[include(틀:기하학·위상수학)] [[파일:external/upload.wikimedia.org/Klein_bottle_translucent.png]] [목차] == 개요 == Klein Bottle(Klein's Bottle). [[위상수학]]상의 특이입체. 간단히 말하자면 '''[[뫼비우스의 띠]]의 [[3D]] 버전.''' 클라인 대롱이라고도 한다. 4차원에선 표현 가능하나 3차원에선 표현하지 못한다. [[독일]]의 수학자 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 만들었다고 해서 이런 이름이 붙었다. 원래 이름은 클라인의 '''면'''을 뜻하는 [[http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%B4%EB%9D%BC%EC%9D%B8_%EB%B3%91|Kleinsche Fläche]]였다고 하는데, 클라인의 '''병'''(Kleinsche Flasche)으로 [[오역|번역자가 잘못 보았다]]. 그리고 병이라는 오역을 독일어권이 받아들였다. == 상세 == 클라인 병을 둘로 쪼개면 뫼비우스의 띠 모양이 나타난다. 각 띠의 가장자리가 맞붙은 형태. 뫼비우스의 띠A에서 한 쪽을 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠B로 갈아타고, 뫼비우스의 띠 B에서 또 한 쪽으로 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠A로 갈아타는 식이다. [[파일:external/3.bp.blogspot.com/klein.gif|width=100&align=center]] 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 '''겉과 속이 일체화된 도형'''으로, 3차원상에서는 표현의 한계로 뚫고 들어가는 부분이 생기나 [[꼬인 위치|실제로는 그렇지 않다]]고 한다. 위 그림은 단지 보기쉽게 3차원으로 표현한것일 뿐이다. 여튼 위상수학을 공부하는 수학자라면 '''지겹게''' 보게 되는 도형. [[2차원]] 공간의 한계를 [[3차원]] 공간에서 해결한 [[뫼비우스의 띠]]와 비슷하게, 3차원의 한계를 [[4차원]]에서 해결한 '''초'''입방체로, 그 구조는 뫼비우스의 띠와 같아 안과 밖이 구분되지 않는다는 점이 특징이다. 따라서 '''이론적으로''' 이 병에 물을 담을 수는 없다. 하지만 현실은... [youtube(dfhiVaJj9UY)][* 3분 35초부터 클라인의 병에 물을 넣고 빼내는 과정이 나온다.] 실제로는 약간의 꼼수를 통해 물을 채우고 빼낼 수 있다. 바로 병 자체를 길게 나온 깔때기가 휘어진 방향 쪽 옆으로 돌려가며 넣고 비우기. [[참 쉽죠?]] 하지만 당연하게도, 이건 3차원 상에서 '만든' 클라인 병은 3차원 상으로 보이는 모양만 재현한 거라 그렇다. [[뫼비우스의 띠]]는 3차원상에선 띠를 뚫지 않고 안쪽에서 바깥쪽으로 나갈 수 있지만 2차원 그림으로 그렸을 땐 불가능한 것 처럼, 이러한 물체를 어떻게 만드냐면, 그냥 튜브 하나 준비해서 튜브 한편 안쪽과 다른편 바깥쪽을 맞붙이면 된다.--참 쉽죠?--[* 안쪽과 안쪽을 맞붙이면 [[원환체]](=도넛)가 된다.] 하지만 현실에서는 [[불가능|절대로 만들 수 없는데]], 이는 우리가 사는 세상이 3D이기 때문인지라, 이렇게 하려면 적어도 튜브에 구멍 하나 정도는 뚫어야 하기 때문이다.[* 마치 뫼비우스의 띠를 종이에 그릴 때 종이가 꼬아지는 부분은 면이 안 보이게 선처럼 그리는 것과 비슷하다. ] 그래서 클라인 병은 입체가 아닌 '초'입체로 분류된다. 그 중에는 비슷하게 모형을 만든 것도 있지만, 이 모형들은 전부 구멍을 뚫은 탓에 '''안팎이 구분'''되므로 엄연히 같지는 않다. 현실에서 제대로 만든 모형은 뼈대만 있는 와이어프레임(Wireframe) 모형뿐이다. 때문에 이론적으로 이 병에는 물을 담을 수 없어야 하지만, 실제로 물을 넣어보면 '''병 안쪽에 물이 찬다'''. [[3ds Max]] 같은 [[그래픽 툴]]을 이용해서 다음과 같은 과정으로 만들 수 있다. 그래픽 툴은 3d인데 어떻게 4d를 만들 수 있는가 의문이 들 수도 있는데, 위의 클라인 병은 3차원 이미지가 아닌 4차원 이미지다. 클라인 병은 3차원으로 보면 공중에 덩그러니 떠 있는 원 2개로 보일 뿐 병으로는 보이지 않을 것이다[* 원이 2개인 이유는 4차원 위상이 시작점과 끝점이 같고, 그 사이에 극점이 하나인 그래프를 가지기 때문이다. 저 위의 도형에서 가느다란 부분을 눌러 안쪽으로 민다고 생각해보자. 그 경우 편의상 만들어놓았던 작은 구멍의 위치가 뒤로 이동하며, 점점 뒤로 이동하다가... 대략 그런 느낌이다.]. ||<tablealign=center> [[파일:external/upload.wikimedia.org/60px-Klein_Bottle_Folding_2.svg.png]] || 1. 속이 빈 원기둥을 준비한다.[* 꼭 원기둥이 아니라도 상관없다.] || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_3.svg.png]] || 2. 1.을 ㄷ자 모양으로 구부린다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_5.svg.png]] || 3. 2.에서 한쪽 끝을 반대쪽 끝의 벽에 쑤셔넣고 뚫려 있는 곳으로 그 끝을 빼낸다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_6.svg.png]] || 4. 3.에서 삐져나온 부분을 '''뒤집어서''' 반대쪽 끝과 연결한다. || 한편, 이 도형을 [[4차원]] 방향으로 뒤집으면[* 이를 넣는다(Immersion)고 한다.] 대략 아래와 같이 전혀 막히거나 겹쳐지는 부분이 없는 형태가 나온다. 쉽게는 그냥 클라인 병이 유령과 같이 실체가 없어서 스스로를 통과할 수 있다고 생각하고 뒤집는다 상상하면 된다. 그럼 고무줄이 두번 꼬인 듯한 모습이 연상될 것이다. 보통은 그냥 저런 것도 있다는 것만 알면 된다. ||<tablealign=center> [[파일:external/upload.wikimedia.org/220px-KleinBottle-Figure8-01.png]] || == 대중매체에서 == *[[네이버 웹툰]] [[쿠베라(웹툰)|쿠베라]]에서 [[http://comic.naver.com/webtoon/detail.nhn?titleId=131385&no=94&weekday=tue|넌지시 언급되는 위상형태]]. 클라인의 병이라는 이름이 언급되지는 않지만, 뫼비우스의 띠의 양 모서리를 이어붙이면 나오는 위상으로 언급된다. 당연히 3차원에 사는 보통 인간들은 클라인의 병조차 생각해 낼 수 없다.[* 상위랭크 마법사인 [[라나 레이미아]]조차 상상하지 못해서 실제로 만들어서 붙여보는 짓을 했다. 정확히는 교수가 과제로 낸 거라 '안되는걸 시킬리 없다'며 붙들고 있었다. 문제는 이 과제가 클라인의 병을 모르는 상태로 '''삼차원에서는 구현이 불가능하다는 것'''을 직관적으로 알 수 있는지를 보기 위한 문제라는 것.] 구멍이 뚫리지 않은 제대로 된 답을 상상할 수 있는 인간은 계산 없이 마법을 사용할 수 있다.[* 고차원에 거주하는 수라나 신의 경우 이걸 무리없이 상상할 수 있고, 초월기를 사용하는 하프들도 가능한 모양이지만 순혈이나 쿼터의 경우는 엄청나게 드물다고 언급된다.] *[[조세희]] 작가의 연작소설 [[난장이가 쏘아올린 작은 공]]에 나오는 챕터 '클라인씨(氏)의 병'에서 언급된다. 피해자가 가해자가 되고, 가해자가 피해자가 되는 자본주의의 현실과 모든 사람이 불평등 없이 살고자 하는 희망을 나타내는 일종의 장치다. 주인공 [[영수]]는 클라인씨의 병을 보고 깨달음을 얻고 은강그룹 회장의 동생을 살해한다. *[[가면라이더 디케이드]]에서 [[가면라이더 디케이드(가면라이더)]]가 사용하는 [[라이드 북커]]도 이 병의 형식을 이용해서 카드를 무한히 담을 수 있고, 사용자의 원하는 생각에 따라서 원하는 카드가 자동적으로 맨 앞으로 나오는 형식을 이용하기에 싸울때 라이드 북커에서 일일이 카드를 찾지 않는다. *[[매직 더 개더링]]의 Elkin Bottle은 클라인의 애너그램이며 그림 역시 클라인의 병이다. [[http://gatherer.wizards.com/Pages/Card/Details.aspx?multiverseid=2403|카드 그림]] *[[리비아썬]]에서는 이 병에 시체들을 숨겨서 옮긴 뒤, 특수한 허브와 소금을 넣은 단지에 넣어서 부활시키는 갈바룬[* 작품 속에서 등장하는 중동 국가들을 모델로 한 가상의 국가 중 하나.]인들이 나온다. *[[폴아웃: 뉴 베가스]]의 DLC인 [[올드 월드 블루스]]의 [[싱크 탱크(폴아웃: 뉴 베가스)|싱크 탱크]]의 일원인 '''클라인 박사'''의 이름도 여기서 따왔다. 다른 멤버들의 이름도 모두 '''무한함'''을 상징하는 단어에서 따왔다는 걸 생각하면 싱크 탱크의 속성과도 잘 연결되는 설정이다. *[[일본]]의 [[추리소설]] 중에도 여기에서 제목을 따온 '클라인의 항아리(クラインの壺)'라는 작품이 있다. 1993년에 나온 작품으로 VR([[가상현실]]) [[게임]]을 소재로 하고 있다. *베르나르 베르베르의 소설 [[잠]] 에서도 등장한다. 주인공의 성이 클라인이며 이는 클라인 병에서 유래하였다. 클라인 병과 같이 현실세계와 인간 내면은 연속적이며 내면의 성찰을 통해 현실의 진실에 접근할 수 있다는 것을 비유하고자 사용하고 있다. *[[용자왕 가오가이가]]의 [[기계31원종]] 중 폐원종은 이 클라인의 병을 만드는 능력을 지녔고, 이를 사용해 [[GGG(용자왕 가오가이가)|GGG]]와 제이더를 봉인했다. 그러나 [[스타 가오가이가]]가 시전한 더블 헤드 드라이버로 찰나의 순간에 구멍이 생겨 제이더가 탈출해 밖에 있던 [[제이 아크]]와 메가퓨전해 폐원종을 쓰러트려 클라인의 병은 소멸했고, GGG는 해방된다. * [[유희왕]]의 [[토폴로직 폭탄 드래곤]]은 클라인의 병을 어깨뽕(?)으로 쓰는 위엄을 보여준다. *[[푸른 강철의 아르페지오]]에 등장하는 [[안개의 함대]]가 사용하는 방어막인 '클라인 필드'는 이 클라인의 병의 원리를 이용한 것이다. == 관련 문서 == * [[뫼비우스의 띠]] [[분류:수학]][[분류:기하학]][[분류:위상수학]]