[include(틀:다른 뜻1, other1=박인수의 별명인 인수분해, rd1=박인수(프로게이머))] [include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 factorization · [[因]][[數]][[分]][[解]]}}} '''여러 항들의 합과 곱이 어지럽게 뒤섞여 있는 다항식을 알아보기 쉽게 정리하는 것.''' 엄밀히는 '''합(=항)의 꼴'''로 전개되어 있는 다항식을 '''곱(인수)의 꼴'''로 고치는 것을 뜻한다. 인수분해를 하는 이유는 다항식을 알아보기 쉽도록 해서 이차 이상의 고차방정식의 해를 구하기 위해, 다항식이 분모 및 분자를 차지하고 있는 분수식을 유리식이나 더 간단한 분수식으로 약분하기 위해, 특수한 상황에서 문제를 풀기 쉽도록 고치기 위해 등 여러가지이다. 인수분해의 목적이 무언가를 도출하기 위함이든, 어찌됐든 특정한 식을 쪼개어 묶어서 더 간단하게 정리하는 기법이라는 기본적인 정의는 변함이 없다. 조립제법도 인수분해 기법 중 하나라 볼 수 있다. === 엄밀한 정의 === 인수분해를 어느 정도까지 해야 하는가에 대해 의문을 품을 수 있는데, '''정해진 수의 범위에서''' 가능할 때까지 최대한 진행하면 된다. 예로 [math(x^4 - x^2 - 2)]를 [[유리수]] 범위 내에서 인수분해하면 [math((x^2+1)(x^2-2))]이지만, [[실수]] 범위에선 [math((x^2+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))]까지 분해되고, [[복소수]]로 범위를 넓히면 [math((x+i)(x-i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))]로 분해된다. 따라서 정확하게 한다면 인수분해를 하는 수의 범위를 먼저 지정해놓는 것이 맞지만, 교과과정의 인수분해 문제에서는 별다른 언급이 없다면 보통 [[유리수]]나 [[실수(수학)|실수]] 범위까지 인수분해한다. 대신 일단 수 집합이 정해졌으면 인수분해를 하는 방법은 거의 '''유일하게 정해지므로,''' 어떻게 하든 할 수 있는데까지 분해했으면 상관없다. '거의'가 붙은 이유는 [math((2x) \cdot y=x \cdot (2y))]등을 구분할 수 없기 때문으로, 상수 배만큼 인수가 차이나는 것은 사실상 같은 인수분해로 취급한다. [* 대학 수학 레벨로 넘어가면 이는 모두 [[체(대수학)|체]] 위에서의 다항식의 인수분해 이야기로 일반화된다. 다만 정수 위에서의 인수분해 등에서는 상수배를 무시하면 안되고, 외려 별도의 인수로 취급해 주어야 한다. 기본적으로 UFD 위에서의 기약분해인데 체가 아니면 상수항이 더 이상 단위원이 아니기 때문.] 시험 등에서 유일한 답을 요구하고 싶을 때는 x의 최고차항 계수가 1이라던지 하는 조건을 달아주면 된다. == 기본적인 인수분해 == 1. [math(x^2\pm2xy+y^2=\left(x\pm y\right)^2)] 1. [math(x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right))] 1. [math(x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right))] 1. [math(acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd=\left(ax+b\right)\left(cx+d\right))][* 여기까지가 중학교 3학년 과정.] 1. [math(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2)] 1. [math(x^3\pm 3x^2y+3xy^2\pm y^3=\left(x\pm y\right)^3)] 1. [math(x^3\pm y^3=\left(x\pm y\right)\left(x^2\mp xy+y^2\right))] 1. [math(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right))] 1. [math(x^4+x^2y^2+y^4=\left(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2\right))] 1. [math(x^n-1=\left(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right))] '''(이상 [[복부호 동순]])''' 위처럼 여러 가지 인수분해 공식들이 있다. 간단한 것은 단순히 다항식의 전개식의 양변을 바꾸어 놓은 것처럼 보이지만, 어디서 [[갑툭튀]]했는지 모르는 것들도 가끔 있다. 따라서 하나씩 곱해가면 되는 전개와는 달리, 인수분해는 그때 그때 공식 및 유형을 외워서 문제풀이에 써먹는 것이 정신 건강에 이롭다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러가지 테크닉[* X자, [[조립제법]], 더하고 빼기 등등]을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 알 듯이 인수분해는 고등학교 수학 및 [[대수학]] 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다. 물론 중고등학교 수학들이 다 그렇지만... 이름이 비슷한 것으로, 합성수를 소수의 곱으로 고치는 [[소인수분해]]가 있다. 인수분해와 방법은 다르지만, 수학적인 의미는 같다고 볼 수 있다. 실제로 인수분해의 [[대수학]]적 의의는 합성수를 소수의 곱으로 고치는 것처럼 다항식을 기약다항식의 곱으로 고치는 것이다. 배수와 약수, 인수분해의 성질이 수나 [[다항식]]에서나 똑같이 성립한다는 것은 꽤나 중요한 사실이고, 중등교육에서 암묵적으로 사용되지만 정확히 언급되지는 않는 내용. 실제로 산술의 기본정리와 [[대수학의 기본정리]]의 따름정리는 꽤나 닮아있다. 인수분해에 염증을 느끼지만 수학에 흥미를 느끼고 싶은 학생들에게 팁을 몇 가지 주자면, [[대수학의 기본정리]]에 따라서 모든 다항식은 복소수범위 내에서 인수분해를 할 수 있는데, 그래서 진짜로 '''복소수 범위에서 인수분해를 하면 상당히 흥미로운 결과가 나온다.''' 당장 저 인수분해 8번 공식이 [[삼차방정식]]의 근의 공식 유도에 중요한 역할을 하게 된다.[* 사실, 저거랑 2차방정식의 근의 공식, 2차식을 없애는 치환만 있으면 일반적인 삼차방정식의 근의 공식을 유도할 수 있다! y, z를 상수로 생각하면 몇 분 고생한 후 답을 알 수 있게 된다.][* 밑에 있는 대칭식, 교대식과 이 사실을 비교해보면 '''대칭'''이라는 성질이 조금 느껴질 것이다. 이 성질이 고급 [[대수학]]에서 핵심적인 역할을 하며 그때는 인수분해를 다른 눈에서 볼 수 있게 된다.] 고등학교 1학년에서 미지수가 3개인 이차식, 3차, 4차식의 인수분해 공식이 나온다. == 조립제법 == 영어로는 synthetic division이라고 하는, 아주 유용한 인수분해 방법. 정확하게는 [[다항식]]의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만 인수분해에서도 쓸 수 있다. 특히 인수분해 공식(삼차 이상)을 잊어버렸거나 어떤 공식인지 파악할 수 없을 때 쓰면 유용하다. 단, 식을 0으로 만드는 값을 대입해서 찾아야 한다는 점이 무척 귀찮게 느껴질 수 있다. 또한 나누는 식이 이차식 이상일 때에도 쓸 수 있다. [math(n)]차 다항식 [math(F\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n)]를 일차식[math(\left(x-\alpha\right))]로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 [math(\left(n-1\right))]차식, 나머지는 상수항이 된다 ([math(=R)]). 이를 식으로 나타내면, [math(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n)=\left(x-\alpha\right)\left(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1}\right)+R)]이 된다. 이 등식은 [[항등식]]이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 [math(b_i, \, \left(i=0,1,\cdots,n-1\right))]에 관해 풀면, [math(b_0=a_0,b_1=a_1+b_0\alpha=a_1+a_0\alpha,\cdots,b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-2}\alpha=a_{n-1}+a_{n-2}\alpha+\cdots+a_0\alpha^{n-1},R=a_n+b_{n-1}\alpha=a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots+a_0\alpha^n)]이 된다. 여기서 나머지 [math(R)]을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다. [[파일:16Jh12F.png|bgcolor=#FFF]] [* 그림은 [math(x^3+x-2)]에 대해 조립제법을 쓴 경우] 여기서 문제는 방정식의 근([math(=\alpha)])을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해선 다음의 유용한 정리를 이용해 가능한 유리근의 후보를 추릴 수 있다. > '''유리근 정리'''(rational root theorem) > 정수계수 다항식 [math(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)], [math(a_n, a_0 \neq 0)]가 유리수 근 [math(r = p/q)] ([math(p,q \in \mathbb{Z}, \mathrm{gcd}(p,q)=1)])을 가지면, [math(q)]는 [math(a_n)]의 약수, [math(p)]는 [math(a_0)]의 약수이다. 증명은 다음과 같다. 식 [math(q^n f(p/q) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_0 q^n = 0)]의 항 중 [math(a_0 q^n)]을 제외하면 모두 [math(p)]로 나누어떨어지므로, [math(a_0 q^n)]도 [math(p)]의 배수여야 하는데, [math(p,q)]가 서로소이므로 [math(p \vert a_0)]. 마찬가지로 [math(q \vert a_n)]에 대해서도 비슷하게 진행하면 된다. 2009년 [[한국어 위키백과]] 에서는 [[만우절]]에 어떤 유저가 조립제법을 조립제(...)라는 수학자가 만들었다고 서술했다가 논란이 되었다. 2020년 만우절에도 그러한 반달이 일어났다. 하긴, 비슷한 이름의 [[조갑제]]도 있으니 사람 이름처럼 느껴질 법도 하다. === 2차식 이상에 대한 조립제법 === 다음 그림을 보자. [[파일:2차식 조립제법.png|bgcolor=#FFF]] 2차식 이상으로 나눌 때에는 (최고차항의 계수가 1일 때) 최고차항을 빼고 나머지 항의 계수를 대각선으로 적는다. 곱해서 위로 올릴 때에도 대각선으로 올린다(파란색 화살표). 더할 때는 한 열의 숫자를 모두 더한다(빨간색 화살표). ||<table width=100%>'''[연습문제]''' ----- [math(x^5 - 6x^4 - x^2 - 70)]을 [math(x^3 + 2x + 1)]로 나누었을 때 몫과 나머지를 조립제법으로 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- [[파일:3차식 조립제법_연습문제.png|bgcolor=#FFF]] 다음 그림처럼 쓸 수 있으며, 따라서 몫은 [math(x^2 - 6x - 2)], 나머지는 [math(10x^2 + 10x - 68)]이다. }}} == 대수학에서의 인수분해 스킬 == 교과과정에는 소개되지 않지만 다항식에 대한 이해가 깊어질수록 써먹을 수 있는 은근히 다양한 기술들이 있다. * 한 변수에 대한 다항식 특정 변수에 대해 1변수 다항식으로 정리하거나, 꼭 정리하지 않더라도 다양한 사고방식을 활용할 수 있다. 예를 들어 다항식 [math(F(x,y,z))]가 [math(F(x,y,y)=0)]을 만족한다고 하자. [math(z)]에 대한 다항식으로 볼 때 [[나머지 정리]]를 적용하면 [math(F)]는 [math(z-y)]를 인수로 가짐을 알 수 있다. [math(x^n-y^n)]에서 첫 번째 인수로 자연스럽게 [math(x-y)]을 떠올릴 수 있는 이유. * 동차식 모든 변수에 대한 총 차수가 같은 다항식을 동차다항식(homogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식의 인수는 동차다항식만이 가능하다. 예를 들어 [math(x^6 + x^3 y^3 + y^6)]을 인수분해했을 때 [math(x + y^2)] 같은 식이 인수로 들어갈 수 없다는 사실을 바로 알 수 있고, 이걸 잘 쓰면 인수로 가능한 범위를 꽤나 많이 줄일 수 있다. * [[대칭식]]과 [[교대식]] [[대칭식]]은 임의의 두 변수를 치환했을 때 불변하는 식으로, 대칭인 다항식인 대칭다항식의 인수는 항상 대칭적으로 나타난다. 즉 어떤 대칭식이 [math(x+y)]를 인수로 갖는다면 이는 [math(x+z, y+z)]도 인수로 가져야 한다. 대칭다항식의 기본정리[* 모든 대칭식을 기본 대칭다항식의 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다는 정리. 3변수일 경우 기본 대칭다항식은 [math(x+y+z, xy+yz+zx,xyz)] 이렇게 주어진다.]를 사용할 수도 있지만, 이걸 무작정 쓴다면 인수분해가 꼬이는 경우도 있다. [[교대식]]의 정의는 임의의 두 변수를 치환했을 때 식의 부호가 바뀌는 식이다. 3변수 교대식의 경우 [math((x-y)(y-z)(z-x))]을 인수로 갖고, 두 교대식의 비율은 대칭식이기 때문에, 모든 교대식은 대칭식과 저 인수의 곱으로 나타난다. 일반적 n변수의 경우 모든 [math(x_i - x_j)]들의 곱과 대칭다항식 부분으로 분해가 된다. 예를 들어 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))]는 동차 교대식이고 따라서 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수를 갖고, 남은 부분은 일차 동차인 대칭식이므로 [math(c(x+y+z))] 꼴이다. [math(x^3 y)]의 계수를 비교하면 [math(c=-1)]이므로, [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z))]가 성립한다. * 정수계수 인수분해 > '''가우스 보조정리'''(Gauss' lemma) [* 대수학 과정에서는 정수계수에 국한되지 않은 좀더 일반적인 서술로 변경된다.] > 정수계수 다항식이 유리계수 다항식 둘로 [math(f=ab)]처럼 인수분해될 때, 적절한 유리수 [math(c)]가 존재해 [math(A=ca, B(x)=c^{-1}a)]가 정수계수 다항식이 되게 할 수 있다. 즉 다항식이 유리계수 위에서 인수분해되면 정수계수 위에서 인수분해 가능하고, 이는 심지어 다변수에 대해서도 성립한다. 상술한 유리근 정리의 상당한 일반화로 볼 수 있다. 이 정리의 증명은 현대대수학 수준이라 당연히 교과과정 외이지만, '''정수계수만 인수로 생각해도 충분하다'''는 것을 보장해 주는 --꼼수--안전장치로 받아들이면 괜찮다. * 기약다항식 판정법 교과과정에서는 웬만하면 풀리는 인수분해를 내주지만, 보다 고급 과정에선 인수분해가 더 이상 불가능함을 증명하라는 상황이 등장하기도 한다. 인수분해가 불가능한 다항식을 '''기약 다항식'''(irreducible polynomial)이라 하는데, [[정수론]]에 어느 정도 지식이 있으면 이 기약다항식 판정에 막무가내 미정계수법으로 인수분해의 불가능성을 보이는 것보다 세련된 방법을 몇 가지 동원할 수 있다. 그 중 대표적인 것으로, > '''아이젠슈타인 판별법'''(Eisenstein's criterion) > 정수계수 다항식 [math(x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)]의 계수들이 소수 [math(p)]에 대해 다음 두 조건 [math(p \vert a_i)], [math(p^2 \nmid a_0)]을 만족시키면, 그 다항식은 기약다항식이다. 예를 들어서 [math(x^4 -3x^3 + 9x + 21)]는 [math(p=3)]에 대해 이 판별법을 만족시키므로 기약이다. 꼭 원래 다항식이 이걸 만족시키지 않더라도, [math(f(k))]가 소수가 되는 정수 [math(k)]를 찾을 수 있으면 아이젠슈타인 판별법을 [math(f(x+k))]에 대해 시도해볼 만하다. 예를 들어 소수 [math(p)]에 대해 다항식 [math(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + 1)]은 [math(x=y+1)]을 대입하면 아이젠슈타인 판별법으로 기약임을 보일 수 있다. 한편 원래 다항식이 인수분해가 된다면, [[합동식]]을 적용해서 소수 법으로 보았을 때도 인수분해가 되어야 한다. 따라서 합동식을 썼을 때 그 법 위에서 기약이 되는 소수를 찾거나, 아니면 2개 이상의 소수 법에 대한 인수분해 결과를 대조해서 모순을 이끌어내는 테크닉도 사용이 가능하다. --더 나아가서 [[갈루아 이론]]까지 가면 인수분해의 궁극기술을 터득할 수 있다 [[카더라]](...)-- 결국에 인수분해는 방정식을 일반적으로 푸는 것과 밀접한 관련이 있고, 따라서 대수학의 시대가 바뀔 때마다 새로운 방향으로 연구되어 왔다. 아직도 새로운 방법이 남아 있을지도 모른다. == 관련 문서 == * [[대수학의 기본 정리]] * [[곱셈 공식]] * [[다항식]] * [[나머지 정리]] * [[소인수분해]] [[분류:대수학]]