타원

[include(틀:기하학·위상수학)]
[include(틀:원뿔곡선)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 ellipse, oval · [[楕]][[圓]]}}}

[[기하학]]에 등장하는 [[도형]]의 일종으로, 수학적 정의는 
||<table width=100%> '''평면 상의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합''' ||
이다. 그러므로 [[원(도형)|원]] 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.

[[원뿔곡선]] 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다.

== 상세 ==
=== 타원의 방정식 ===
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다. 

 * '''방정식''': [math(\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} )]
 * '''그래프'''
  * [math(a>b>0)]일 때
  [[파일:타원_유형1_수정.png|width=200&align=center]]
  * [math(b>a>0)]일 때
  [[파일:타원_유형2_수정.png|width=160&align=center]]
 * '''조건''': [math(\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=\textsf{const.})]
 * '''중심의 좌표''': [math(\mathrm{C}(x_{0},\,y_{0}))]
 * '''초점의 좌표'''
  * [math(a>b>0)]일 때: [math(\mathrm{F}(\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))]
  * [math(b>a>0)]일 때: [math(\mathrm{F}(x_{0},\,\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(x_{0},\,-\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))]
 * '''꼭짓점의 좌표''': [math(\mathrm{A}(a+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{A'}(-a+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{B}(x_{0},\,b+y_{0}))], [math(\mathrm{B'}(x_{0},\,-b+y_{0}))]
 * '''긴 반지름의 길이'''
  * [math(a>b>0)]일 때: [math(a)]
  * [math(b>a>0)]일 때: [math(b)]
 * '''짧은 반지름의 길이'''
  * [math(a>b>0)]일 때: [math(b)]
  * [math(b>a>0)]일 때: [math(a)]
 * '''중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})] 위의 점 [math(\boldsymbol{(x_{1},\,x_{2})})] 위를 지나는 접선의 방정식''': [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
 * '''중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})]의 기울기 [math(\boldsymbol{m})]의 접선''': [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
==== 유도 ====
[[파일:나무_타원방정식유도.png|width=200&align=center]]

우리는 우선적으로 가장 간단한 경우를 보고자한다. 즉, 타원의 중심이 원점이고, 두 '''초점(Foci)'''[* 타원은 초점이 2개이므로 Focus가 아닌 Foci이다.]이 [math(x)]축 위에 있는 경우를 보자. 그림과 같이 두 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]이고, '''꼭짓점(Vertex[* 단, 이것은 긴 지름 상에 있는 꼭짓점이다.], Co-vertex[* 단, 이것은 짧은 지름 상에 있는 꼭짓점이다.])'''이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려해보자. 타원의 정의에 따라 [math(\overline{\mathrm{F'P}}+\overline{\mathrm{FP}})]는 일정해야하고, 타원 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]위에 있다면, 그 길이는 [math(2a)]가 돼야 하므로,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a )] }}}
이것을 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )] }}}
이고, 양변을 제곱하여 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle cx+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )] }}}
다시 양변을 제곱하여 정리하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}))] }}}
맨 처음 식에 점 [math(\mathrm{B})]를 대입하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2} )] }}}
이므로 이것을 이용하면, 아래의 타원 방정식이 나오게 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] }}}
단, 이때, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0<b<a )] }}}
의 조건을 만족해야 함에 유의해야 한다.

만약, 중심이 원점이며, 초점이 [math(y)]축에 있고, [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]이며, 타원의 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려하면, 위와 같은 논법으로 타원의 방정식은 다음이 됨을 보일 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] }}}
단, 이때
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0<a<b )] }}}
이며, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle a^{2}=b^{2}-c^{2} )] }}}
를 만족하게 된다.

두 경우 모두 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]에 있다면, [math(x)]축으로 [math(x_{0})]만큼, [math(y)]축으로 [math(y_{0})]만큼 평행이동하면 되므로, 방정식은 아래와 같이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 )] }}}
이 경우, 초점과 각 꼭짓점 또한 평행 이동하게 됨에 유의해야 한다.

한편, 위와 같은 방정식 형태를 '''표준형'''이라 한다.

==== 일반형 ====
타원의 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 )] }}}
이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 타원을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다.

==== 긴 반지름과 짧은 반지름 ====
타원의 중심과 두 초점을 지나는 유일한 [[선분]]을 '''긴 지름(Major axis)'''이라고 한다. 그럴 때, 이 긴 지름으로부터 중심까지의 절반이 되는 선분을 '''긴 반지름(Semi-major axis)'''이라고 한다. 간단하게 말하자면 타원의 중심에서 타원까지의 가장 먼 거리라고도 할 수 있다.[* 일부에서는 긴 지름을 '''장축''', 긴 반지름을 '''장반경'''이라고 하기도 한다.] 긴 반지름과는 반대로, '''짧은 반지름(Semi-minor axis)'''은 타원의 중심에서 타원까지 이르는 가장 짧은 길이의 [[선분]]을 의미한다.[* 일부에서는 짧은 지름을 '''단축''', 짧은 반지름을 '''단반경'''이라고 하기도 한다.] 아래의 그림을 참조하자:

[[파일:나무_타원_구성요소_뉴sb.png|width=290&align=center]]
==== 이심률 ====
타원의 '''이심률(Eccentricity)'''은 타원이 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 수치화한 양으로 다음과 같이 정의된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle k=\sqrt{1-\frac{r_{\text{min}}^{2}}{r_{\text{max}}^{2} }}=\frac{r_{\text{focus}} }{ r_{\text{max}} })] }}}
이때, [math(r_{\text{min}})], [math(r_{\text{max}})]는 각각 타원의 짧은 반지름의 길이, 긴 반지름의 길이를, [math(r_{\text{focus}})]는 중심으로 부터 한 초점까지의 거리를 의미한다. 즉 타원의 이심률은 타원의 긴 반지름의 길이와 중심으로 부터 한 초점까지의 거리의 비로 정의됨을 알 수 있다. 

타원은 일반적으로 [math(0 <k<1)]의 이심률을 갖고, [math(k \to 0)]일 때 타원은 [[원(도형)|원]]에 가까워지며, [math(k \to 1)]일 때, 타원은 포물선 둘을 이어 붙인 모습에 가까워 진다.
==== 양함수 형태 ====
우리가 유도한 타원의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 형태로 바꾸면, 미적분 등의 연산을 할 수 있게 된다. 양함수 형태로 바꾸게 되면, 아래와 같이 나오게 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y=\pm  \sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}(x-x_{0})^{2}}{a^{2} }}+y_{0} )] }}}
즉, 한 타원은 한 양함수 식으로 표현되지 못하며, 반반 나뉘어 표현되게 된다. 아래의 그림을 참조하자:

[[파일:타원_양함수.png|width=275&align=center]]

==== 매개변수 방정식 ====
[[파일:나무_타원_매개변수_NEW.png|width=240&align=center]]

위와 같이 원 [math(C_{1}\, : \, x^{2}+y^{2}=b^{2})]과 [math(C_{2}\, : \, x^{2}+y^{2}=a^{2})]를 고려하자.[* 우리는 [math(a>b>0)]인 경우를 다루나, 그 반대의 경우로 성립한다.]이다. 원점에서 그은 한 직선과 각 원이 만나는 점을 [math(\mathrm{Q,\,R})]이라 하자. 이때, 점 [math(\mathrm{R})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하고, 점 [math(\mathrm{Q})]에서 선분 [math(\mathrm{RH})]에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{P})]라 하자. 이때, [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]라 하면, 점 [math(\mathrm{P})]의 좌표는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )] }}}
이때, 점 [math(\mathrm{P})]의 자취는 위 그림처럼 타원을 나타내는데, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{x}{a} \qquad \qquad \sin{\theta}=\frac{y}{b} )] }}}
에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1 )] }}}
로, 타원의 방정식이 나옴을 알 수 있다. 따라서 타원의 [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]에 대한 매개변수 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )] }}}
임을 알 수 있다.

각각의 좌표가 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환했을 때 각각의 좌표의 표현법과 유사하기 때문에 혼동하기 쉬우나 사용한 매개변수인 각이 극좌표계의 각(angle) 변수(즉, 위 그림에서 [math(\angle \rm POH)].)와 동일한 것이라 생각하면 안된다. 극좌표계에서 각각의 변수를 어떻게 정의했는지 생각해보면 왜 그런지 알 수 있다. 그렇기 때문에 극좌표계에서 다시 직교 좌표계로 변환했을 땐 이 문단의 결과가 나오지 않으므로 반드시 주의하여야 한다.(바로 아래 문단을 보라.)

==== 극 좌표계에서 중심이 원점에 있는 타원의 표현 ====
타원 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )] }}}
을 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환한다면, [math((r,\,\theta) \to (x,\,y))]에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned} )] }}}
로 나타낼 수 있을 것이다. 이때, 이 결과가 매개변수로 타원을 나타냈을 때와 동일한 결과를 준다고 생각하면 안 됨을 윗문단에서 주의를 준 바 있다. [math(r)]을 구하기 위해 타원의 정의식을 이용하자. 타원의 정의식에 각 좌표를 대입하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{r^2\cos^{2}{\theta}}{a^2}+\frac{r^2\sin^{2}{\theta}}{b^2}=1 )] }}}
이것은 아래와 같이 두 가지 형태의 유용한 꼴로 고칠 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{a^2}{b^2} \right )\sin^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{b^2}{a^2} \right )\cos^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )] }}}
타원의 이심률 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  k=\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{a^2}{b^2}} \qquad &(0<a<b) \\ \\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \qquad &(0<b<a)   \end{cases} )] }}}
을 이용하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} [ 1-k^{2}\sin^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} [ 1-k^{2}\cos^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )] }}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} r&=\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<a<b) \\ r&=\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )] }}}
로 쓸 수 있음을 얻는다. 

이상의 결과를 타원
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )] }}}
에 대하여 정리하면 아래와 같다.(각각에서 [math(k)]는 타원의 이심률이다.)
 * '''[math(\boldsymbol{0<a<b})]인 경우'''
  * 극 좌표계에서의 표현
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  [br][math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }},\,\theta \right)  )] }}}
  * 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  [br][math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )] }}}  
 * '''[math(\boldsymbol{0<b<a})]인 경우'''
  * 극 좌표계에서의 표현
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  [br][math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }},\,\theta \right)  )] }}}
  * 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  [br][math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )] }}}  
==== [[원(도형)|원]]의 [[선형 변환]]에서의 유도 ====
사실상 타원은 원을 [math(x)]축과 [math(y)]축으로 일정 배만큼 늘린 것이라고도 볼 수 있다. 이를테면, 좌표평면 상 중심이 원점이고, 반지름이 1인 원의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 )] }}}
이다. [math(x)]축 방향으로 [math(a(a \neq 0))]배, [math(y)]축 방향으로 [math(b(b \neq 0))]배한 선형 변환을 고려하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &0 \\  0& b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} )] }}}
이기 때문에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle x=\frac{x'}{a} \qquad \qquad y=\frac{y'}{b} )] }}}
이고, 이를 원의 방정식에 넣으면, 곧 중심이 원점이고, 꼭짓점이 [math((\pm a,\,0))], [math(( 0,\,\pm b))]인 타원의 방정식을 얻는다:
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )] }}}
즉, 타원은 곧 원의 선형 변환이라 볼 수 있는 것이다.

=== 타원의 넓이와 둘레 ===
==== 넓이 ====
우리는 위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\}  \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )] }}}
으로 나타낼 수 있음을 논의했다.

따라서 타원의 넓이는 면적소 [math(dA=y\,dx)]를
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int y\,dx )] }}}
로 나타낼 수 있다. 그런데 우리는 중심이 원점인 타원을 고려하고 있고, [math(x)]축을 기준으로 윗 영역과 아랫 영역은 서로 합동이므로 한 영역의 넓이만을 구한 뒤 두 배 처리하여 구할 수 있다. 이때,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  y\,dx=-ab \sin^{2}{\theta} d\theta)] }}}
이고, [math(x)]축을 기준으로 윗 영역만 고려한다면, 적분 영역은 [math(-a \leq x \leq a)]에서 [math(\pi \leq \theta \leq 0)]으로 바뀌므로 구하는 타원의 넓이는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  2ab\int_{0}^{\pi} \sin^{2}{\theta} \, d\theta=ab \pi )] }}}
임을 알 수 있다.
==== 둘레 ====
우리는 위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\}  \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )] }}}
으로 나타낼 수 있음을 논의했다. 타원의 둘레는 아래와 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2} }\,d\theta )] }}}
타원의 대칭성을 이용하면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 4 \int_{0} ^{\pi/2} \sqrt{ a^{2} \sin^{2}{\theta} +b^{2} \cos^{2}{\theta} }\,d\theta )] }}}
으로 구할 수 있고, 이것을 다시 쓰면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle  \begin{cases} \displaystyle 4a\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta}}\,d\theta 
 \qquad & (0<b<a) \\ \\ \displaystyle 4b\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d\theta 
 \qquad & (0<a<b) \end{cases} )] }}}
이다. 여기서 [math(k)]는 위에서 정의했던 이심률이다. 불행히도, 위의 적분은 초등함수로 표현할 수 없으며, 위와 같은 적분 형태를 '''[[타원/타원 적분|타원 적분(Elliptic integral)]]'''이라 한다. 기호로는 [math(E(k))]로 나타내어, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(k) \equiv \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d \theta )] }}}
로 쓰고, 이를 사용하면, 타원의 둘레는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 4r_{\text{max}} E(k) )] }}}
로 쓸 수 있다.[* 두 경우 모두 같은 형태를 얻는다. 이는 [[타원 적분]]의 정의식을 활용하여 증명할 수 있다.] [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴 반지름이다.

===== [[타원/타원 적분|타원 적분]] =====
[include(틀:상세 내용, 문서명=타원/타원 적분)]

=== 타원과 직선 ===
==== 타원과 직선의 위치 관계 ====
우리는 임의의 직선
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y-mx-n=0  )] }}}
이 타원
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} )] }}}
과 어떤 관계에 있는지 조사해보고자 한다. 이것은 다음의 순서를 따른다.

||<table width=100%>
 1. '''우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리하자.'''
 1. 1'''에서 정리한 직선을 원의 방정식에 대입하고, 적절히 이항하여, 이차방정식을 만든다.'''
 1. 2'''에서 나온 이차방정식에 판별식 [math(\boldsymbol{D})]을 적용한다.'''
 ||

3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:
 * '''판별식의 부호가 양이다''' : 타원과 직선은 두 점에서 만난다.
 * '''판별식이 0이다''' : 타원과 직선은 접한다.(즉, 타원과 직선은 한 점에서 만난다.)
 * '''판별식의 부호가 음이다''' : 타원과 직선은 만나지 않는다.
아래의 그림을 참조하자:

[[파일:타원_직선과 위치 관계.png|width=190&align=center]]

==== 타원의 접선 ====
===== 타원 위의 점을 지나는 접선의 방정식 =====
우리는 문제 상황을 쉽게 하기 위해 우선은 타원의 중심이 원점인 경우를 먼저 다루자. 타원 위의 접선의 기울기는 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}} +\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y} )] }}}
타원 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 고려하면, 이 점 위의 접선의 기울기는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle -\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}} )] }}}
따라서 이 점을 지나는 접선의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y-y_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) )] }}}
이므로 이것을 다시 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}= \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} )] }}}
이고, 우변은 타원 위의 점이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1)] }}}
이다. 만약 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]이라면, 평행이동을 이용하면 되므로 평행이동을 한 뒤의 타원 위의 점 [math((x_{2},\,y_{2}))] 위의 접선의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})(x_{2}-x_{0})}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})(y_{2}-y_{0})}{b^{2}}=1)] }}}

===== 특정한 기울기의 접선의 방정식 =====
우리가 구하는 접선을 [math(y=mx+n)] ([math(m,\, n)]은 상수)으로 놓자. 이것을 타원의 식에 대입하고, 적절히 정리하면, 다음이 나온다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mnx+a^{2}(n^{2}-b^{2})=0 )] }}}
위 이차 방정식이 중근을 가지면, 직선과 타원은 접한다. 즉, 판별식이 0이 되면 되며, 그렇게 되려면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})] }}}
이상에서 우리가 구하는 접선의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})] }}}
이다. 만약, 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]라면, 평행 이동을 이용해서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y=m(x-x_{0})\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}+y_{0})] }}}
임을 쉽게 증명할 수 있다.

=== 기타 성질 ===
==== 성질 1 ====

[[파일:나무_타원 외내부 점.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 임의의 외부의 점 [math(\rm A)]과 임의의 내부의 점 [math(\rm B)]를 고려하자. 이때, [math(\overline{\rm F'B})]의 연장선상 혹은 [math(\overline{\rm F'A})]에는 타원 위의 점 [math(\rm P)]가 있다. 단, 그림에서는 두 경우에 대하여 [math(\rm P)]가 같은 것으로 묘사돼있지만 일반적으로는 다르다는 점에 유의한다.

이제 우리는 [math(\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA})], [math(\overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB})]에 대해 탐구해보고자 한다.

'''[1] [math(\overline{\rm \bf F'A}+\overline{\rm \bf FA})]의 경우'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF} )] }}}
으로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFA)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm FP}<\overline{\rm PA}+\overline{\rm FA} )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )] }}}
이 성립한다. 이에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}&>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \\&=2a \end{aligned} )] }}}
임을 얻는다. 한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
||<tablewidth=100%> '''타원의 두 초점과 타원 외부의 점까지의 각각의 거리의 합은 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합보다 크다.''' ||

'''[2] [math(\overline{\rm \bf F'B}+\overline{\rm \bf FB})]의 경우'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}=\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF} )] }}}
으로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFB)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm BF}<\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} )] }}}
따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF}&<\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} \\ &=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \end{aligned} )] }}}
이 성립한다. 이에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}&<\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \\&=2a \end{aligned} )] }}}
임을 얻는다. 한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
||<tablewidth=100%> '''타원의 두 초점과 타원 내부의 점까지의 각각의 거리의 합은 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합보다 작다.''' ||

이 문단에서는 특정한 타원의 경우에만 증명했지만 일반적인 타원에서도 성립한다. 위 결과를 요약하면 식으로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}<2r_{\text{max}}<\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA} )] }}}
으로 쓸 수 있다. [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴반지름이다.

==== 성질 2 ====

[[파일:나무_타원_성질_2_NEW_NEW.png|width=300&align=center]]

위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 해당 타원의 한 접선 [math(l)]이 있다고 하자. 이때, [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 할 때, 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=b^{2})]}}}
우선 접선 [math(l)]의 방정식은 기울기 [math(m)]일 때, [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, [math(\overline{\rm F'A})], [math(\overline{\rm FB})]는 각각 [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]까지의 거리와 같다. 이에 [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2-b^2},\,0))], [math({\rm F'}(\sqrt{a^2-b^2},\,0))]이므로 [[직선]] 문서에서 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 참조하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}&=\frac{| -m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}  |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \overline{\rm FB}&=\frac{| m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}  |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \\ \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}&=\frac{| a^2 m^2+b^2-m^2(a^2-b^2) |}{m^2+1} \\&=\frac{|b^2||m^2+1|}{m^2+1} \\&=b^2 \end{aligned})]}}}
이 성립한다.

이 문단은 특정한 타원에 대해서 증명을 했지만 일반적으로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=r_{\min}^{2})]}}}
이 성립한다. 여기서 [math(r_{\min})]은 타원의 짧은 반지름이다.

===== 성질 2의 부가 성질 =====

[[파일:나무_타원_성질_2_부가성질_NEW_NEW.png|width=300&align=center]]

위에서 증명한 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]은 위의 그림과 같이 한 원 [math(x^2+y^2=a^2)] 위에 있는데 더 일반적으로 말하면, 아래와 같이 정리된다.
||<tablewidth=100%> '''한 초점에서 접선에 내린 수선의 발의 자취는 타원의 장축을 지름으로, 타원의 중심을 중심으로 하는 원이다.''' ||

이것을 증명하기 위해 한 초점에서 내린 수선의 발을 [math({\rm C}(X,\,Y))]라 명명하자. 우선 점 [math({\rm C}(X,\,Y))]는 타원의 한 접선 [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]위의 점이므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Y=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \quad \to \quad Y-mX= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )] }}}
이고, 양변을 제곱하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Y^{2}-2mXY+m^2 X^2=a^2 m^2+b^2)] }}}

한편, 직선 [math(\rm FH)] (혹은 [math(\rm F'H)])의 직선의 방정식은 접선과 수직이므로 기울기는 [math(-m^{-1})]이고, [math(x)]절편의 절댓값은 타원의 초점 길이와 같으므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle y=-\frac{x}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} )] }}}
[math({\rm C}(X,\,Y))]는 이 직선 위의 점이기도 하므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle Y=-\frac{X}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} \quad \to \quad mY+X= \pm \sqrt{ a^2 -m^2 } )] }}}
이고, 양변을 제곱하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle m^2 Y^2+2mXY+X^2=a^2 - b^2 )] }}}

위의 두 과정에서 나온 결과 식을 더하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1) Y^2+(m^2+1)X^2&=(m^2+1)a^2 \\  X^2+Y^2&=a^2 \end{aligned} )] }}}
임을 얻을 수 있다. 이때, [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름이 타원의 장축의 길이인 [math(2a)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.
==== 성질 3 ====

[[파일:나무_타원_성질4.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하고, 외부의 점 [math(\rm P)]에 대하여 [math(\rm P)]에서 접선을 그었을 때, 두 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 점 [math(\rm P)]에서 직교한다면, 점 [math(\rm P)]의 자취는 원 [math(x^2+y^2=a^2+b^2)]이다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
||<tablewidth=100%> '''타원 외부의 점에서 두 접선을 그었을 때, 두 접선이 직교하는 점의 자취는 원이다.''' ||


이것의 증명은 우선 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방정식을 결정하는 것부터 시작된다. [math(l_{1})]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle l_{1}:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )] }}}
그런데 [math(l_{1})], [math(l_{2})]는 직교하므로 [math(l_{2})]의 기울기는 [math(-m^{-1})]이다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle l_{2}:\, y=-\frac{x}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} )] }}}
으로 쓸 수 있다. 한편, [math({\rm P}(X,\,Y))]라 놓으면 각각은 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y&=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,Y&=-\frac{X}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} \end{aligned} )] }}}
이때 식을 변형하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y-mX&= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,mY+X&= \pm \sqrt{a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )] }}}
으로 쓸 수 있고, 각각의 양변을 제곱하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y^2-2mXY+m^2X^2&= a^2 m^2+b^2 \\ l_{2}:\,m^2 Y^2+2mXY+X^2&= {a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )] }}}
각각을 더함으로써
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1)X^2+(m^2+1)Y^2&=(m^2+1)a^2+(m^2+1)b^2 \\ X^2+Y^2&=a^2+b^2 \end{aligned} )] }}}
이 나오게 된다. [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 제곱이 [math(a^2+b^2)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.

==== 성질 4 ====

[[파일:나무_타원_성질5.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하고, 타원 위의 한 점 [math(\rm P)]를 지나는 접선 [math(l)]과 원점을 통과하며, [math(l)]과 평행한 직선과 타원과의 두 교점을 각각 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm PAB)]는 일정하다. 

이것의 증명은 [math(l)]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, [math(l:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, 직선 [math(\rm AB)]의 방정식은 [math(y=mx)]라 놓을 수 있다. 해당 직선과 타원의 방정식을 연립하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2 x^2}{b^2}=1 \quad \to \quad \frac{m^2 a^2+b^2}{a^2 b^2}x^2-1=0  )] }}}
따라서 이 방정식의 해는 [math(x_{1})] 혹은 [math(x_{2})]인데 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 [math(x_{1}+x_{2}=0)], 두 근의 곱은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle x_{1}x_{2}=-\frac{a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )] }}}
이므로 [math((x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2})]에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{4a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )] }}}
임을 얻을 수 있다. 이때, [math(y_{1}=mx_{1})], [math(y_{2}=mx_{2})]에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle (y_{1}-y_{2})^{2}=m^2(x_{1}-x_{2})^2 )] }}}
이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AB}&=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \\&=\frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \end{aligned} )] }}}
을 얻을 수 있고, 삼각형 [math(\rm PAB)]의 높이는 원점에서 접선 [math(l)]까지의 거리이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} )] }}}
이다. 따라서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle \rm PAB &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \cdot  \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \\&=ab \end{aligned} )] }}}
으로 일정함을 알 수 있다.

이 문단에서는 특정한 타원을 예로 들었지만 이는 일반적인 타원에서 성립한다.
===== 성질 4와의 유사 성질 =====
타원이 하나 주어져 있고, 두 초점 [math(\rm F)], [math(\rm F')]과 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]에 대하여 삼각형 [math(\rm PF'F)]가 직각삼각형이라면 그 넓이는 짧은 반지름의 제곱의 값으로 일정하게 된다.

[[파일:나무_타원_직각삼각형.png|width=240&align=center]]

이것의 예로 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하여 증명하여보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm FF'}&=2c \\ \overline{\rm FP}&=t \\ \overline{\rm F'P}&=s  \end{aligned} )] }}}
라 놓으면 타원의 성질에 의하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} t+s=2a  \end{aligned} )] }}}
삼각형 [math(\rm PF'F)]은 직각삼각형이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} t^2+s^2=4c^2  \end{aligned} )] }}}
이때,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} 2ts&=(t+s)^2-(t^2+s^2) \\ &=4(a^2-c^2) \\ &=4b^2 \end{aligned} )] }}}
한편
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm PF'F}&=\frac{1}{2}ts \\ &=b^2 \end{aligned} )] }}}
으로 일정함을 알 수 있다.
==== 성질 5: 타원의 [[광학]]적 성질 ====
[[광학]]에서 빛은 반사한 표면에 대하여 입사각과 반사각이 같게 반사된다. 이 문단에서는 이러한 광학적 성질이 타원에선 어떻게 적용되는지 알아보고자 한다.


[[파일:나무_타원_광학적성질.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 초점이 각각 [math(\rm F)], [math(\rm F')]인 타원 고려하고, 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]와 그 위의 접선 [math(l)]을 고려해보자. 만약 광선을 [math(\rm F \to \rm P)]로 방사하여 [math(\rm F')]에 도달했다고 하자. 이때, 빛이 이 경로로 따름을 증명하려면 [math(\angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)]임을 증명하면 된다.[* 다만 해당 각들이 각각 입사각, 반사각은 아님에 주의하여야 한다. 입사각과 반사각은 접선과 수직이면서 접점과 수직인 직선과 광선과의 각도를 측정함으로써 결정할 수 있다.]

점 [math(\rm P)]가 아닌 접선 위의 임의의 점 [math(\rm Q)]를 고려해보자. [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]가 아니기 때문에 [math(\rm Q)]는 항상 타원의 외부에 위치한다. 따라서 성질 1에서 증명했던 바와 같이 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'Q}+\overline{\rm FQ}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )] }}}
따라서 접선 위의 임의의 점 [math(\rm R)]을 고려하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'R}+\overline{\rm FR} \geq \overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )] }}}
를 만족한다. 따라서 이 조건을 만족하려면, 점 [math(\rm F)]를 [math(l)]에 대해 대칭시킨 점 [math(\rm G)]와 [math(\rm P)], [math(\rm F')]은 한 직선 상에 있어야 한다. 

한편, 삼각형 [math(\rm GPF)]는 [math(\overline{\rm PG}=\overline{\rm PF})]인 이등변삼각형이고, 점 [math(\rm T)]는 [math(\overline{\rm GF})]의 수직이등분점이므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \angle{\rm GPT}=\angle{\rm FPT} )] }}}
이고, 맞꼭지각으로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)] }}}
이 성립한다. 따라서 광선은 [math(\rm F \to \rm P \to \rm F')]에 도달한다. 이 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.
||<table width=100%> '''타원 내부의 한 초점에서 방사된 빛은 다른 초점에서 모인다.''' ||

[[파일:나무_타원_광학추적_ai_NEW.png|width=240&align=center]]

이를 이용하여 다양한 기구가 제작될 때 이러한 성질을 이용하고 있다. 더욱이 이러한 성질을 이용한 [[https://www.youtube.com/watch?v=BL0WT3uZjjk|타원 당구대]] 또한 있다.

==== 성질 6 ====

[[파일:나무_타원_중심.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 중심이 [math(\rm O)]인 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))]을 고려하고, 타원 위의 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 지나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 평행한 [math(l)]들에 대하여 그 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점의 자취는 '''타원의 원점을 지나는 직선''' 위에 위치하게 된다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
||<tablewidth=100%> '''타원의 두 점을 지나는 평행한 직선들에 대하여 그 교점의 중점의 자취는 타원의 원점을 지나는 직선이다.''' ||

이것의 증명은 [math(l:\, px+q)]이라 놓는 것부터 시작된다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 두자. 이때, 직선 [math(l)]과 타원의 방정식을 연립함으로써 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}&=1 \\ b^2 x^2+a^2 (px+q)^2-a^ 2b^2 &=0 \\ (a^2 p^2 +b^2)x^2+2a^2 pqx+a^2 q^2+a^2 b^2&=0 \end{aligned} )] }}}
이고, 이것의 해는 [math(x_{1})] 혹은 [math(x_{2})] 중 하나이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )] }}}
만약 [math({\rm M}(X,\,Y))]라 놓으면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\&=-\frac{a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \\ Y&=p \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)+q \\&=-\frac{a^2 p^2 q}{a^2 p^2 +b^2}+q \\&=\frac{-a^2 p^2 q+q(a^2 p^2 +b^2)}{a^2 p^2 +b^2} \\&=\frac{qb^2}{a^2 p^2 +b^2}  \end{aligned} )] }}}
이상에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} Y=-\frac{b^2}{a^2 p}X \end{aligned} )] }}}
을 얻는다 [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 원점(타원의 중심)을 지나는 직선이므로 맨위의 결과를 얻었음을 알 수 있다.

위의 성질들을 이용하여 임의의 타원의 중심을 쉽게 찾을 수 있다. 다음의 단계를 따른다.

[[파일:나무_타원중심_작도_ai.png|width=190&align=center]]

 1. 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(a)], [math(b)]를 그린다.
 1. 직선 [math(a)]와 타원의 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점 [math(\rm M)]을 찾는다.
 1. 직선 [math(b)]와 타원의 교점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]의 중점 [math(\rm N)]을 찾는다.
 1. 직선 [math(\rm MN)]을 그린다.
 1. 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(c)], [math(d)]를 그린다. 단, 1에서 했던 직선의 기울기와는 다른 직선을 사용한다.
 1. 직선 [math(c)]와 타원의 교점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]의 중점 [math(\rm P)]을 찾는다.
 1. 직선 [math(d)]와 타원의 교점 [math(\rm F)], [math(\rm G)]의 중점 [math(\rm Q)]을 찾는다.
 1. 직선 [math(\rm PQ)]을 그린다.
 1. 두 직선 [math(\rm MN)], [math(\rm PQ)]의 교점 [math(\rm O)]가 타원의 중심이 된다.

==== 성질 7 ====
이 문단에서는 타원의 중심과 타원의 단축 및 장축을 안다고 가정할 때, 타원의 초점을 찾는 법을 다루어보고자 한다. 결과만 먼저 말하면, 타원의 중심에 타원의 긴 반지름을 반지름으로 하는 원을 그린 후 그 원의 중심을 짧은지름 상의 꼭짓점으로 옮긴 뒤 장축과 해당 원이 만나는 두 교점이 타원의 초점이 된다.

이것의 예를 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]으로 들어보고자 한다. 

[[파일:나무_타원_초점찾기.png|width=240&align=center]]

위 그림과 같이 짧은 지름 상에 있는 한 꼭짓점 [math(\rm P)]를 고려해보자. 타원의 성질에 의하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PF}=2a )] }}}
이고, 두 삼각형 [math(\rm POF)], [math(\rm POF')]에서 [math(\overline{\rm OP})]는 공통, [math(\rm O)]는 타원의 중심이므로 [math(\overline{\rm OF'}=\overline{\rm OF})]이고, [math(\angle{\rm POF}=\angle{\rm POF'})]이므로 두 삼각형은 합동이므로 [math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF} )]이다. 따라서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF}=a )] }}}
임을 얻는다. 따라서 두 초점은 중심이 [math(\rm P)]이고, 반지름이 [math(a)]인 원 위에 있음을 알 수 있다. 또, 타원의 초점은 장축 위에 있으므로 곧 해당 원과 장축의 교점이 두 초점이 됨을 확인할 수 있다.
== 기타 ==
 * [[물리학]]에서, 중력장, 전자기장 등의 역제곱법칙을 만족하는 보존적 벡터장 하에서 외부의 힘을 받지 않고 벡터장에만 속박되었을 경우에 자연스럽게 타원 운동이 유도된다. 따라서 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면, 타원 운동을 하게 된다. 

== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[기하학]]
 * [[원뿔곡선]]
 * [[원(도형)]]
 * [[타원면]]

[각주]
[include(틀:문서 가져옴, title=긴반지름, version=29)]
[include(틀:문서 가져옴, title=짧은반지름, version=28)]
[[분류:기하학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]