[include(틀:특수함수의 목록)] '''프레넬 적분 함수(Fresnel integral)'''은 [[특수함수]]의 일종으로, 각각 [math(S(x))], [math(C(x))] 두 종류가 있다. 정의는 다음과 같다.[* 단, [math(\displaystyle \int_{0}^{x} \sin{t^2}\,dt \equiv S(x))], [math(\displaystyle \int_{0}^{x} \cos{t^2}\,dt \equiv C(x))]로 정의하는 경우도 있다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)& \equiv\int_{0}^{x} \sin{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,dt \\ C(x)&\equiv\int_{0}^{x} \cos{\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)}\,dt\end{aligned} )] }}} 친척인 [[삼각 적분 함수]]와 비슷하게 sine, cosine만 적분이 정의된다. 두 함수는 모두 [[테일러 급수|무한급수]]로 나타낼 수 있으며, 각각 나타내면 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!\cdot(4n+3)} \\ C(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!\cdot(4n+1)} \end{aligned} )] }}} 또한 두 함수로 부터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{dS(x)}{dx}&=\sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \sin{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,dx=S(x)+\mathsf{const.} \\ \frac{dC(x)}{dx}&=\cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)} \Leftrightarrow \ \int \cos{\left( \frac{\pi x^{2}}{2} \right)}\,dx=C(x)+\mathsf{const.} \end{aligned} )]}}} 또한 얻을 수 있다. 여기서 [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. 둘 다 [[대칭함수|홀함수]]로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=-S(-x) \\ C(x)&=-C(-x) \end{aligned} )] }}} 가 성립하며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} S(x)=\lim_{x \to \pm\infty} C(x)=\pm\frac{1}{2} )] }}} 임이 알려져있다. (단, 복부호 동순) 아래는 본 함수의 그래프 개형을 나타낸 것이다. [[파일:나무_프레넬적분_그래프_NEW.png|width=330&align=center]] [math(S(x))]의 최댓값은 [math(x=\sqrt{2})]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{1+i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{2 \pi} \right) -i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{2 \pi} \right)\right] )]}}} 이며, [math(C(x))]의 최댓값은 [math(x=1)]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{1-i}{4} \left[ \mathrm{erf} \left( \dfrac{1+i}{2} \sqrt{\pi} \right) +i\, \mathrm{erf}\left( \dfrac{1-i}{2} \sqrt{\pi} \right)\right] )]}}} 이다. 홀함수이므로 최댓값의 [[반수]]가 최솟값이 된다. 위에서 [math(\mathrm{erf})]는 [[오차함수]](Error function)이다. 여담으로, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_spiral|오일러 나선]]이라는 특수한 나선을 그릴 때 사용된다. [[분류:비초등함수]]