* 집단의 일종은 [[노동조합]], [[협동조합]], [[지역주택조합]] 또는 [[길드]] 문서로. [include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == >[math(|S|=n)]인 집합 [math(S)]에서 [math(r)]-부분집합의 개수이며, 이를 [math(n)]개에서 [math(r)]개를 택하는 '''조합'''([[組]][[合]])이라고 한다. 이 조합은 순열과 다른 개념으로 순서 차이가 중요하다. 기호로는 [math({}_n\mathrm C_r)][* 여기에서 n의 위치는 r 자리를 빼고 C 앞이나 뒤, 위첨자 아래첨자 모두 가능하다.], [math( C(n, \ r))], [math(\dbinom nr)]등이 있다. 여기서 C는 영어 combination의 머리글자이다. 한국의 고등학교 과정에서는 [math({}_n\mathrm C_r)]이 쓰이지만 세계적으로는 [math(\dbinom nr)]이 많이 쓰인다. [* [[울프럼알파]]에서는 nCr도 인식한다.] [[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자. [math(3)]명중에서 대표 [math(2)]명을 뽑는 상황을 가정하면, 순열을 쓸 경우 [math({}_3\mathrm P_2=3\times2=6)]이 되는데, 순열은 '[math(3)]명중에서 대표 [math(2)]명을 뽑아서 순서대로 __나열하는 경우의 수__'이므로 '나열하는 조작'을 배제해주면 되고 [[순열#s-3|같은 것이 있는 경우의 순열]]과 비슷하게, [math(2)]명의 대표가 같으므로 [math(2!)]로 나눠주면 된다. 따라서, [math(\dbinom 3 2=\dfrac{{}_3\mathrm P_2}{2!})]임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다. ||[math(\displaystyle {}_n\mathrm C_r=\frac{{}_n\mathrm P_r}{r!}=\frac{n!}{(n-r)!r!} = \frac{\Gamma(n + 1)}{\Gamma(n - r + 1) \Gamma(r + 1)} = \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} \left( n-i \right) = \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+1 \right)}{r!})] || 순열과 마찬가지로 조합 역시 [[팩토리얼]] 및 [[감마 함수]]로 정의할 수 있기 때문에 [math(r=0)]이어도 무방하다. == 중복 조합 == 조합과 마찬가지로 [math(n)]개의 원소에서 [math(r)]개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓수이다. 기호로는 [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]을 쓰며, 한국과 일본에서는 [math({}_n\mathrm H_r)]도 통한다.[* 조합 기호를 이용해서 나타낼 수 있기 때문에 국가에 따라서는 따로 기호를 만들어 쓰지 않는 경우가 많고 별도의 기호가 있다 하더라도 국가마다 제각각이다.] [math(\mathrm H)]라는 기호는 동차 단항식(Homogeneous monomial) 또는 동차곱(Homogeneous product)의 'Homogeneous'에서 딴 것이다.[[https://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=4410969|#]] 중복 조합의 가짓수를 실제로 구하려고 해보면 [[순열]]이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다.[* [[순열#s-2|중복 순열]]보다도 훨씬 복잡한데, 서로 다른 [math(n)]종류의 원소에서 '''특정 원소를 고르지 않는 경우'''까지 포함하기 때문이다. 이를테면 A, B, C에서 중복을 허용하여 4개를 뽑는 경우의 수 중엔 AAAC처럼 B가 포함되지 않는 경우도 포함된다.] 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를[* 혹은 비슷한 다른 무언가. 칸막이라는 표현도 쓴다.] 사용해서 설명한다. 예를 들어 숫자 [math(1)], [math(2)], [math(3)]중 중복을 허락하여 [math(5)]개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 [math(5)]개를 뽑으므로 원 [math(5)]개를 나란히 그린다. 이제 이 [math(5)]개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 [math(3)]그룹으로 나누는데 '''이 '그룹'이 곧 주어진 원소의 종류 [math(\boldsymbol n)]개'''를 의미한다. 이를테면 [math(11233 \to 11/2/33)]으로, [math(11133 \to 111//33)]으로 나타낼 수 있으므로, 특정 원소를 뽑지 않는 경우는 막대기가 중복되어 나열되는 경우로 간주할 수 있다. [math(3)]그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 [math((3-1) = 2)]개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 [math(1)], [math(2)], [math(3)]을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓수는 [math(5)]개의 원과 [math(2)]개의 막대기를 나열하는 가짓수와 같고, 이는 [math(7)]개의 칸중 막대기를 그릴 [math(2)]개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, [math({}_{5+3-1}\mathrm C_2= {}_7\mathrm C_2)]가 답. 일반적인 경우는 다음과 같다. ||[math(\begin{aligned} {}_n\mathrm H_r &= {}_{r+(n-1)}\mathrm C_r = {}_{n+r-1}\mathrm C_{n-1} \\ &= \frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!} = \frac{\Gamma(n+r)}{\Gamma(n) \Gamma(r+1)} = \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} \left( n+i \right) = \frac{n \left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \cdots\cdots \left( n+r-1 \right)}{r!} \end{aligned})] || 이를 응용하여 [[배스킨라빈스]]의 [math(31)]가지 아이스크림을 '''중복을 허락하여''' 고를 경우(ex. 쿼터 크기에 엄마는 외계인×2, 체리 쥬빌레, 아몬드봉봉 등)고를 수 있는 총 경우의 수는 다음과 같이 구할 수 있다. 파인트([math(3)]가지): [math({}_{31}\mathrm H_3 = {}_{3+31-1}\mathrm C_3= {}_{33}\mathrm C_3=5456)]가지. 쿼터([math(4)]가지): [math({}_{31}\mathrm H_4 = {}_{4+31-1}\mathrm C_4= {}_{34}\mathrm C_4=46376)]가지. 패밀리([math(5)]가지): [math({}_{31}\mathrm H_5 = {}_{5+31-1}\mathrm C_5= {}_{35}\mathrm C_5=324632)]가지. 하프갤런([math(6)]가지): [math({}_{31}\mathrm H_6 = {}_{6+31-1}\mathrm C_6= {}_{36}\mathrm C_6=1947792)]가지. 반면에 중복을 허락하지 않을 경우엔 일반적인 조합과 같아진다. 파인트([math(3)]가지): [math({}_{31}\mathrm C_3=4495)]가지. 쿼터([math(4)]가지): [math({}_{31}\mathrm C_4=31465)]가지. 패밀리([math(5)]가지): [math({}_{31}\mathrm C_5=169911)]가지. 하프갤런([math(6)]가지): [math({}_{31}\mathrm C_6=736281)]가지. [[https://blog.naver.com/dalsapcho/20143442158|참고하면 좋은 블로그]] 언뜻 보기에 조합의 특수한 경우로밖에 안 보이지만 사실 아주 중요한 성질이 있다. 부분곱으로 나타낸 중복 조합식의 [math(n)]에 [math(-n)]을 대입하면 다음과 같이 식이 변형되면서 조합에 관한 식으로 바뀐다. || [math(\displaystyle {}_{-n}\mathrm H_r = \frac 1{r!} \prod_{i=0}^{r-1} \left( -n+i \right) = \frac{\left( -1 \right)^r}{r!} \prod_{i=0}^{r-1} \left( n-i \right) = \left( -1 \right)^r {}_n\mathrm C_r)] || 이를 달리 표현하면 중복 조합은 조합에서 [math(n)]이 음수인 경우로 볼 수 있고[* 엄밀히 따지면 [math({}_{-n}\mathrm C_r = \left( -1 \right)^r {}_n\mathrm H_r)]] [math(n)]의 범위를 모든 정수로 확장[* 사실 조합을 부분곱으로 나타낸 식을 보면 알겠지만 애초에 그 식에서는 [math(n)]이 '''복소수'''여도 상관이 없다. [[테일러 급수/목록#s-3|테일러 급수의 예]] 문서 참조]해주는 성질이 있음을 알 수 있다. == 조합의 성질 == 1. [math(\dbinom nr= \dbinom n {n-r})]: [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 것은 [math(n)]개중 [math((n-r))]개의 뽑지 않을 것을 고르는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다. 1. [[파스칼의 삼각형|[math(\dbinom nr =\dbinom {n-1}r +\dbinom {n-1}{r-1})]]]: [math(n)]개중 한 개를 고정한다. 이제 [math(n)]개중 [math(r)]개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓수는 [math({}_{n-1}\mathrm C_{r-1})], [math({}_{n-1}\mathrm C_r)]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다. 1. [[이항정리]] 참조. == 예시 == '''조합''' 남녀 각각 [math(5)]명 중에서 남자 [math(3)]명, 여자 [math(2)]명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓수는? ||남자 [math(3)]명을 뽑는 수는 [math({}_5\mathrm C_3=10)], 여자 [math(2)]명을 뽑는 수는 [math({}_5\mathrm C_2=10)]. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓수는 [math(10\times10=100)]. 이 [math(5)]명을 원탁에 앉히므로, [[순열#s-4|원순열]]에 의해 [math(100\times\left(5-1\right)!=2400)] || '''중복 조합''' 음이 아닌 정수 [math(x)], [math(y)], [math(z)]에 대해, [math(x+y+z \leq 3)]를 만족시키는 순서쌍 [math((x, \ y, \ z))]의 수는? ||주어진 식을 [math(x+y+z=3-n \ (0 \le n \le 3))]으로 나타내면 이는 곧 음이 아닌 정수 [math(x)], [math(y)], [math(z)], [math(n)]에 대해 [math(x+y+z+n=3)]을 만족하는 식이며, 순서쌍 [math((x, \ y, \ z, \ n))]을 고르는 경우와 같다. 이는 [math(4)]개중 중복을 허락하여 [math(3)]개를 뽑는 가짓수와 동일하다. 즉, 구하고자 하는 답은 [math({}_4\mathrm H_3={}_6\mathrm C_3=20)].|| == 관련 문서 == * [[경우의 수]] * [[순열]] * [[로또|로또 복권]] ~~아마 조합을 이용한 계산 중 전세계에서 가장 유명할 것이다~~ * [[이항정리]] * [[파스칼의 삼각형]] [[분류:이산수학]]