[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 orthographic projection · [[正]][[射]][[影]]}}} 아래의 그림과 같이, [[도형]]의 각 점에서 한 평면에 내린 수선의 발이 그리는 도형. [[파일:나무_정사영_개요.png|width=250&align=center]] 얼핏 보면 평면 위로의 그림자와 매우 유사해 보인다. 실제로 위의 그림에서도 위쪽에 불빛이 있다고 가정하고 생각하면 정사영된 도형은 그림자와 같다. 그러나 엄밀하게는 정사영과 그림자는 다른 것이다. 그림자는 __광원이 물체로부터 멀어질수록 크기가 커지고 흐려진다.__ == [[기하학]]에서의 정사영 == === 길이에 관한 공식 === [[파일:나무_정사영_길이.png|width=200&align=center]] 그림과 같이 선분 [math(\mathrm{AB})]를 평면 [math(S)]에 정사영 했을 때 나타나는 선분의 길이를 구하고자 한다. 정사영의 정의에 의해 점 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]에서 평면 [math(S)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\mathrm{A'})]와 [math(\mathrm{B'})]라 하자. 그렇다면, 우리가 구하는 것은 곧 선분 [math(\mathrm{A'B'})]의 길이가 된다. 그런데 이 선분을 평행 이동시켜, [math(\mathrm{A' \to A})]가 되게 하면, 직각 삼각형 [math(\mathrm{BAB''})]가 나온다. [math(\overline{\mathrm{AB}} \equiv l)], [math(\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB''}} \equiv l')]라 한다면, 결국 우리는 아래와 같음을 얻는다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle l'=l\cos{\theta} )]}}} 이때, 각 [math(\theta)]는 곧 '''두 선분이 이루는 각'''임에 유의하여야 한다. === 넓이에 관한 공식 === [[파일:나무_정사영_넓이.png|width=175&align=center]] 그림과 같이 평면 [math(S_{1})]에 면적 [math(A)]인 도형이 있고, 이것을 평면 [math(S_{2})]에 정사영 시킨 도형의 면적을 [math(A')]라 하자. 또한, 평면 [math(S_{1})]과 평면 [math(S_{2})]의 '''이면각'''은 [math(\theta)]라 하자. 이때, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle A'=A\cos{\theta} )]}}} 평면 [math(S_{1})], 평면 [math(S_{2})]의 단위 법선 벡터를 각각 [math(\hat{\mathbf{n}}_{1})], [math(\hat{\mathbf{n}}_{2})]라 하면, 이면각의 cosine 값은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \cos{\theta}=\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} )]}}} 로 쓸 수 있다. 다만, 우리가 다루는 게 넓이임을 상기하면, 내적 값은 음 또한 가능하므로 절댓값을 취해줄 필요가 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle A'=A\, |\hat{\mathbf{n}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{2} |)]}}} 로도 구할 수 있음을 얻는다. 주의해야할 사항은 길이에 관한 공식에서 [math(l \to A)]로 대치했다고만 생각하면 절대 안된다. 길이에 관한 공식에서 [math(\theta)]는 '''두 선분이 이루는 각''', 이 경우는 '''두 평면의 이면각'''임에 유의해야 한다. === 벡터 사영과 스칼라 사영 === 공간 상의 영벡터가 아닌 두 벡터 [math(\mathbf{V})]와 [math(\mathbf{U})]를 고려하자. 우리는 벡터 [math(\mathbf{V})]를 벡터 [math(\mathbf{U})] 위로 정사영 시킨 벡터를 생각할 수 있고, 해당 벡터를 벡터 사영이라 한다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} )]}}} 아래의 그림을 참조하자. [[파일:나무_벡터 사영.png|width=105&align=center]] 우선 벡터는 선분과 같은 케이스로 취급할 수 있으므로 우리가 찾는 벡터의 길이는 정사영의 정의에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle | \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} |=|\mathbf{V}||\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}| )]}}} 이다. [math((\mathbf{V},\,\mathbf{U}))]는 두 벡터가 이루는 각이다. 그렇다면, 우리가 찾는 벡터의 방향은 무엇일까? 바로, [math(\mathbf{U})]와 같을 것이다. 따라서 우리는 [math(\mathbf{U})]와 평행하면서 크기가 [math(1)]인, 단위 벡터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} )]}}} 를 [math(\displaystyle \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V} )]의 방향이라 쓸 수 있다. 다만, [math(\mathbf{U})]와 반전되는 경우도 있기 때문에 앞에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} )]}}} 를 덧붙일 필요가 있어, 우리는 벡터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}}{|\cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} )]}}} 를 벡터 [math( \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V})]의 방향으로 설정할 수 있다. 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \cos{(\mathbf{V},\,\mathbf{U})}=\frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} )]}}} 로 쓸 수 있는 점을 상기하면, 우리가 찾는 벡터 사영은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \, \mathbf{V}&=|\mathbf{V}| \frac{|\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}|}{|\mathbf{V}||\mathbf{U}|} \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}|} \frac{\mathbf{U}}{|\mathbf{U}|} \\ &=\frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{|\mathbf{U}|^{2}} \mathbf{U} \end{aligned} )]}}} 로 쓸 수 있다. 참고로 위의 벡터 사영의 크기를 스칼라 사영이라 하고, 스칼라 사영은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{comp}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V} &= |\mathrm{proj}_{\mathbf{U}} \,\mathbf{V}| \\&= \left| \frac{\mathbf{V} \cdot \mathbf{U}}{\mathbf{U}} \right| \end{aligned} )]}}} 이다. === 기타 === * [[기하와 벡터]] 혹은 [[기하(교과)|기하]] 과목 중 가장 어려운 파트 중 하나이며, 그렇기 때문에 수능 수학 영역에서 킬러 문제로 단골로 출제되는 내용이다. 과거 수능에는 고정 29번으로 순수 공간도형을 주고 그 도형에 태양광선을 비추어 정사영을 이용해 이면각을 구하는 게 추세였다면, 현재는 벡터를 정사영 시켜 도형의 방정식을 유도해 그 도형들(직선, 평면, 구) 사이의 위치 관계를 파악하는 것이 중요한 문제들이 킬러로 출제된다. * 정사영 파트는 정사영에 대한 정확한 정의를 알아야 응용 문제에 응용할 수 있다. 개념 공부할 때, 반드시 정사영의 정의는 10번 이상 읽어보는 게 기본이다. * 학생들은 이와 관련된 문제를 풀 때, 문제를 잘 읽어야 한다. 왜냐하면, 어디 평면을 기준으로 정사영 시켰느냐에 따라 정사영은 달라지며, 위에서 미리 경고를 주었지만, [math(\theta)]의 의미를 길이와 넓이의 경우가 다르다는 것을 인지하지 못하거나 착각하여 실수하는 등 오류를 범할 가능성이 높기 때문이다. == [[선형대수학]]에서 정사영 == === 사영 === [math( V )]를 벡터공간이라고 하자. 그러면, 선형변환 [math( T:V\to V )]가 [math( T^{2}=T )]를 만족하면 [math( T )]를 사영이라 한다. 조건 [math( T^{2}=T )]를 멱등성(idempotence)이라고 한다. 여러번 적용해도 한번 적용한 것과 같은 결과가 나온다는 뜻. 그렇다면 멱등성이 있는 선형변환을 왜 사영이라고 부르는지 의문이 생길 것이다. 종이에 연필을 세워놓고 빛을 빚춘다고 생각해보자. 그러면, 연필이 세워진 방향에 상관없이 연필의 그림자는 종이에 생긴다. 그럼 그 그림자의 길이와 똑같은 연필을 준비해서 방금 그 그림자와 일치하도록 종이 위에 놔두고 다시 빛을 쬐면, 방금과 똑같은 그림자가 다시 한번 생길것이다. 즉, 연필이 벡터라면, 연필에 빛을 비춰서 그림자를 만드는 변환 [math( T )]의 상(image)이 종이인거고, 연필의 그림자에 다시한번 [math( T )]를 적용해도, 같은 그림자가 나오므로 멱등성이 있는 것이다. 다음 성질은, 사영의 기본적 성질중 하나이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( T:V\to V )]가 사영이면, [math( \text{Im}\,T\oplus \text{Ker}\,T=V )]}}} 가 성립한다. ||<table width=100%>{{{#!folding [증명] ------- 임의의 벡터 [math( v\in V )]에 대하여 [math( T(v-T(v))=T(v)-T^{2}(v)=0 )]이 성립한다. 즉, [math( v-T(v) \in \text{Ker}\,T )]이고, [math( v=T(v)+(v-T(v)) )]이다. 또한, [math( v\in \text{Im}\,T \cap \text{Ker}\,T )]이면 [math( T(w)=v )]인 [math( w \in V )]가 존재하여, [math( 0=T(v)=T^2 (w)=T(w)=v )]이다. }}} || 반대로, [math( U\oplus W=V )]이면, [math( \text{Im}\,T=U )]이고, [math( \text{Ker}\,T=W )]인 사영 [math( T )]가 유일하게 존재한다. [math( v\in V )]이면, [math( v=u+w )]를 만족하는 [math( u\in U )]와 [math( w\in W )]가 유일하게 존재해서, [math( T(v)=T(u)+T(w)=u+0=u )]로 [math( T )]의 함수값을 유일하게 결정할 수 있기 때문이다. === 정사영 === 직교성을 정의하려면 내적이 주어져야 한다. 두 벡터의 내적이 0일때 두 벡터가 직교한다고 하니까. 내적공간 [math(V)]의 부분공간 [math(U)]에 대하여,[math(\text{Im}T=U)]이고 [math(\text{ker}T=U^{\perp})]인 사영 [math(T:V\to V)]가 유일하게 존재하는데, 이 때 [math(T)]를 [math(V)]의 [math(U)]로의 정사영이라 한다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[기하학]] * [[기하와 벡터]], [[기하(교과)]] * [[겨냥도]] [[분류:기하학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]