[include(틀:정수론)] [include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''{{{+1 Least Common Multiple, LCM · [[最]][[小]][[公]][[倍]][[數]]}}}''' 초등학교에서 [[약수(수학)|약수]] (divisor or factor) 와 [[배수(수학)|배수]] (multiple) 를 배운 뒤에 [[최대공약수]] (greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. '''공배수''' (common multiple) 란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 '''공통인 배수'''라는 뜻이다. 최소공배수 (least common multiple) 는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math(a,b)]의 최소공배수를 기호로 [math(\text{lcm}\left(a,b\right))]로 표기하며,[* [math(\text{lcm})]은 Least Common Multiple의 줄임말] 더욱 줄이면 [math(\left[a,\,b\right])]로 표기하기도 한다.[* 다만 [math(\left[a,\,b\right])]은 [[구간|폐구간]] 표현과 겹치므로 사용에 주의할 필요가 있다.] 간혹 최'''대'''공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문. == 찾는 법 == 예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다. >10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ... [br] 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... 여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 예로 '''[[60갑자]]'''는 10갑(갑을병정...)과 12자(자축인묘...)의 조합을 의미하는 것으로, 60가지의 조합이 있어 60갑자라고 부르는 것이다. 이처럼 최소공배수는 나열에 해당하는 경우의 수를 구할 때 사용한다. 하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 [[소인수분해]]를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면, >[math(10=2\cdot5)] [br] [math(12=2^2\cdot3)] 이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[* 2는 중복되는 소인수인데, 12쪽의 2가 차수가 크므로 그 차수만큼(2번) 곱해준다. ~~콩까지마~~] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 [[서로소]]이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다. 위에서 봤듯이 최소공배수는 [[대수학]]적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 [[특수함수]]에 속한다. [[최대공약수]] [math(\gcd)]를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다: >[math(\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)})] 단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 [[순환 논법|순환논법]]이 될 수 있음을 주의해야 한다. == 성질 == 두 정수 [math(a,b)]에 대하여, 1. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab)] 1. [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab)] 1. [math(a\mid \text{lcm}\left(a,b\right))] 1. [math(b\mid \text{lcm}\left(a,b\right))] ~~[[최대공약수]]는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.~~ == 증명 == 1. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m)], [math(n)]에 대해 [math(a=Gm,b=Gn)], ([math(m,n)]은 [[서로소]])가 성립한다. 이 때, lcm[math(\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab)] 2. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m,n)]에 대해 [math(a=Gm)], [math(b=Gn)], ([math(m,n)]은 [[서로소]])가 성립한다. 이 때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab)] == 관련 문서 == * [[배수(수학)|배수]] * [[최대공약수]] * [[소인수분해]] [[분류:정수론]][[분류:비초등함수]]