[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:삼각형)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''cosine law'''}}} [[2009 개정 교육과정]]에서 빠졌다가, [[2015 개정 교육과정]] 상 고등학교 2학년 때 배우게 되는 [[삼각형]] 및 [[삼각함수]]에 관한 정리. [[사인 법칙]]과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 한국에서는 이상하게도 제1 코사인 법칙, 제2 코사인 법칙의 두가지로 나누는데, 세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제2 코사인 법칙만을 가리킨다.[* 예외적으로 현행 일본 고등학교 교육과정에서도 코사인 법칙를 제1 여현정리, 제2 여현정리로 구분을 한다. 참고로 중국과 일본에선 코사인을 여현(余弦)이라고 한다.] 사실 제1 코사인 법칙은 법칙이라 하기에는 조금 민망하다. 그리고, 2007 개정 교육과정 이후로는 과거 제2 코사인 법칙이 그냥 "코사인 법칙"으로 이름이 변경되었다. [[2009 개정 교육과정]]으로 인해 [[2017 수능]]부터는 출제되지 않는다. 하지만 [[2021 수능]]부터는 다시 출제된다. 이것에 관해선 [[수학Ⅰ(2015)]] 문서를 참조. == 제1 코사인 법칙 == 삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a&=b\cos{C}+c\cos{B} \\ b&=c\cos{A}+a\cos{C} \\ c&=a\cos{B}+b\cos{A} \end{aligned} )] }}} === 증명 === 삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자. '''(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때''' [[파일:코사인법칙_증명_예각.png|width=200&align=center]] 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}+\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )] }}} '''(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때''' [[파일:코사인법칙_증명_둔각.png|width=200&align=center]] 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}-\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}-b\cos{(180^{\circ}-C)} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )] }}} '''(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때''' [[파일:코사인법칙_증명_직각.png|width=200&align=center]] 위 그림에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a=\overline{\mathrm{BH}}=c\cos{B} )] }}} 이고, [math(\angle C=90^{\circ})]이므로 [math(\cos{C}=0)]이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a=c\cos{B}+b\cos{C} )] }}} 이 성립한다. 나머지 두 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. == 제2 코사인 법칙 == 삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변을 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} )] }}} === 증명 === ==== 기본적인 증명 ==== 삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자. 삼각형 [math(\mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때, 그림은 아래와 같고, [[파일:코사인법칙_증명_예각.png|width=200&align=center]] 이때, 위 그림을 참고하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AH}}&=c\sin{B} \\ \overline{\mathrm{HC}}&=a-c\cos{B} \\ \overline{\mathrm{AC}}&=b \end{aligned} )] }}} 이고, 삼각형 [math(\mathrm{AHC})]는 직각 삼각형이므로 [[피타고라스 정리]]로 부터, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} b^2 &= (c\sin B )^2 + (a - c\cos B)^2 \\ &=c^2 \sin^2 B + c^2 \cos^2 B + a^2 - 2ac\cos B \end{aligned} )] }}} 을 얻는다. 이때, [math(\sin^2 B + \cos^2 B =1)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \end{aligned} )] }}} 을 얻는다. 삼각형 [math({\mathrm{ABC}})]가 둔각 삼각형이거나 직각 삼각형의 경우에도 직각 삼각형 [math({\mathrm{AHC}})]을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 여기서 [math( \sin^2 B + \cos^2 B=1 )] 이 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 코사인 법칙은 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.[* 삼각함수의 정의는 닮은 삼각형의 존재성에서 바로 나오고, 닮은 삼각형의 존재성과 피타고라스 정리와 평행선공준은 서로 동치인 명제이다. 따라서 코사인 법칙은 길이와 각에 관한 유클리드 기하학의 고유한 성질을 보여주는 명제라고 할 수 있고, 구면 위의 기하학에서는 이와 다른 정의와 법칙(구면삼각법)이 사용된다.] ==== 제1 코사인 법칙을 이용한 증명 ==== 제1 코사인 법칙의 첫 식 부터 아래 순으로 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]를 곱하자. 그렇게 되면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=ab\cos{C}+ac\cos{B} \\ b^{2}&=bc\cos{A}+ab\cos{C} \\ c^{2}&=ac\cos{B}+bc\cos{A} \end{aligned} )] }}} 이 때 첫 번째 식으로 부터 두 번째, 세 번째 식을 빼면, 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a^2-b^2-c^2&=ab\cos C+ac\cos B-bc\cos A-ab\cos C-ac\cos B-bc\cos A \\ &=-2bc\cos A \end{aligned} )] }}} 정리해주면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A )] }}} 나머지 두 변에 대해서도 비슷한 방법으로 증명 가능하다. ==== [[오일러 공식 #s-4.2|페이저]]와 복소수를 이용한 증명 ==== [[파일:코사인법칙_증명_복소평면.png|width=210&align=center]] 그림에서 [math(\mathbf{C=A+B})]이므로 이를 [[오일러 공식 #s-4.2|페이저(Phasor)]]로 표현하면 다음과 같다.[* 어차피 phasor는 복소평면 상에서 벡터처럼 작용하기 때문에 phasor의 개념을 모르는 위키러들은 벡터 성분으로 생각하고 해도 무방하다. 오히려 그게 훨씬 간단할 수도.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle Ce^{i \gamma }=Ae^{i \alpha }+Be^{i \beta } )] }}} 이때, [[오일러의 공식]]을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle C(\cos{\gamma}+i \sin{\gamma})=A(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})+B(\cos{\beta}+i \sin{\beta}) )] }}} 이제 이것을 실수부와 허수부로 나눠서 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} C\cos{\gamma}&=A\cos{\alpha}+B\cos{\beta} \\ C\sin{\gamma}&=A\sin{\alpha}+B\sin{\beta} \end{aligned} )] }}} 윗식을 각각 제곱하여 더하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle C^2 \cos^2 {\gamma} + C^2 \sin^2 {\gamma} = A^2 \cos^2 {\alpha} + A^2 \sin^2{\alpha} + B^2 \cos^2{\beta} + B^2 \sin^2{\beta} + 2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+ \sin{\alpha}\sin{\beta}) )] }}} 이때, 다음 두 식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}&=1 \\ \cos( \alpha-\beta ) &=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{aligned} )] }}} 을 이용하여, 식을 간결하게 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB \cos(\alpha -\beta) )] }}} 이때, 위 그림을 잘 관찰하면, 끼인각 [math(\theta)]와 [math(\alpha)], [math(\beta)]와의 관계는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \alpha- \beta = - (\pi +\theta) )] }}} 따라서 위에서 나온 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \cos(\alpha -\beta)=-\cos{\theta} )] }}} 이상에서 다음이 도출된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle C =\sqrt{ A^2 + B^2 - 2 AB \cos{\theta}} )] }}} 이때, [math(C)]는 길이이므로 항상 양수여야 함에 주의하라. === 활용 === * 두 변과 그 끼인각을 알 때, 다른 한 변의 길이를 이 공식을 이용해서 알 수 있다. * 코사인 값만 한 쪽에 둔 뒤 나머지 값을 전부 다른 쪽으로 이항하면, 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} )] }}} 이는 세 변의 길이를 알 때, 각의 크기를 구할 때 요긴하게 쓰이게 된다. 또한, 이 조건 자체가 사실은 '''삼각형의 결정 조건'''이다. 즉, 삼각형에서 제2 코사인 법칙의 두 식[* 원 식과 그 변형]은 해가 반드시 하나이다.[* 원식은 양수값과 음수값 두개가 나오지만 변의 길이는 무조건 양수이므로 해가 하나, 변형식은 코사인함수가 [math(0^{\circ})]와 [math(180^{\circ})]사이에선 일대일 대응이기 때문에 해가 하나이다.] 값에 따라서 해가 두 개가 나올 수도 있는 [[사인 법칙]]과는 구분되는 점이다. * 또한, 제2 코사인 법칙은 [[피타고라스 정리]]의 일반화라 볼 수 있다. 이런 결론이 나오는 이유는 바로 이 법칙과 피타고라스 정리가 둘 다 [[유클리드 기하학]]의 제5공준인 {{{평행선 공준}}}과 동치이기 때문. * [[물리학]]에서는 벡터를 많이 다루기 때문에 이 공식은 필히 알고 있어야 한다. [[역학]]에서 두 힘의 합성을 구할 때나[* 크기 [math(A)], [math(B)], 두 힘 사이의 각이 [math(\theta)]일 때, 합력의 크기는 [math(\displaystyle F =\sqrt{ A^2 + B^2 + 2 AB \cos{\theta}} )]이다. 증명은 평행 사변형을 그리는 것으로 간단히 알 수 있다.], [[전자기학]]의 [[다중극 전개]] 등에서 이를 활용하게 된다. == [[비유클리드 기하학]]에서 == 비유클리드 기하학에서는 식의 형태가 완전히 달라진다. * '''[[비유클리드 기하학#s-3.1|구면 공간]]''' * 제1 코사인 법칙 [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\ \cos b&= \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B \\ \cos c&= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \end{aligned} )] * 제2 코사인 법칙 [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cos b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cos c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} )] * '''[[비유클리드 기하학#s-2|쌍곡 공간]]''' * 제1 코사인 법칙 [math(\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \cosh b \cosh c + \sinh b \sinh c \cos A \\ \cosh b&= \cosh a \cosh c + \sinh a \sinh c \cos B \\ \cosh c&= \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b \cos C \end{aligned} )] * 제2 코사인 법칙 [math(\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cosh b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cosh c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} )] [[미분기하학]]의 학습 난도를 올리는 원인 중 하나로, 이렇게 복잡해진 코사인 법칙을 외워서 활용해야 하기 때문. 특히 구면 공간에 대한 코사인 법칙은 [[지도]] 앱 [[프로그래머]]들이 숙지해야 할 상황이 왕왕 생긴다. == 여담 == * [[선형대수학]]에서 내적(점곱)을 벡터 성분들간의 곱의 합으로 표현하고자할때, 공간상의 점 [math(\rm P)]와 점 [math(\rm Q)]사이의 거리, 각 점에 대응하는 벡터 [math(\mathbf{u})]와 [math(\mathbf{v})](의 [[norm]]들), 두 벡터의 사잇각으로 삼각형을 구성하면 코사인 법칙을 이용해 역으로 내적을 표현하는 성분식을 구할 수 있다. [math(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos{(\mathbf{u},\, \mathbf{v})})](단, [math((\mathbf{u},\, \mathbf{v}))]는 두 벡터가 이루는 각)라는 내적의 정의가 코사인법칙에 뭉텅이로 들어가있기 때문이다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[삼각함수]] * [[사인 법칙]] * [[삼각형]] * [[피타고라스 정리]] [[분류:삼각형]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]