[[분류:도형]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == [[피타고라스 정리]]로 유도되는, [[앵무조개]]처럼 생긴 도형. == 상세 == 밑변과 높이가 [math(1)]인 [[직각삼각형]]에서 출발하여, 길이가 [math(\sqrt2)], [math(\sqrt3)], [math(\sqrt4)]...인 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 차례로 그려 나가면 [[앵무조개]]와 같은 기하학적 무늬가 나오는데, 이를 '''제곱근의 앵무조개'''라고 한다. 제곱근의 앵무조개에서 모든 직각삼각형의 밑변의 길이는 [math(1)]이다. [math(n)] 번째 직각삼각형의 빗변의 길이는 [math((n+1))] 번째 직각삼각형의 높이의 길이와 같고, 그 길이는 [math(\sqrt{n+1})]이다. 표로 정리하면 다음과 같다. ||<-3> [math(n)] 번째 직각삼각형 || || 밑변의 길이 || 높이의 길이 || 빗변의 길이 || || [math(1)] || [math(\sqrt{n})] || [math(\sqrt{n+1})] || [[피타고라스 정리]]로 따져보면 [math(1^2+\sqrt{n}^2=\sqrt{n+1}^2=n+1)]이므로 관계가 성립한다. 나아가, [math(n)]은 자연수이므로 제곱근의 앵무조개는 한없이 많이 그릴 수 있다. [[직각]]을 [[작도]]할 수 있고, [[컴퍼스]]를 사용하여 길이가 같은 선을 또 그릴 수 있기 때문에, 제곱근의 앵무조개는 '''작도 가능하다.''' 만약 직각삼각형의 변의 길이에 [math(\rm cm)] 따위의 [[단위]]를 붙인다면, 정확히 [math(1\rm cm)]를 작도하는 것은 눈금 없는 자로는 불가능하겠지만, 단위를 언급하지 않았기 때문에 첫째 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 어떻게 정하든 그것이 바로 [[단위길이]]가 되므로 문제가 없다. [math(n)]번째 직각삼각형까지 이어붙혔을 때, 회전한 각은 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\limits \arctan (k^{- {1 \over 2}}))]이고 [math(\arctan (x) > tx)](단, [math(t)]는 [math(1)]보다 작은 실수)가 성립하니 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \limits \arctan (k^{- {1 \over 2}}))]는 발산하고, 이 조개 모양은 무한히 지속된다. || [[파일:제곱근노앵무조개.jpg|width=500]] || [[유클리드 노름|다른 시각]]으로 보면, 2차원에서부터 변 길이가 같은 윗단계 차원의 [[초입방체]]를 대각선에 붙인 꼴이다. 즉 처음 도형은 [[정사각형]], 두번째는 [[정육면체]], 세번째는 [[정팔포체]], … 의 규칙인 셈이다.