[[분류:초등함수]][[분류:한자어]][[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 rational function · [[有]][[理]][[函]][[數]]}}} 유리함수는 [[다항식]]을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 [[대수함수]]다. [[상수]]만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 [[다항함수]]도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 [[분수(수학)|분수]]함수라고도 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(x)=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}})]}}} 여기서 [math(a_{k})], [math(b_{k})]는 상수이다. 유리함수의 [[0으로 나누기|분모가 0이 되는 [math(x)]값]]이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 [[잘 정의됨|잘 정의되지 않아]] 함수가 아니게 되기 때문. 이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다. * '''일반형''': [math(y=\dfrac{cx+d}{ax+b})] (단, [math(a\neq 0,\;ax+b\neq 0,\;ad\neq bc)]) * '''표준형''': [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0,\;p\neq 0)]) 분모가 0이 될 수 없으므로 [math(ax+b\neq 0,\;p\neq 0)]이어야 한다. 한편, [math(k=0)]이면 [math(y=q)]라는 [[상수함수]]가 되고, [math(a=0)]이면 [math(y={(cx+d)}/{b})]라는 [[일차함수]]가 되고, [math(ad=bc)]이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가, [math(c=d=0)]인 경우 [math(y=0)]이라는 상수함수가 되는데 이는 마침 [math(ad=bc)]의 [[충분조건]]이므로 따로 기술할 필요가 없다. == [[정의역]]과 [[치역]] == === 일반형 === 유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우 [math(ax+b\neq 0)]이어야 하므로 정의역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \neq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} )]}}} 를 만족시켜야 하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\cfrac {ad-\dfrac{bc}{a^2}}{x+\dfrac{b}{a}}+\dfrac{c}{a} \end{aligned})]}}} 에서 [math( ad-(bc)/a^2\neq 0)]이므로 치역은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{ f(x) \biggl. \biggr|f(x) \neq \dfrac{c}{a},\,f(x) \in \mathbb{R} \right\} )]}}} === 표준형 === 유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우 [math(p\neq 0)]이어야 하므로 정의역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \{ x |x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} )]}}} 를 만족시켜야 하고, [math(k\neq 0)]이므로 치역은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \neq q,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]}}} == 그래프 == {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0,\;p\neq 0)])}}} 의 그래프의 성질은 다음과 같다. * '''[[쌍곡선|한 쌍의 매끄러운 곡선]]'''[* 실제로 [[쌍곡선#s-2.2|회전변환]]을 통해 쌍곡선의 표준형 [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1)] 로 변형할 수 있다.]으로 그려진다. * [math(k>0)]이면 우상단과 좌하단에 그려진다. * [math(k<0)]이면 좌상단과 우하단에 그려진다. * 직선 [math(x=p)], [math(y=q)]와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 '''[[점근선]]'''이라 한다. * [math(|k|)]가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다. * 점 [math((p,\,q))]에 대하여 대칭이다. * 직선 [math(y=(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다. * 직선 [math(y=-(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다. [[파일:namu_유리함수_그래프.png|width=170&align=center]] === 대칭이동·평행이동 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0,\;p\neq 0)])}}} 의 그래프는 [math(y={k}/{x})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y={k}/{x})]를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다. * [math(y=-\dfrac{k}{x})] * [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축([math(y)]축)에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] * [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] * [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq q,\,y \in \mathbb{R} \} )] ==== [[역함수]] ==== 유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math( \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{cx+d}{ax+b} \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{-bx+d}{ax-c} \quad (-bx+d\neq 0,\;ad\neq bc,\, a \neq 0) \\ f(x)&=\dfrac{k}{x-p}+q \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{k}{x-q}+p \quad (x\neq q) \end{aligned} )] }}} 유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, '''점근선의 교점이 직선 [math(y=x)]에 대칭이라는 관계가 있다.''' 다시 말해서 원래 함수의 점근선이 [math(x=p)] 및 [math(y=q)]이면, 역함수의 점근선은 [math(x=q)] 및 [math(y=p)]이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선 [math(y=x)]에 대하여 대칭이 된다. === [[점근선]] === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0,\;p\neq 0)])}}} 의 점근선 [math(x=p)]와 [math(y=q)]의 보다 자세한 성질은 다음과 같다. * 두 점근선의 교점 [math((p,\,q))]에 대하여 * [math((p,\,q))]를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, [math(k)]와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. [math(k>0)]이면 -1이고 [math(k<0)]이면 1이다. * 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다. 위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선 [math(l: y=(x-p)+q)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\begin{aligned}\dfrac{k}{x-p}+q&=(x-p)+q\\\dfrac{k}{x-p}&=x-p\\k&=(x-p)^2\\\therefore x&=\sqrt k+p\end{aligned})]}}} 두 그래프의 교점의 [math(x)]좌표 [math(x=\sqrt k+p)]를 도함수 문단을 참고하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f'(x)=-\dfrac{k}{(x-p)^2})]}}} 에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(-\dfrac{k}{(\sqrt k+p-p)^2}=-\dfrac{k}{k}=-1)]}}} 따라서 [math(k>0)]이면 [math(f(x))]와 [math(l)]의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로, [math(k<0)]이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다. ==== [[극한]] ==== {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{k}{x-p}+q)]}}} 의 극한은 점근선과 관련이 있다. * '''일반형''' * [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{c}{a})] * 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=\dfrac{c}{a})]에 한없이 가까워짐 * '''표준형''' * [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{k}{x-p}+q=q)] * 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=q)]에 한없이 가까워짐 한편, 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다. * '''일반형''' * [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-by+d}{ay-c}=-\dfrac{b}{a})] * 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=-\dfrac{b}{a})]에 한없이 가까워짐 * '''표준형''' * [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{k}{y-q}+p=p)] * 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=p)]에 한없이 가까워짐 == [[부분분수분해]] == 유리함수는 다음을 만족하는 유리함수 [math( p(x)/\{q(x)\}^{n})]들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다. *[math( q(x))]는 일차함수이거나, 기약[* [[인수분해]]가 되지 않는] 이차함수이다. *[math( p(x))]의 차수는 [math( q(x))]의 차수보다 작다. [include(틀:상세 내용, 문서명=부분분수분해)] == 오개념: [[연속함수|연속성]] == 많은 학생들이 가지고 있는 오개념으로는, '분모가 [math(0)]인 [math( x)]가 존재하는 유리함수는 실수 위에서 불연속이다'가 있다. 그러나, 그런 유리함수를 실수 위에서 정의하면, 함수 자체가 될 수 없으므로, 분모가 [math(0)]인 [math( x)]를 고려할 필요가 없다. 다른 초등함수와 마찬가지로, 유리함수는 항상 [[연속함수]]이다.[* 학교 선생님들도 간혹 잘못 알고 있는 경우가 있는데, 고등학교 교육과정 상, 극한과 연속의 정의를 두루뭉술하게 하고 넘어가므로, 이를 가지고 싸울 필요가 없다. 고등학생들의 연속함수에 대한 오개념에 대해서는 [[https://www.earticle.net/Article/A187925|논문]]을 참조하자.] == [[도함수]] == ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [[몫미분|[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2})]]] || 이므로, 일반형의 경우 [math(f(x)=cx+d,\, g(x)=ax+b)]라고 하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{cx+d}{ax+b} = \dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2})] || 표준형의 경우 [math(f(x)=k,\,g(x)=x-p)]라고 하면 [math(q)]는 상수이므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\dfrac{k}{x-p}+q\right)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{k}{x-p}=-\dfrac{k}{(x-p)^2})]}}} 여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다. * '''일반형''' * [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0)] * 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴 * '''표준형''' * [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(x-p)^2}=0)] * 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴 나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다. * '''일반형''' * [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0)] * 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[* [math(y)]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.] * '''표준형''' * [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(y-q)^2}=0)] * 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[* [math(y)]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.] == [[역도함수]] == 다음과 같이 [[조각적 정의|조각적으로 정의]]된 함수를 생각해보자. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(f(x)=\begin{cases}\ln x +C& \quad (x>0)\\ \ln\, (-x)+D &\quad(x<0) \end{cases})] || 이때, [math(f)]의 도함수는 [math(f'(x)=x^{-1})]로 계산된다. 즉, [[0으로 나누기|분모가 [math(0)]인 [math(x)]]]가 존재하는 유리함수의 경우, 부정적분이 [[조각적 정의|조각적으로 정의]]되는 함수가 되는데, 정의역이 서로소인 두 개 이상의 열린구간의 합집합이기 때문이다.[* 하지만, 정의역 전체에서 생각해야하는 경우가 거의 없으므로 대부분 신경 안 쓰는 편. 부정적분을 활용하는 대표적인 예로는, [[정적분]]을 계산하는 것인데, 이 경우에도 [[유계|정의역에 포함되는 닫힌구간]]에서만 생각하는 것이다.] 정의역을 열린구간으로 한정한 경우, 위 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,{\rm d}x=\ln{|x|}+ {\sf const.})] || === 특수한 경우 === * [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x+a)^{n+1}}=-\dfrac{1}{n(x+a)^{n}}+C\quad (n\in\mathbb{N}))] * [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x+a}=\ln |x+a|+C)] * [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{|x|}= {\rm sgn}\,x \ln |x| + C)][* [math({\rm sgn})]은 [[부호 함수]]이다.] * [[역삼각함수|[math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = \arctan x + C)]]] * [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x^2+a^2}= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C)] * [math(\displaystyle \int \frac{x^2 -1}{x^2 +1}{\rm d}x = x - 2\arctan x + C)] * [[역삼각함수|[math(\displaystyle \int -\frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = {\rm arccot}\, x + C)]]] * [[역쌍곡선함수|[math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{-x^2 +1} = \begin{cases}{\rm arcoth}\,x +C&{\sf if}\;\;|x|>1\\ {\rm artanh}\,x+C&{\sf if}\;\;|x|<1 \end{cases})]]] * [math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{\mp x^2 \pm a^2} = \begin{cases}\pm \dfrac{1}{a}{\rm arcoth}\,\dfrac{x}{a} +C& \quad (|x|>1)\\ \\ \pm \dfrac{1}{a}{\rm artanh}\,\dfrac{x}{a}+C&\quad (|x|<1) \end{cases})] * [math(\displaystyle \int \frac{-x^2 -1}{-x^2 +1}{\rm d}x = \begin{cases}{x - 2\,\rm arcoth}\,x +C&\quad (|x|>1)\\ x-2\,{\rm artanh}\,x+C&\quad (|x|<1) \end{cases})] * [math( \displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}{\rm d}x=\ln |f(x)|+C)] (단, [math(f(x))]는 다항식) * [math( A_{n}=\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}})]이면, [[점화식]] [math( A_{n+1}=\dfrac{1}{2na^{2}}\left\{\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)A_{n}\right\})]이 성립한다. (단, [math( n\in\mathbb{N})]이고, [math( a\neq 0)]) (단, [math(C)]는 적분 상수이다.) === 일반적인 경우 === 주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단, [math( n\in\mathbb{N})], [math( b\neq 0)]) 1. [[다항함수]] 1. [math( \dfrac{1}{(x-a)^{n}})] 1. [math( \dfrac{x-a}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})] 1. [math( \dfrac{1}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})] 1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서 [math( A_{n})]의 [[점화식]]을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다. == 기타 == * [[중학교 수학]]에서 [[비례·반비례|정비례와 반비례]]를 다루면서 처음 접하게 된다. * [[고등학교]] 교육과정상 [[수학(2015)|수학]]의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 [[미적분(2015)|미적분]]에서는 [[몫미분|몫의 미분법]]을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다. * 미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[* 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.], 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 [[노가다(수학)|계산 노가다]]가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 [[초등함수]][* 가령, [[무리함수]]의 일부 꼴은 [[타원/타원 적분|타원적분]]을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.]와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다. 따라서 [[울프램알파]] 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, [[리시 방법|알고리즘]]을 이용해서 계산한다. * [[조화수열]]은 [[자연수]]만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다. * [[푸리에 변환]]을 하면 [[부호 함수]]를 얻을 수 있다. [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=유리수, version=111, paragraph=5)]