 말이다. '합성함수'는 함수들 간의 관계에서 도출되는 개념이다. 이러한 맥락이 없이 각 함수를 합성함수이다/아니다의 절대적인 기준으로 ''분류''할 수 없다. 예를 들어 "함수 [math(h(x) = e^{\sin x})]는 합성함수다"라는 말이 그 자체로 의미가 없음은 "숫자 12는 더해진 수다"라는 말이 의미가 없다는 것과 유사하다.[* [[군(대수학)|군론]]의 표현을 빌리자면, 함수의 합성과 덧셈은 이항연산자에 불과하다. 각 원소 자체가 이항연산자의 결과다/아니다라고 구분짓는 것은 어불성설이다.] 숫자 12가 '더해진 수'라는 서술이 의미를 지니려면 증명과정에서의 쓸모에 따라 혹은 관심의 대상에 따라 (예컨대) 다음과 같이 12가 무엇과 무엇을 더한 것인지, 그리고 그러한 표현이 무슨 쓸모가 있는지 밝혀야 한다. > * 12 = 5 + 7, 즉 두 홀수의 합이므로, 12는 짝수다. > * 12 = 5 + 7이다. 이는 [[골드바흐 추측]]의 한 예다. 마찬가지로 [math(h)]가 합성함수라는 것이 의미를 가지려면 가령 다음과 같은 맥락이 필요하다. > 함수 [math(h)]는 [math(f(x) = \sin x)]와 [math(g(x) = e^x)]의 합성함수이므로, 연쇄 법칙에 의하여 [math(h'(x) = e^{\sin x}\cos x)]이다. 더군다나 "[math(h(x)= 2x)]는 합성함수가 아니다"는 명백히 틀린 서술이다. [math(h)]는 항등함수 [math(x\mapsto x)]와 2배 함수 [math(x\mapsto 2x)]의 합성함수로 볼 수 있다. 심지어 항등함수 [math(x\mapsto x)]는 그 자신의 합성함수로 볼 수 있다.[* 말장난 같아보이지만 이는 함수로 이루어진 [[군(대수학)|군]] 등을 논의할 때 자주 접하는 서술들이다.] 함수의 합성은 기본적으로 [math(f\circ g\ne g\circ f)], 즉 [[교환법칙]]이 성립하지 않는다. 수학적인 방법으로 예를 든다면, 다음과 같다. [math(f\left(x\right)=2x, g\left(x\right)=x+1)] 일 때 [math(\left(f \circ g\right)\left(x\right)=2\left(x+1\right)=2x+2, \left(g \circ f\right)\left(x\right)=2x+1 )] 이다. 특별한 이유가 없다면 교환법칙은 성립하지 않는 것이 당연하므로 주의하는 것이 좋다. 사실 정식대로라면 [[잘 정의됨|[math(g)]의 공역이 [math(f)]의 정의역의 부분집합일 때]]만 [math(f \circ g)]의 합성을 할 수 있으므로, [math(f \circ g)]가 있어도 [math(g \circ f)]는 존재하지 않는 경우가 더 많다.[* 대표적으로 [[부호 함수]] [math(\mathrm{sgn}(x))]와 [[로그 적분 함수]] [math(\mathrm{li}(x))]의 합성. 부호 함수는 실수 범위에서 함숫값이 [math(\{-1, 0, 1\})]임에 비해 로그 적분 함수는 정의역에 [math(\{-1, 0, 1\})] 이 제외되어 있기 때문에 [math((\mathrm{sgn \circ li})(x))]는 정의할 수 있어도 [math((\mathrm{li \circ sgn})(x))]는 정의할 수 없다.] 함수의 합성에서 유일하게 성립하는 법칙은 거의 [[결합법칙]] [math(f\circ \left(g\circ h\right)= \left(f\circ g\right)\circ h)] 뿐이라고 보면 무방하다. 함수를 합성하는 연산자 [math(\circ)]가 결합법칙을 만족하므로, 함수를 (적당히) 모은 집합은 훌륭한 [[군(대수학)|군]]이 된다. 함수의 합성 [math(\circ)]를 이항연산으로, 항등함수 [math(\mathrm{Id}(x)= x)]를 항등원으로, 함수 [math(f)]의 역함수 [math(f^{-1})]을 역원으로 보면 된다.[* 물론 항등함수와 역함수가 정의된 집합이고 여타 군의 조건을 만족해야 한다. 이 의미에서 함수를 '적당히' 모은 집합.] 동일 함수가 합성됐을 경우 [math(f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right))]와 같이 [[지수(수학)|지수]] 꼴로 합성한 횟수를 나타내기도 한다. 단, [[삼각함수]]와 [[로그함수]]에는 적용되지 않는다. 예컨대 [math(\sin^2 x)]라 하면 [math(\sin \left(\sin x\right))]가 아니라 [math(\left(\sin x\right)\times \left(\sin x\right))]를 나타낸다. 또한 일반적인 함수의 경우에도 저자와 독자의 합의가 없는 경우 [math(f^2(x))]가 [math(f(f(x)))]처럼 동일한 함수를 합성한 것인지 혹은 [math(\left[f(x)\right]^2)]처럼 함숫값을 제곱한 것인지 혼동을 줄 수 있다.[* 예컨대 함수의 노름을 정의하는 식 [math(\lVert f \rVert_2^2 = \int f^2)] 우변의 제곱은 함숫값의 제곱이다.] == 멱등함수 == [math(f\circ f\left(x\right)=f^2\left(x\right) = f\left(x\right))]를 만족하는 함수를 멱등함수(idempotent function)라고 한다. 대표적으로 다음이 있다. * [[부호 함수]] [math(\mathrm{sgn}\left(x\right))], [math(\mathrm{csgn}\left(x\right))] * [[항등함수]] [math(x)] * [[상수|상수함수]] [math(c)] * [[복소수#s-3.1|실수부 함수]] [math(\Re\left(z\right))] * [[집합 판별 함수|자연수 판별 함수]] [math(\bold{1}_{\mathbb{N}}\left(x\right))] * [[절댓값]] [math(|x|)] * [[최대 정수 함수]] [math(\left\lfloor x \right\rfloor)] * [[최대 정수 함수#최소 정수 함수|최소 정수 함수]] [math(\left\lceil x \right\rceil)] * [[톱니파|소수부 함수]] [math(\{ x \})] * [[정사영]]: 멱등성이 특히 유용하게 쓰이는 경우다. == 합성함수의 [[미분]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=연쇄 법칙)] == 합성함수의 [[적분]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=치환적분)] [include(틀:문서 가져옴,title=함수,version=375)] [[분류:함수]]