[목차] {{{+2 Absolute Value}}} == 개요 == '절대치'라고도 불리는 [[함수]]계의 적들 중 하나. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 [[사이시옷]] 규정에 맞게 절댓값으로 부르게 되었다. 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 [[노름(수학)|노름]]. == 실수의 절댓값 == 원 개념은 '[[음수(수학)|음수]]와 [[양수]]에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 '''절대 음수로 나타낼 수 없으므로.'''[* 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)][br] [math(|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 )] 실수 [math(x)]에 대해 * [math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)] * [math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)] * [math(x＝0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][* 그냥 부등호를 [math(0≤x)]와 [math(0>x)]로 나누는게 계산하기 편하다.] * [[매끄러움|매끄럽다]]. 즉 [[미분]], [[적분]]을 무한번 할 수 있다.[* 다만 절댓값의 매끄러움을 보이려면 '''분포(Distribution)''' 개념이 필요하다. 절댓값의 미분이 왜 [[디랙 델타 함수]]로 가는가에 대한 수학적 [[연결고리]]를 만들어야 하기 때문. 이 때문인지 [[고등학교 수학]]에서는 일절 다뤄지지 않는 성질이고 [[존재의 부정|오히려 미분 불가능이라고 가르치는 경우]]가 많다. 고등학교 수학에서 절댓값이 미분 불가능하다고 가르치는 것은 [[중학교 수학]]에서 [[복소수]]를 가르치지 않아 이차방정식 [math(x^2 + a = 0 \ (a > 0))] 의 근이 없다고 가르치는 것과 비슷하다.] * [[도함수]]는 [[부호 함수]](Signum function, [math(\mathrm{sgn})]), 이계도함수는 [[디랙 델타 함수]]의 두 배이다.[* [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))]] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다. * [[적분|역도함수]]는 부호함수가 곱해진 [[이차함수]]이다.[* [math(\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)]] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [* n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다.] * x에 대한 [[함수]] [math(f(x))]가 매끄럽다면, 절댓값을 씌운 [math(|f(x)|)]도 매끄럽다. * [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x))] * [math(\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f'')(x) + 2(\delta \circ f)(x) [ f'(x) ]^2)] * [math(\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x) + C)] 실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다. 중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! [[https://youtu.be/n1rQI-kc9QU|절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.]] 주로 나오는 유형은 * 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다. * 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다. * 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다. * 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)] 함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 [[대칭함수|짝함수]]의 형태이다. [[파일:namu_극점_1.svg|width=222&align=center]] 수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다. == 복소수의 절댓값([math(|z|)]) == 이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 [[복소수]]에도 절댓값을 도입할 수 있다. [math( z = a+bi )] ([math( i )]는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면 상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, [[피타고라스 정리|이 점과 원점 사이의 거리]]인 [math( \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} )] 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 [math(\sqrt{z\bar{z}} )]와 같다. [math( \bar{z} )]는 [math( z )]의 켤레복소수(complex conjugate) [math( a-bi )]이다. 단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 '''미분가능하지 않다'''. == 집합의 절댓값([math(|S|)]) == [[집합]]의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, '''[[기수#s-8]]'''라고도 한다. [[초한기수|무한집합의 경우에도]] 성립한다. == 행렬의 절댓값([math(|A|)]) == [[행렬]]에도 절댓값을 정의할 수 있는데 이는 [[행렬식]]으로 나타낼 수 있다. 자세한 사항은 [[행렬식]] 참조. 수의 절댓값이나 기수와는 달리, 행렬식의 값은 __음수가 나올 수 있다.__ [[분류:수학 용어]]