[목차] == 정의 및 표기법 == * 실수 및 복소수 [math(a)]에 대해, '''[math(a)]의 제곱근'''('''square root of a''')은 제곱해서 [math(a)]가 되는 모든 수를 의미한다. * 실수 [math(a \ge 0)]에 대해 '''제곱근 [math(a)]''' 혹은 '''루트 [math(a)]''' ('''root a''')는 [math(a)]의 제곱근 중 유일한 음이 아닌 실수인 것을 의미하고, [math(\sqrt{a})]로 표기한다. 간혹 [math(a<0)]에 대해 [math(\sqrt{a} := i\sqrt{a})]로 표기하기도 하나, 교과과정 외에서는 표준적인 표기가 아닐 수 있다. 일반적으로 2 이상의 정수 [math(k)]에 대해, * 수 [math(a)]에 대해 '''[math(a)]의 [math(k)]제곱근'''('''[math(k)]-th root of a''')[* 드물지만 라틴계열 접두사인 cubic/quartic/quintic root로도 쓸 수 있다.]은 [math(x^k=a)]의 모든 해를 의미한다. * 실수 [math(a \ge 0)], 혹은 [math(a<0)]과 홀수 [math(k)]에 대해, '''[math(k)]제곱근 [math(a)]'''[* '[math(k)]루트 [math(a)]'라 부를 수도 있겠으나 [math(k\sqrt a)]와 헷갈릴 수 있어 추천하지 않는다. 영어로 [math(\sqrt[k]{})]를 '[math(k)]th root'라고 읽는다는 점을 감안하여 '[math(k)]th 루트 [math(a)]'로 읽는 것이 대안이 될 수는 있을 것이다.]는 유일한 실수 [math(k)]제곱근으로, [math(\sqrt[k]a)]로 표기한다. 예시를 들자면 '[math(4)]의 제곱근'은 [math(2)]와 [math(-2)]이고, '제곱근 [math(4 = \sqrt4)]'는 이 중 [math(2)]만을 의미한다. '세제곱근 [math(8 = \sqrt[3]8)]'은 [math(2)]이고, '[math(8)]의 세제곱근'은 실수 범위에선 [math(2)] 하나뿐이지만 [[대수학의 기본정리|복소수 범위에선 2개가 더 있다.]] 텍스트 환경에서 제곱근을 기호로 표기할 때는 보통 √ (U+221A)을 사용한다. === 기호 === 근호 기호 √는 수학자 루돌프가 1525년에 발간한 저서에서 처음 사용되었다. 처음에는 위쪽 줄이 없이 √만 썼는데, 근을 뜻하는 라틴어 radix의 머리글자 r에서 따왔다는 설이 있다. 종종 근호 기호(√; U+221A)를 체크 표시(✓,✔; U+2713, U+2714) 대용으로 쓰기도 하는데, 그냥 [[닮은꼴 문자|비슷한 글자]]일 뿐이다. 거기다 서체마다 윗줄 부분이 있기도 해서 이런 경우 보기가 [[영 좋지 않다]].[* 사실 [[완성형]]에 근호는 있지만 체크 표시가 없어서인 것이 크게 작용한다.] 만약 plain text에서 근호 기호를 사용해야 한다면 √(x+2)와 같이 근호 기호 밑에 들어가는 것들을 모두 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 근호 기호가 어디까지 적용되는지 알 수 없기 때문이다. 예를 들어, √x+2라고 쓰면 [math(\sqrt{x}+2)]인지 [math(\sqrt{x+2})]인지 알 수 없다.[* 매스매티카 기반 프로그램 및 WolframAlpha에서는 전자로 해석한다.] == 교과 과정에서 == 상단 정의에 표현된 것처럼 '제곱근 2'와 '2의 제곱근' 차이를 유의할 필요가 있다. 영문을 생각하면 좀더 직관적인 편. 대한민국에서는 중3때 처음으로 배우게 되며, [[무리수]]를 도입시키는 동기로 등장한다. [* 사실 [[원주율]]이 제곱근보다 더 먼저 등장하긴 하지만, 수학교과 내에서는 초월수니 뭐니 이 수의 정체를 알 방법이 없다. 반면에 루트2 무리수 증명은 교과서에 바로 등장한다. 고등학교 1학년 때 배우는 수학의 귀류법 파트에서 나온다.] 이후 [[피타고라스의 정리]](교육과정이 바뀌어서 중2때 배우게 된다)나 2차 [[방정식]], 고등학교 과정, 그리고 고등학교 이상 과정에서도 많이 써먹게 된다. 이 때 사용하는 [[√]] 모양의 기호는 근호(根號)라고 한다. 당연히 [math(\sqrt{4}= 2 )]처럼에서 볼 수 있듯이 근호가 있다고 해서 다 무리수는 아니다. 더 나아가서 실수[[지수]]의 확장을 배우면 [math(\sqrt[n]{a}=a^{1/n})]으로 생각할 수 있다. 음수의 제곱근은 실수 위에서 존재하지 않으므로 이 때 다루지 않지만, 곧 고교과정에서 -1의 제곱근으로 [[허수]]를 도입하며 [[복소수]]로 범위를 넖히게 된다. [[대수학의 기본정리|복소수 범위 내에선 0을 제외한 모든 수가 [math(k)]개의 [math(k)]제곱근을 갖고 있다는 것이 알려져 있다]]. 제곱근을 취하는 연산은 [[거듭제곱]]의 역연산에 해당한다. 함수 관점에서 보면 양수 범위에서 제곱근 함수 [math(y=\sqrt{x})]는 이차함수의 [[역함수]]이다.[* 다만 이차함수를 그대로 기반으로 두고 역함수로 만들 경우 [[음함수]]가 되기 때문에 그래프에서 [math(y=-\sqrt{x})] 부분은 보통 제외한다.] 제곱근이 들어간 함수와 성질도 고교과정에서 배우게 된다. [[미적분]]을 할때 가장 보기 싫은 기호 중 하나. 이 녀석이 들어가면 미적분이 배는 어려워진다. 그나마 [[미분]]은 근호를 분수지수로 나타낸 후 다항함수 미분하듯 미분하면 돼서 쉬운데 [[적분]]은 진짜 이거 하나 때문에 [[치환적분|삼각치환]]이니 별 짓을 다해야 하고 그나마도 이거 하나 때문에 초등함수 역도함수를 못 구할 때가 많다. === 제곱근의 성질 === [math(a, b)]가 모두 양수일 때 다음과 같이 계산하는 것이 가능하다.[* 그 [[레온하르트 오일러]]가 이 부분을 헷갈려서 음이든 양이든 상관없이 쓰다가 그럼 [math( \sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36}=6 )] 이냐?라고 까였다는건 꽤나 [[https://www.jstor.org/stable/27642191?seq=1#page_scan_tab_contents|유명한 이야기...]]([math((\sqrt{-1})^2=i^2=-1)]. 즉 답은 [math(-6)].)] * 제곱근 내의 합은 제곱근끼리의 합으로 고쳐 쓸 수 없다([[1학년의 꿈]]). [math(\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b})] * 제곱근 끼리 곱할 때는 간단히 근호 안의 수끼리 곱한다. [math(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab})] * 근호 밖에 수가 곱해져 있을 때는 근호 밖의 수끼리 곱한다 [math(m\sqrt{a})] × [math( n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab})] * 나눗셈은 역수의 곱셈으로 고쳐서 계산한다. 1. [math(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}})] 1. [math(\displaystyle m\sqrt{a} \div n\sqrt{b}=m\sqrt{a}\times \frac{1}{n\sqrt{b}}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}})] 단, 음수 제곱근의 경우에는[* 정확히는 상술한 루트로 (양수)*i를 취하는 관습을 쓴다면] 부호가 바뀌는 것에 주의할 것. * [math(\sqrt{-a}\sqrt{-b}=-\sqrt{ab})] * [math(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b} i} = -\sqrt{\frac{a}{b}}i= -\sqrt{\frac{a}{-b}} )] === 제곱근의 [[미분]] === * [[지수(수학)|지수]] 꼴로 바꾼 다음 지수에서 1을 빼는 동시에 원래 지수의 값을 곱한다. 세제곱근, 네제곱근 등도 마찬가지. [math(\displaystyle {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sqrt{x} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^{1 \over 2} = {1 \over 2} x^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}} )] === 제곱근의 [[적분]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=치환적분)] == 실수 제곱근의 수치계산법 == 전자계산기가 개발/보편화되지 않았던 옛날에는 고등학교때 제곱근을 소수로 바꾸는 법(개평법)을 배웠다. 과거엔 제곱근을 구하기 위해선 아래의 방법들을 이용해 직접 계산하거나, [[상용로그]]표처럼 제곱근표에서 미리 계산해놓은 값을 읽거나, [[계산자]]를 이용했다. 지금은 계산기가 흔하니 웬만한 이과생들도 배우지 않지만, 아직도 이걸 활용하는 곳은 있다. 바로 [[마이크로프로세서]]를 설계하는 분야. 마이크로프로세서에 들어갈 제곱근기를 설계하려면 다양한 제곱근 알고리즘들과 각각의 장단점에 대해 알아야 한다. 일본 고등학교 수학과정의 경우 제곱근 개평법을 배우며, 소숫점 아래 8자리까지 외운다. 여기에 제시된 방법 말고도 펠 방정식, 테일러 전개, 골드슈미츠 알고리즘, 연분수 전개등 여러 방법들이 있다. === [[시행착오법]] === [math( \sqrt{16} )]나 [math( \sqrt{144} )]같이 간단한 식은 어떤 수의 제곱을 하여 점점 가까워지는 수를 찾으면 된다. 예를 들어서 [math( \sqrt{16} )]의 값을 구하려면 제곱이 되어서 16이 되는 수를 찾아야 한다. [math( 2^2=4 )], [math( 3^2=9 )], [math( 4^2=16 )]으로서, 따라서 [math( \sqrt{16} )]의 값은 [math(4)]이다. 이렇게 계속 수를 크게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법이 있다. 만약 두 제곱수의 사이라면(ex 3 < [math( \sqrt{15.2512} )] < 4) 이번에는 자릿수를 늘려서 3.0, 3.1, 3.2...를 대입해가며 점차 유효숫자를 늘려가면 된다. 제곱근을 구하려는 수가 좀 크다거나 너무 작다거나 할 경우 [[100]]을 [[적절]]히 곱하거나 나누어 [[1]]과 [[100]] 사이의 수로 만들면 첫 자리 수를 찾기 쉽다. 원래 값을 구하려면 다시 [[10]]으로 같은 회수로 나누거나 곱하면 된다. 다르게 말하면 일종의 [[극한]]으로 생각할 수 있다. === [[세로셈법#개방법|개방법(Digit-by-digit calculation)]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=세로셈법, 앵커=개방법)] === 바빌로니아법(Babylonian method) === 헤론법(Heron's method)이라고도 불리며 [* 이름이 붙여진 유래는 이 방법이 등장한 최고(最古)의 문건이 [[헤론]]의 저작이고, 일부에선 고대 바빌로니아인도 이 방법을 사용한 것으로 추정하기 때문이다. 실제로 바빌로니아인들이 루트2의 근사값을 60진법으로 3자리까지 (즉 1/216000의 정확도로) 구한 석판이 현재까지 남아 있다.] [[뉴턴-랩슨 방법]]의 제곱근버전이라고 할 수 있다. 뉴턴-랩슨법은 기본적으로 함수를 접선으로 근사해서 근을 찾아나가는 방식인데 [math( \sqrt{c} )]를 찾는다고 하면 이는 방정식 [math(f\left(x\right) = x^2-c=0 )]의 0보다 큰 근을 찾는 것과 같다. 이 함수 그래프의 [math( x = a )]에서의 접선의 방정식은 [math(f'\left(a\right) \times (x-a) + f\left(a\right) )]이고 이 방정식은 [math( x = a - {f\left(a\right) \over f'\left(a\right)} )]일 때 0이 된다 이를 정리하면 [math( x = {a + {c \over a} \over 2} )]가 되며 이 x를 새 a로 삼아 반복한다. [[뉴턴-랩슨 방법]] 문서에서 루트2의 계산법을 보여주고 있다. a를 엄청 생뚱맞게 잡아도(1이라던가) c>0이고 a>0이기만 하면 바빌로니아 법을 쓰면 a가 [math( \sqrt{c} )]로 수렴한다. 문제는 산술기하 부등식을 잘 조작해보면 알겠지만, 운좋게 [math( a = \sqrt{c} )]로 시작하지 않는 이상, 두 번째 a부터는 항상 [math( \sqrt{c} <a )]라는 것이다. 즉 [math( \sqrt{313.29} )]같이 잘 나누어 떨어지는 수라도 처음에 a= 17.7로 시작하지 않는다면 무한번 하지 않는 이상 a는 17.7보다 큰 값이 나온다. 이런 문제도 있고 무한소수가 툭하면 나오기 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 다음 a를 정하고 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. 그래도 계산이 쉽고 수렴속도가 엄청나게 빨라서 꽤나 유용하다. 얼마나 빠르냐면 a=600으로 [math( \sqrt{125348} )]를 유효숫자 소수점 아래 3자리까지 구하는데 5번 반복하면 된다. 계산을 반복할 때마다 유효숫자가 2배씩 늘어난다.[* 대충 반복 횟수에 대해 ‘이중 기하급수적’으로 정밀도가 증가하는 셈이다. 반복 횟수가 늘어날수록 분모와 분자의 자릿수가 기하급수적으로 커짐에 따라 통분에 필요한 계산량이 기하급수적으로 커지는 점을 감안해도 총 계산량이 정밀도의 로그값의 제곱에 비례한다. 일정 이상 분자와 분모의 자릿수가 커지면 Karatsuba 등의 곱셈 알고리즘을 쓸 수도 있어서 [[시간복잡도]]는 낮아진다.] === [[상용로그]] 이용 === [math(\log \sqrt[n]{a} = (\log a)/n)]라는 성질을 이용해서 거듭제곱근을 구하는 방법이다. 로그값을 알아야 쓸 수 있기 때문에 상용로그표를 구비해야 한다는 단점이 있다. == 복소수의 제곱근 == 허수도 제곱근을 정의할 수 있다. 허수 단위 [math(i)]의 제곱근은 [math(\displaystyle \pm \left(\cos {\pi \over 4} + i \sin {\pi \over 4}\right) = \pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right))] 이다. 이는 [[오일러의 공식]]에서 유도할 수 있다. 그러나 위 정의에도 나와 있듯이 일반적으로 루트 기호는 실수의 제곱근에만 정의되어 있으므로 [math(\sqrt{i})]와 같은 표기는 사용하기 힘들다. 제곱근은 두 개인 반면 근호가 붙은 수는 하나의 수로 정의해야 하는데, [math(a)]를 복소수 단위까지 확장하면, 그 제곱근 중 하나는 실수 부분이 양의 부호지만 허수 부분이 음의 부호고, 또 다른 하나는 실수 부분이 음의 부호지만 허수 부분이 음의 부호라서 판별하기 모호한 경우도 생긴다.[* 어떤 복소수가 오느냐에 따라 제곱근 중 한쪽은 실수 부분과 허수 부분이 동시에 양이고 다른 한쪽은 동시에 음이 될 수도 있다.] 따라서, 복소수의 제곱근을 편의상 루트 기호로 나타내고 싶다면 둘 중 어느 제곱근을 근호로 표기할 것인지 미리 정의해 놓아야 한다.[* [[WolframAlpha]]는 실수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 것을 채택하고 있으며, 만일 실수 부분이 0일 경우 허수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 값을 근호 값으로 채택하고 있다.] === 극형식(polar form) === 일반적으로 구하기 까다로운 [[복소수]]의 제곱근은 [[극형식]]을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 풀이는 쉽지만 문제는 극형식에 들어가는 각도 [math(\Theta)]를 구하기 위해 삼각함수의 역함수를 써야 한다는 점.~~극혐식~~ 각도만 구할 수 있다면 [[오일러의 공식]]을 응용해서 근을 전부 구할 수 있다. 먼저 다음과 같은 관계식이 주어졌다고 하자. [math(w = z^n)](단, [math(z \ne 0, n)]은 자연수) 이때 위 식에서 [math(z)]를 [math(w)]의 [math(n)]- 제곱근이라 하고, 이것을 [math(z = \sqrt[n]{w})]와 같이 나타낸다. 만약 [[복소수]] [math(z)]와 [math(w)]의 극형식이 각각 [math(z = R(\cos \Theta + i\sin \Theta) (R > 0), w = r(\cos \theta + i\sin \theta) (r > 0))]이면 극형식의 성질에 따라[* 극형식에서 곱셈은 절댓값(R,r)은 그대로 곱해지지만 각도 ([math(\Theta, \theta)])는 덧셈이 된다. [[드 무아브르 공식]]을 참조] [math(z^n = R^n(\cos n\Theta + i\sin n\Theta) = r(\cos \theta + i\sin \theta))]이다. 따라서 정수 [math(k)]에 대해 [math(R^n = r, n\Theta = \theta + 2k\pi)]이므로[* [math(2\pi)](rad)이 1바퀴이므로 각도가 [math(2k\pi)]만큼 바뀌어도 극형식에선 같은 값을 얻는다.] [math(R = \sqrt[n]{r}, \Theta = \displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n})]이다. 따라서 [math(z \ne 0)]일 때 [math(w = z^n)]은 n차 방정식이므로 n개의 근 [math(z)]를 갖는다. 이렇게 구한 [math(R,\Theta)]를 극형식으로 나타낸 [math(z)]에 대입하면 [math(z_k = w^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{r} \{ \cos(\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i\sin(\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n}) \})]을 얻는다. [math(n)]개의 근을 얻기 위해서는 [math(k =0, 1, ... , n-1)]을 대입하면 된다. 다른 정수 [math(k)]는 어차피 이 [math(n)]개 중 어느 하나와 [math(2l\pi)]([math( l \ne 0,l)]는 정수) 만큼 차이 나는 각도를 주므로 극형식에선 같은 값이 나온다. ==== 예시 ==== * [math(8i)]의 세제곱근을 모두 구하시오. 극형식으로 표현하면 [math(8i = 8\{\cos (\theta + 2k\pi) + i\sin (\theta + 2k\pi)\})]이므로 [math(\cos (\theta + 2k\pi) = 0, \sin (\theta + 2k\pi) = 1)] 이고 [math(\theta = \displaystyle \frac{\pi}{2})]이다. 따라서 [math(k = 0, 1, 2)]인 [math(Z_k)]가 존재한다. [math(\sqrt[3]{8} = 2)]이므로 [math(Z_k = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{3}) + i\sin (\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{3})\}, k = 0, 1, 2)]이고 [math(\theta = \displaystyle \frac{\pi}{2})]이기 때문에 [math(Z_k = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3}) + i\sin (\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3})\})]이다. 각각 계산해 보면, [math(Z_0 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\pi}{6}) + i\sin (\displaystyle \frac{\pi}{6})\} = 2(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{i}{2}) = \sqrt{3} + i)] [math(Z_1 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{5\pi}{6}) + i\sin (\displaystyle \frac{5\pi}{6})\} = 2(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{i}{2}) = -\sqrt{3} + i)] [math(Z_2 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{3\pi}{2}) + i\sin (\displaystyle \frac{3\pi}{2})\} = -2i)] 가 나온다. 즉 [math(8i)]의 세제곱근은 모두 3개로 [math(\sqrt{3} + i, -\sqrt{3} + i, -2i)]이다. == [[무리함수]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=무리함수)] == [[이중근호]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=이중근호)] == [[1의 거듭제곱근|단위근]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=1의 거듭제곱근)] == 기타 == * [[인천광역시]] [[시내버스]] 공동배차 시절, 근호를 형상화한 도색(정확히는 바다를 형상화했다고 한다)을 활용하여 버스 동호인 사이에서 '''루트도색'''이라고 불린다. * [[박사가 사랑한 수식]]에서는 등장인물의 별명으로 나오는데, 모든 수를 다 품을 수 있는 상냥한 기호라고 소개된다. ~~음수는~~ * 표제어의 제약에도 불구하고 나무위키에는 [[√2]], [[√3]], [[√5]] 등의 문서가 생성되어 있다. * 수식 [math( 128 \sqrt{e 980} )]에서 윗부분만 살짝 지우면 I love you가 된다. [* 제대로 계산하면 약 6,606.4818843257이다.][[https://namu.wiki/w/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:attachment/%EC%82%AC%EB%9E%91%ED%95%B4/f0018015_4e22358bb244d.jpg|#]] * 약자로 사용할 땐 sqrt로 쓴다. [math( \sqrt{2} )]를 sqrt(2)로, [math( \sqrt{a×b+b×c+c×a} )] 는 sqrt(a×b+b×c+c×a)로 쓰는 식이다. [[분류:수학 용어]][[분류:특수 문자]]