[include(틀:기하학·위상수학)] 위상공간(topological space, 位相空間) [목차] == 개요 == 위상 공간은 [[위상수학]]에서 다루는 대상으로, [[집합]]만 주어지면 만들 수 있는 아주 일반적인 개념이다.[* 심지어 소수의 무한성에 대한 위상수학적 증명이 있을 정도이다.] 그러나 실제로 응용할 때에는, 여러 가지 [[공리]]들을 더 추가하여 쓴다. 달리 말해, 최소한의 공리만으로는 아주 쓸모 없다. == 정의 == 집합 [math(X)]의 부분집합들의 모임 [math(\mathcal{T})]가 다음의 공리들을 만족할 때, 이를 위상공간이라고 한다. > * [math(\emptyset,\,X\in \mathcal{T})] > * [math(\left\{A_{\alpha}:\alpha\in I\right\}\subset \mathcal{T})]에 대해, [math({\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}}\in \mathcal{T})] > * [math(A,\,B\in \mathcal{T})]에 대해, [math(A\cap B\in \mathcal{T})]이다. →세번째 조건은 이렇게 바꿀 수도 있다. > * 임의의 유한개의 [math(A_{\alpha}\in\mathcal{T}\left(\alpha\in\left\{1,2,3,...,m\right\}\right))]에 대하여, [math({\displaystyle \bigcap_{\alpha=1}^{m}A_{\alpha}\in\mathcal{T}})] 예를 들어, 집합 [math(X)]에 대해, * [math(\left\{\emptyset,X\right\})]은 위상 공간이다.이 위상 공간을 비이산 위상(Indiscrete topology)이라고 한다. * [math(X)]의 부분집합을 모두 모으면 위상 공간이다. 이 위상 공간을 이산 위상(Discrete topology)이라고 한다. 여기서 [math(\mathcal{T})]를 위상 또는 위상 구조(topology[* 영어로 보면 '위상수학'과 같은 단어이다. 이는 'geometry'라고 했을 때 '기하학'이라는 학문을 의미하기도 하지만 '기하학적 형태'를 의미하기도 하는 점을 생각하면 된다.])이라 한다. 그리고 [math(\mathcal{T})]의 원소들을 열린 집합(open set)이라 한다. 그리고 [math(U\in \mathcal{T})]에 대해, [math(U^{c})]를 닫힌 집합(closed set)이라 한다. 즉, 위상공간이란 임의의 전체집합에서의 열린 집합의 정의이며, 실수를 넘어 어떤 집합에서든 열린집합을 정의할 수 있도록 하는 도구로 생각하면 된다. 주의할 것은 열린 집합인 동시에 닫힌 집합(= '''열린닫힌집합''', clopen set)일 수도 있고 열린 집합도 아니고 닫힌 집합이 아닐 수도 있다. 예를 들면 정의상 [[전체집합]]과 [[공집합]]은 항상 열린 집합인 동시에 닫힌 열린닫힌집합(clopen set) 이고, 실수선에서의 보편적인 위상에 대해 [0,1)은 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 집합이다. [[해석학(수학)|해석학]]의 열린 집합, 닫힌 집합 개념은 [[위상수학]]에서의 열린 집합, 닫힌 집합의 특수한 경우이므로, 비교해보는 것이 위상 공간의 개념과 여러 공리들의 이해에 도움이 될 수 있다. 다만, 해석학에서 다루는 [[실수]] 공간은 조건이 너무 좋은 위상 공간이라서 서로 다른 개념을 구분하는 것에는 실패할 수도 있다. == 기저와 부분기저 == [math(X)]의 부분 집합들의 모임 [math(\mathcal{B})]가 기저(basis)라 함은 다음을 만족하는 것이다. > * [math(\bigcup \mathcal{B}=X)] > * [math(U,\,V\in \mathcal{B})], [math(a\in U\cap V)]에 대해 [math(W\in \mathcal{B})]가 존재하여 [math(a\in W\subset U\cap V)]이다. 이는 다음과 동치이다. 이 정의가 보통의 기저의 정의와 직관적으로 더 유사하기에 이를 정의로 쓰기도 한다. > * [math(\mathcal{T}=\left\{\bigcup \mathcal{U}:\mathcal{U}\subset \mathcal{B} \right\})][* [math(\bigcup \mathcal{U}=\bigcup_{W\in \mathcal{U}} W)]. [math(\mathcal{U})]의 모든 원소들의 합집합.]가 위상이다. [math(X)]의 부분 집합들의 모임 [math(\mathcal{S})]가 부분기저(subbasis)라 함은 다음을 만족하는 것이다. > * [math(\left\{{\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}}U_{i}:U_{i}\in \mathcal{S}\right\})]가 기저이다. 부분기저가 주어지면 유한 교집합을 통해, 기저를 만들고 기저의 임의의 합집합을 통해 위상을 만들 수 있다. 실수의 보통 위상은 [math(\left\{ \left(a,\, b\right):a<b\right\} )]을 기저로 갖고, [math(\left\{ \left(a,\,+\infty\right):a\in R\right\} \cup\left\{ \left(-\infty,\, a\right):a\in R\right\} )]을 부분기저로 갖는다. "임의의 열린 집합"이란 말을 "기저의 임의의 원소"로 바꿔도 성립한다. 부분기저로는 수렴과 연속 정도만 판정할 수 있다. 이 때문에 기저와 부분기저 개념이 의미가 있는 것이다. == 연속함수 == 위상 공간 [math(X, Y)]와 함수 [math(f:X\to Y)]에 대해 임의의 [math(Y)]의 열린 집합 [math(U)]의 역상(inverse image)이 [math(X)]의 열린 집합일 때, [math(f)]를 연속함수라고 한다. [[엡실론-델타 논법|[math(ε-δ)] 논법]]을 이용한 [[실수]]에서 실수로의 연속성의 정의는 위의 정의의 특수한 경우라는 것을 쉽게 알 수 있다. === 위상동형사상(Homeomorphism) === 위상 공간 [math(X, Y)]가 위상동형사상 관계(homeomorphic)에 있다는 것은 [math(f:X\to Y)]가 존재하여 아래의 조건들을 만족한다는 것이며 이 때 함수 [math(f)]를 위상동형사상이라 한다. > * [math(f)]가 전단사(bijection) > * [math(f)]가 연속함수 > * [math(f^{-1})]가 연속함수 [[연속함수]]가 열린 집합의 역상을 열린함수로 보내는 함수이므로 위상동형사상은 함수 자신과 그 역함수가 모두 열린 집합을 열린 집합으로 보내고 이는 닫힌 집합에 대해서도 마찬가지다. 이 때문에 [math(X)]와 [math(Y)]의 열린 집합 사이에도 일대일대응이 생기게 되고 X와 Y는 열린 집합을 바탕으로 정의되는 모든 위상적 성질이 완전히 동일한 대상이 되는 것이다. 따라서 어떤 두 위상공간이 위상동형관계에 있다는 것을 보일 수 있다면 한 쪽에 대해서 분석함으로서 반대 쪽에 대해 완벽히 같은 사실이 성립한다는 사실을 할 수 있다. 흔히 [[도넛]]과 [[컵]]이 [[찰흙]]으로 --쪼물딱쪼물딱해서--찌그러트리면 같아진다는 것은 둘이 이 위상동형관계에 있다는 사실을 의미한다. == 내부, 폐포, 경계, 극한점 == 부분 집합 [math(A\subset X)]에 대해 다음을 다음과 같이 정의한다. 위상이 [math(\mathcal{T})]로 주어졌다고 하자. * '''내부(interior)'''[br][math(A^{\circ}:=\bigcup\left\{ U\in \mathcal{T}:U\subset A\right\} )][br]위상공간의 정의에 따라서 이는 열린 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]에 포함되는 열린 부분집합 중 가장 큰 것이다. 정의에 따라서, [math(a\in A^{\circ}\leftrightarrow \exists a\in U\in \mathcal{T} \quad U\subset A)]이다. [math(a\in A^{\circ})]를 __'''내점'''__이라 한다.[br]책에 따라 [math(\mathrm{Int}A)]라는 표기를 쓰기도 한다. * '''폐포(closure)'''[br][math(\overline{A}:=\bigcap\left\{ F\supset_{\text{closed}}A\right\} )][br]위상공간의 정의에 따라서 이는 닫힌 집합이다. 그리고, 이는 [math(A)]를 포함하는 닫힌 집합(supserset) 중 가장 작은 것이다. 정의에 따라서, [math(a\in \overline{A}\leftrightarrow \forall a\in F\subset_{\text{closed}} \quad F\cap A\ne \emptyset)]이다. * '''경계(boundary)'''[br][math(\partial A:=\left\{ a\in X:\exists U\in \mathcal{T}, a\in U,U\cap A\ne\emptyset,\, U\cap A^{c}\ne\emptyset\right\} )][* 왜 편미분 연산 기호인 [math(\partial)]을 사용했는지는, 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 통해 알 수 있다. ] * ''' 집적점(accumulation point), 극한점(limit point), 폐포점(closure point)''' 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 κ개 이상의 점들을 공유하는 점이다. [math(x)]가 [math(A)]의 집적점이라 함은 [math(x)]를 포함하는 임의의 열린집합 [math(U)]에 대하여 [math((U- \left\{ x \right\})\cap A\ne \emptyset )]를 만족하는 것이다. 그 때, κ=2가 되는 2-집적점이 '''극한점'''이고, κ=1이 되는 1-집적점이 '''폐포점'''이다. * '''유도집합(derived set)''' : 극한점(limit point, accumulation point)들의 모임[br][math(A':=\left\{ a\in X:\forall U\in \mathcal{T}\quad\left\{ a\right\} \subsetneq U\cap A\right\} )] 다음의 성질들이 성립한다. > * [math(\overline{A}^{c}=\left(A^{c}\right)^{\circ})] > * [math(\overline{\overline{A}}=\overline{A})] > * [math(\left(A^{\circ}\right)^{\circ}=A^{\circ})] > * [math(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B})] > * [math(\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B})][br][math(\overline{\left(0,\,1\right)\cap \left(1,\,2\right)}=\emptyset \subsetneq\left\{1\right\}=\overline{\left(0,\,1\right)}\cap\overline{\left(1,\,2\right)})] > * [math(\bigcup\overline{A_{\alpha}}\subset\overline{\bigcup A_{\alpha}})][br][math({\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\overline{\left[n^{-1},\,1\right]}=\left(0,\,1\right]\subsetneq\left[0,1\right]=\overline{{\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\left[n^{-1},\,1\right]})] > * [math(A^{\circ}\cap\partial A=\emptyset, \overline{A}=A^{\circ}\cup\partial A)] > * [math(\partial A=\emptyset\leftrightarrow\overline{A}=A=A^{\circ})] == 곱공간 == 위상 공간들의 모임 [math(\left\{X_{\alpha}:\alpha\in I\right\})]를 생각하자. [math(\left\{X_{\alpha}\right\})]의 위상을 보존하면서 [math({\displaystyle \prod_{\alpha\in I}})]에 줄 수 있는 위상은 두 가지가 있다. 사영함수(prohjection) [math(\pi_{\beta}:{\displaystyle \prod_{\alpha\in I}}X_{\alpha}\to X_{\beta})]를 [math(\pi_{\beta}\left(\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in I}\right)=x_{\beta})]로 정의한다. > * 상자 위상[br][math(\left\{ \prod U_{\alpha}:U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} )]를 기저로 하는 위상. > * 곱위상[br][math(\left\{ \pi_{\alpha}^{-1}\left(U_{\alpha}\right):U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} )]를 부분기저로 하는 위상. 곱위상은 [math(\pi_{\beta})]를 연속함수로 만드는 가장 약한 위상이다. 위상공간의 유한곱에서는 곱 위상과 상자 위상이 같다. 그러나 무한곱에서는 그렇지 않고, 상자 위상이 더 강한 위상이다.. 예를 들어, [math(R^{\omega})]의 부분집합 [math({\displaystyle \prod_{i\in N}}\left(0,1\right))]은 상자 위상에서 열린 집합이지만, 곱 위상에서는 그렇지 않다. == 공리 == 최소한의 공리에 분리성, 가산성(counterablity), 콤팩트성(compactness)에 대한 공리들을 추가하여 더 좋은 공간을 구분해보자. [math(X)]의 위상이 [math(T)]로 주어졌다고 하자. === 분리 공리들 === 분리 공리는 서로 겹치지 않는 두 집합을 얼마나 잘 분리해낼 수 있는 지에 대한 공리이다. [math(\text{T})]의 아랫첨자로 수를 넣어 구분하며, 더 잘 분리해낼 수록 높은 수가 주어진다. 이하에서 [math(A\perp B)]은 [math(A\cap B=\emptyset)]을 뜻하며, [math(\left\{a\right\}\perp B)]를 [math(a\perp B)]와 같이 적기로 한다. ==== T₁ 공간 ==== >서로 다른 두 점 [math(a,\,b\in X)]에 대해, [math(a\in U\subset_{\text{open}}X)], [math(b\in V\subset_{\text{open}}X)]가 존재하여 [math(a\notin V)], [math(b\notin U)]이다. ===== 성질 ===== 위상공간 [math(X)]가 [math(\text{T}_{1})]성을 만족하는 것은 [math(X)]에 포함된 임의의 한원소집합(singleton) [math(\{a\})]가 닫힌 집합인 것과 동치이며, 이는 해당 위상 공간이 쌍대 유한 위상(finite complement topology, cofinite topology)보다 섬세하다는 것과 동치이다. 후술할 [math(\text{T}_{3})], [math(\text{T}_{3\frac{1}{2}})], [math(\text{T}_{4})]가 [math(\text{T}_{1})]성을 전제로 하는 것은 한원소집합이 닫힌 집합임을 보장함으로써 [math(\text{T}_{4} \Rightarrow)][* 이 상관관계의 증명에는 우리손 보조정리(Urysohn's lemma)가 필요하다.][math(\text{T}_{3\frac{1}{2}} \Rightarrow \text{T}_{3} \Rightarrow \text{T}_{2} \Rightarrow \text{T}_{1})]의 상관관계를 명확하게 해 준다. ==== T₂ 공간 ==== 하우스도르프(Hausdorff) 공간이라 하기도 한다. 이 공리부터 쓸만한 위상공간이 된다. 콤팩트성 공리와 같이 쓰이면 아주 좋은 조건이 된다. 일반적으로는 유일성과 관련된 공간이다. [math(\text{T}_{2})]공간에서는 수렴하는 수열의 극한이 유일하게 존재한다. [math(\text{T}_{2})]공간이 아니라면 수렴값이 여러개인 수열도 존재한다. >서로 다른 두 점 [math(a,\,b\in X)]에 대해, [math(a\in U\subset_{\text{open}}X)], [math(b\in V\subset_{\text{open}}X)]가 존재하여 [math(U\perp V)]이다. ===== 성질 ===== 하우스도르프 공간에서는 연속함수에 관련된 정리 >하우스 도르프 공간으로 가는 두 연속함수가 정의역의 조밀집합에서의 함수값이 같으면 두 함수는 같다. 하우스도르프 공간을 공역으로 하는 연속함수는 조밀집합에서만 같음을 확인하면 두 함수가 같다는것을 보장받을 수 있다. 딱 보면 알겠지만, 실수에서 실수로 정의된 연속함수가 유리수점에서만 값이 같으면 서로 같은것을 보장받을 수 있는 것을 일반적인 위상공간까지 확장한 것이다. ==== T₃ 공간 ==== [math(\text{T}_{1})]성을 만족하는 위상공간 [math(X)]가 [math(\text{T}_{3})] 혹은 정칙(regular)라 함은, 다음을 만족하는 것이다. > [math(a\in X)], [math(B\subset_{\text{closed}} X)]에 대해, [math(a\perp B)]이면, [math(a\in U\subset_{\text{open}}X)], [math(B\subset V\subset_{\text{open}}X)]가 존재하여 [math(U\perp V)]이다. ===== 성질 ===== ==== T₃½ 공간 ==== [math(\text{T}_{1})]성을 만족하는 위상공간 [math(X)]가 [math(\text{T}_{3\frac{1}{2}})] 혹은 완전 정칙(completely regular)라 함은, 다음을 만족하는 것이다. > [math(a\in X)], [math(B\subset_{\text{closed}} X)]에 대해, [math(a\perp B)]이면, 연속함수 [math(f:X\to \left[0,\,1\right])]가 존재하여 [math(f\left(a\right)=0, f\left(B\right)=\left\{1\right\})]이다. ===== 성질 ===== ==== T₄ 공간 ==== [math(\text{T}_{1})]성을 만족하는 위상공간 [math(X)]가 [math(\text{T}_{4})] 혹은 정규(normal)라 함은, 다음을 만족하는 것이다. > [math(A,\,B\subset_{\text{closed}} X)]에 대해, [math(A\perp B)]이면, [math(A\subset U\subset_{\text{open}}X)], [math(B\subset V\subset_{\text{open}}X)]가 존재하여 [math(U\perp V)]이다. ===== 성질 ===== > * 우리손 보조정리(Urysohn Lemma)[br] >정규공간[math(X)]의 만나지 않는 두 닫힌 부분집합 [math(A)],[math(B)]에 대해, 연속함수가[math(h:X \to\mathbb{R})] 이 [math(h(x)=0(x\in A))] 이고[math(h(x)=1(x\in B))] 를 만족하는것이 존재한다. > * 티체의 확장정리(Tietze Extension Theorem)[br] >정규공간의 닫힌 집합에서 정의된 연속함수는 전체공간의 연속함수로 확장가능하다. === 가산성 공리들 === ==== 제 1가산 공리 ==== >모든 점에서 가산국소기저를 갖는다. ==== 제 2가산 공리 ==== '''가산 공간(counterable space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다. >가산기저를 갖는다. ==== 린될레프의 공리 ==== [math(X)]가 '''린될레프 공간(Lindelof space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다. >[math(O\subset T)]가 [math(K\subset\bigcup O)]이라면, [math(O)]의 '''가산''' 부분집합 [math(O')]이 존재하여 [math(K\subset\bigcup O')]이다. ==== 분리 가능성 공리 ==== [math(X)]가 '''분리 가능 공간(separable space)'''라 함은 다음을 만족하는 것이다. >'''가산''' 부분집합 [math(D\subset X)]가 존재하여[math(\overline{D}=X)] === 콤팩트성의 변형 공리들 === ==== [[콤팩트성|콤팩트(Compact)]] ==== 콤팩트 집합은 임의의 열린덮개가 '''유한''' 부분 열린덮개를 가지는 집합이다. 유한성 조건은, 열린 집합들의 유한 교집합이 열린 집합이라는 공리와 함께 쓰이는 경우가 많다. >[math(X)]의 위상이 [math(T)]로 주어졌다고 하자. [math(K\subset X)]가 콤팩트 집합라 함은 다음을 만족하는 것이다. [math(O\subset T)]가 [math(K\subset\bigcup O)]라 면, [math(O)]의 '''유한''' 부분집합 [math(O')]이 존재하여 [math(K\subset\bigcup O')]이다. 콤팩트 공간은, 자신이 콤팩트 집합인 공간이다. >[math(X)]가 콤팩트 집합일 때, [math(X)]는 콤팩트 공간이라 한다. ===== 관련된 정리들 ===== * 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma) >콤팩트 거리 공간 [math(X)]의 임의의 열린덮개 [math(O)]에 대해, [math(\delta>0)][* 이를 르베그 수라 한다.]이 존재하여 임의의 부분집합 [math(S\subset X)]의 직경[* [math(\text{diam}\left(S\right):=\sup\left\{ d\left(x,\, y\right):x,\, y\in X\right\} )]으로 정의한다. 여기서 [math(d)]는 거리함수이다. 간단히 말해서 집합 X의 두 점을 임의로 추출했을 때, 그 두 점이 가질 수 있는 최대거리의 상한을 의미.]이 [math(\delta)]보다 작으면 [math(U\in O)]가 존재하여 [math(S\subset U)]이다. ==== 점렬 콤팩트(sequentially compact) ==== >임의의 수열은 수렴하는 부분열을 갖는다. ==== 극한점 콤팩트(limit point compact) ==== >임의의 무한집합 [math(A\subset X)]는 극한점을 갖는다. ==== 국소 콤팩트(locally compact) ==== * 점에서의 국소 콤팩트 >[math(p\in X)]에서의 국소 콤팩트성[br]열린 집합 [math(U)], 콤팩트 집합 [math(K)]가 존재하여 [math(p\in U\subset K)]이다. * 전체에서의 국소 콤팩트 >임의의 [math(p\in X)]에서 국소 콤팩트면, [math(X)]는 국소 콤팩트이다. ==== 관련된 정리들 ==== * 하우스도르프 국소 콤팩트 공간에 한 점 [math(\infty)]을 추가하여 위상을 적절히 주면, 하우스도르프 콤팩트 공간이 되고 기존의 공간을 부분공간으로 갖는다. 이를 한점 콤팩트화(one point compactification)이라 한다. 이때 적절한 위상이란, locally compact space를 X라고 두면, 임의의 점 p를 추가해 Y = X U {p}라고 두자. 이때, Y공간의 위상을 (1) X에서 open set인 집합 (2) p를 포함하는 임의의 집합 O 중, Y - O 가 X에서 compact한 집합 으로 준다. 이때 Y를 one-point compactification of X라고 하며, 이 공간은 자명하게 compact하다 ( 임의의 오픈 커버에 대해서 p 포함하는 오픈셋 하나 아무거나 잡으면, 남은 집합이 콤팩트니까 그걸 유한개로 채우면 끝) 간단한 예를 들어, 실수공간에서 한 점을 추가하면 그 공간은 2차원 공간에서의 단위원(S1, x^2 + y^2 = 1) 과 위상동형(homeomorphic)이다. 아주 직관적으로는 R이랑 open interval이랑 같은데 그 open interval을 고리모양으로 원처럼 말아넣고, 끝에 한점 찍어서 원으로 만드는거랑 비슷하다. 비슷하게, 2차원 실수공간은 3차원 공간에서 단위구와 동치이며, 모든 n에 대해 그 성질이 성립한다. 대충, n+1차원 공간에서 (0,0,...,0,1)에서 n차원 공간으로 n+1차원 구면상의 자기자신을 제외한 다른 점과 직선으로 연결한 다음에, 그 점 끝이 n차원 공간과 만나는 지점을 잡아주면 homeomorphism을 잡을 수 있다. 그니까, n차원 공간의 모든 무한대를 하나로 묶어서 n+1차원으로 만든 셈. stereographic projection을 구글링해보면 더 자세한 이야기를 들을 수 있다. compact하지 않은 공간을 compact하게 만드는 방법에는 이외에도 여러 가지가 있다. one point는 그 중 minimal 한 방법으로, 최소한의 점을 추가해 공간을 compact하게 만드는 것. 이외에도, Stone - Cech compactification 등 여러 가지 정리가 있다. * 거리 공간에서 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성은 모두 동치이다. 거리공간이 아닌 경우 반례가 종종 성립하는데, 위상수학을 공부하는 학생이라면 이 반례들을 제대로 외워두길 바란다. 보통 자주 나오는 예시는, I^I(I = [0,1] 에 대해 I로 product를 건 것, 즉, f : [0,1] → [0,1] 인 함수공간, topology는 product topology) 와 같은 것들이다. === 포함 관계 === == [[연결 공간]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=연결 공간)] == 예시 == 단순히 '위상 공간'이라는 것만으로 다룰 수 있는 것들은 한정되어 있다. 그렇기 때문에 조금 더 특수하고 추가적인 구조를 가지고 있는 예시들이 자주 쓰인다. === 거리 공간 === 집합 [math(X)]의 [[삼각부등식#s-2|거리함수]] [math(d)]를 생각하자. [math(x\in X)], 실수 [math(r>0)]에 대해 [math(B_{r}\left(x\right)=\left\{ y\in X| d\left(x,y\right)<r\right\} )]라 할 때 [math(B_{r}\left(x\right))]들의 집합을 부분기저로 하는 위상 공간을 거리 공간(metric space)라 한다. 거리 공간은 아주 좋은 공간인데 모든 거리 공간은 [math(\text{T}_{4})]이며 거리 공간에서는 가산 콤팩트(countable compact)와 콤팩트가 동치이다.[* 일반적으로는 콤팩트이면 가산 콤팩트임만 성립한다] 또한 콤팩트와 totally bounded이고 complete인 것이 동치이다. 반대로, 위상이 정해지면 어떤 공간의 거리를 부여할 수 있기도 하다. 대표적인 예로, normal space이며 second countable space이면 거리를 부여할 수 있다는, urysohn's metrization theorem이 있다. 거리를 부여하는 방법은, 그다지 직관적이지는 않다. countable basis를 가지므로 각각에서 점 하나를 고른 뒤, x1,x2,... 로 순서를 붙인 후 같은 basis에 포함되느냐, 아니냐로 거리를 결정하는 방식. 이외에도, sminorv metrization theroem 등 여러 가지의 거리화 정리가 있다. === [[다양체]] === 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 공간을 [[다양체|다양체(manifold)]]라 한다. 여기 위상수학적인 성질[* 위상 [math(\mathcal{T})]만 주어지면 기술할 수 있는 성질. 분리 공리, 콤팩트, 연결성 등과 같이 "열린 집합이 어쩌고~"하는 말로 정의가 되는 성질들을 말한다.]뿐만 아니라 미분구조까지 주게 되면 미분다양체가 된다. 유클리드 공간은 위상 공간이며 그 중에서도 거리 공간이고, 동시에 미분다양체이다. 다양체에 관한 자세한 설명은 [[다양체|해당 항목]] 참조. === 위상군 === 위상 공간에 대수적 구조까지 주게 되면 위상군이 된다. 구체적으로 말하면, 위상공간 [math(X)]가 군이고, 연산 [math(X\times X\to )]와 역원 [math(X\to X)]가 연속함수일 때 [math(X)]를 위상군(topological group)이라 한다. [math(X)]가 미분다양체이기까지 하면 리군이 된다. === 함수 공간 === 위상 공간 [math(X, Y)]가 있을 때, [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 함수들의 집합 또한 위상 공간으로 다룰 수 있다. [[분류:위상수학]]