||{{{-1 프랙탈 이론은 검증된 이론입니다. 이를 기반으로 제창된 [[유사과학]] [[프랙탈 우주론]]과 혼동하지 마시기 바랍니다.}}}|| [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == 프랙탈은 [[수학]], [[기하학]] 연구 분야 중 하나로서, '''자기유사성'''을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다. 자기상사, [[병리적 함수|병리적]][* '병리적'이라는 단어는 [[실해석학]]의 시각에서 본 단어인데, 일반적인 수학적 대상(그 중에서도 [[함수]])과는 동떨어진 성질을 갖고 있어서 붙여진 이름이다.]이라는 다른 단어로 표현하기도 한다. == 역사 및 의의 == [[프랙탈]](Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙탈의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 [[카를 바이어슈트라스]]가 제시한 [[바이어슈트라스 함수|전구간 미분불능함수]]는 프랙탈의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 [[야코프 베르누이]]가 [[로그함수]]를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다. [[https://en.m.wiktionary.org/wiki/fractal|어원 정보]] 프랙탈 이론은 1975년 [[망델브로 집합]]을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙탈[* 완벽한 프랙탈은 아니지만 대충 프랙탈처럼 생긴 것.] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 [[카오스 이론]]과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데 [[카오스 이론|초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템]]이라는 성격에 잘 부합된다. ~~학교 수학 과제 주제로도 유용하다~~ 고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있다. 이러한 프랙탈의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, [[진화생물학|진화론]]상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다. [[파일:attachment/프랙탈~1.gif]] <프랙탈 항구> 컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것. [[파일:external/upload.wikimedia.org/Animated_fractal_mountain.gif]] <프랙탈 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정> 어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 [[테셀레이션]]이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 [[다이렉트X]]11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다. 프랙탈 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 [[대학수학능력시험]]에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다. [[마이클 크라이튼]] 원작 소설 [[쥬라기 공원]]에도 소개되는데 등장 인물중 [[이안 말콤]]박사가 프랙탈 이론을 언급하는 장면이 나온다. == 차원 == 프랙탈 이론에서는 차원을 정의하는 방식을 달리하여 정수가 아닌 차원까지 생각할 수 있는데, 이를 '''하우스도르프 차원'''이라고 한다. [include(틀:상세 내용, 문서명=하우스도르프 차원)] == 프랙탈 도형의 종류 == * [[코흐 곡선]] * [[시어핀스키 삼각형]] / 양탄자 / 피라미드[* 사실 이것 말고도 문자로도 구현이 가능하다.] * [[시어핀스키 사각형]] * [[드래곤 커브]] * [[멩거 스펀지]] * [[리아스식 해안]]선 - [[해안선 역설]] * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal|뉴턴 프랙탈]] * [[칸토어 집합]][[http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set|#]] 좀 특이한 집합인데, 총 측도(길이)는 0[* 매 과정을 거칠 때마다 길이가 [math(\frac{2}{3})]배로 줄어들기 때문에, 이 과정을 무한히 반복하면 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{2}{3} \right)^n=0)]이 되기 때문이다.], 그런 주제에 구멍이 듬성듬성한데도 집합 농도는 실수와 같은 집합이다[* 구간 [math(\left[ 0,1 \right])]의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로 [math(0.a_{1} a_{2} a_{3} \cdots)]으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을 [math(C)]라고 하면, [math(\displaystyle \forall x \in C, x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k})](단, [math(a_k)]는 0 혹은 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수 [math(f)]를 [math(\forall x \in C, f \left( x \right) = f \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}} \right) = \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^{k+1}}})]와 같이 대응시킬 수 있다. 이 함수의 치역은 2진법 소수로 [math(\left[ 0,1 \right])]의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과 [math(\left[ 0,1 \right])] 사이에 일대일대응이 성립하여, 실수 집합과 농도가 같게 된다.]. * [[http://ko.wikipedia.org/wiki/쥘리아_집합|쥘리아 집합]][* 만델브로 집합의 일부분이기도 하다. [[http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA]]] * [[망델브로 집합]][* 가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙탈 이미지일 뿐이다.] == 관련 영상 == === 2D 프랙탈 === 프랙탈 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적(2차원에서는 둘레)이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다. 아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙탈 도형 확대 영상. * [[망델브로 집합]] * 일반적인 확대 영상 [youtube(0jGaio87u3A)] * 도형 속에서 여러가지 작품을 찾아보는 영상 [youtube(93akxnQ1xxw)] * 지루한 확대와는 달리 이 영상은 초고속 확대를 시도한다 [YouTube(VDMgmZOzZTo)] 이러한 영상들을 끝낼 때는 마지막에 첫 도형과 같은 도형으로 끝내는 경우가 일반적이다. ~~그 덕에 영상이 어느 정도 후반이 되면 동심원밖에 안보인다.~~ * 줄리아 집합 [youtube(gruJ0S3TTtI)] 보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다. * [[구글]]의 인공지능 'Deep Dream'이 생성한 프랙탈 [YouTube(SCE-QeDfXtA)] 갈수록 사람에 따라 심기가 불편할 수 있다.--아니 무슨 눈깔이....-- --[[시리악 해리스|씨리악]]도 아니고...-- === 3D 프랙탈 === 이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙탈 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다. '''[[환공포증|개인에 따라 조금 징그럽단 느낌이 들 수 있으니 주의.]]''' [youtube(S530Vwa33G0)] 동영상 제목이 Like in a dream (꿈만 같은)이다. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만. [youtube(P5EkdJRtF-4)] 시에르핀스키 삼각형. [[멩거 스펀지|...삼각형?]] --음악이 심히...약같기는커녕 무섭다-- [youtube(j_dey8YBKjE)] 위의 2D 프랙탈 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다. [youtube(xj_4jvSDVME)] 시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다. [youtube(N8WWodGk9-g)] Ray Marching 기법을 이용한 특수한 렌더링 엔진으로 여러 가지 3D 프랙탈을 '''실시간''' 렌더링하는 모습. [[https://youtu.be/svLzmFuSBhk|이 동영상]]에서 원리가 설명되어 있다. === 4D 프랙탈 === [youtube(uvCGE_ypsc0)] 만델브로 집합을 '''[[4차원|4D]]'''에 구현한 영상. == 용례 == * [[마블 시네마틱 유니버스]] 영화인 [[앤트맨(영화)|앤트맨]], [[닥터 스트레인지(영화)|닥터 스트레인지]]와 [[가디언즈 오브 갤럭시 VOL.2]]에서 신비로운 분위기를 연출하기 위해 3D 프랙탈을 사용하였다. * [[Aleph-0]]의 BGA에 3D 프랙탈을 적극적으로 사용하였다. * [[니팔자야]] 뮤직비디오의 초반에 [[망델브로 집합]]을 확대하는 장면이 있다. * [[쥬라기 공원]]에도 프렉탈을 이용한 CG가 이용되었다. * [[카도: The Right Answer]]에서 카도의 모양이 3D 프랙탈이다. == 여담 == * 나무위키 주석으로 프랙탈[* 순환참조에 가깝다.]을 구현할 수 있었으나 서버에 큰 부담을 주게되는 기능인 탓에 픽스되었다. 현재는 할 수 없다.--아니 진짜로 해본 사람이 있다고?-- * [[https://www.youtube.com/watch?v=droTYSmSGHg|카오스 게임(Chaos Game)]]으로 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있다. 방법은 다음과 같다. 1. 삼각형 안의 아무 점에서 시작한다. 1. 그 점과 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나를 선택해서 중점을 구한다. 1. 2에서 구한 중점을 표시하고 다시 그 중점과 다시 아무 꼭짓점 사이의 중점을 구한다. 1. 3을 무한히 반복하면 삼각형 위에 표시한 중점이 시에르핀스키 삼각형을 이룬다. [[분류:프랙탈 이론]]