[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Momentum · 運動量'''}}} || '''[[SI 단위]]''' ||<bgcolor=#ffffff>[math( \mathrm{kg \cdot m/s} )]|| 운동량은 물체의 현재 [[운동#s-2]] 상태를 나타내는 [[벡터(수학)|벡터]]량이다. 다만 거시적인 역학에서는 물체의 운동 상태를 의미하지만 미시적으로는 물질의 고유한 상태량이다. == 정의 == 운동량의 종류로는 [[선운동량]]과 [[각운동량]]이 있지만, 보통 운동량이라고 하면 [[선운동량]]을 가리킨다. [[각운동량]]에 대한 내용은 문서 참고. === [[뉴턴 역학]]에서 === 뉴턴역학에서 [[아이작 뉴턴]]은 운동량을 아래처럼 정의한다. || 질량이 [math( m )]이고, [math( \mathbf{v} )]의 [[선속도]]로 움직이는 물체는 [math( \mathbf{p} = m \mathbf{v} )]만큼의 운동량을 갖는다. || 이 정의를 이용해 [[뉴턴의 운동법칙]] 중 제2법칙을 수식으로 표기하면 아래와 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff>[math( \mathbf{F} = \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} )]|| === [[해석역학]]에서 === 위의 개념이 우리가 살고 있는 평범한 3차원 세계를 기반으로 세워진 것에 반해, [[라그랑주 역학]]에서는 이 개념을 일반화된 좌표계와 [[라그랑지안]]을 통해 표현한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff>[math( p_{j} = \dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{j}} )]|| 여기서 [math( \mathscr{L} )]은 [[라그랑지안]], [math( q_{j} )]는 위치의 [math(j)]번째 성분이다. [[해밀턴 역학]]에서는 위의 식을 바탕으로, [[해밀토니안]]을 이용해 선운동량의 시간에 따른 변화량을 다룬다. 자세한 내용은 [[해밀토니안]] 문서로. == 운동량 보존의 법칙 == 본질적으로는 [[에너지 보존 법칙]]과 같다. 하지만 거시적인 역학을 다루는 고등학교 과정에서는 다르게 표현된다. 아래의 서술은 고등학교 과정에서의 이야기다. 물체가 서로 충돌할 때 각 물체의 운동량들의 총합은 충돌 전, 충돌 후 모두 일정하게 보존된다. 이는 '''모든''' 종류의 충돌에 적용된다. 운동량 보존 법칙만 따지자면 가만히 있는 물체 둘이 양 옆으로 튀어나가는 것도 가능하다.[* 이는 역학적 에너지 보존 법칙에는 위배되지만 에너지 보존 법칙에 위배되지는 않는다. 폭탄처럼 화학 에너지를 운동 에너지로 변환할 수 있기 때문.] 운동하는 물체는 외력의 합이 0이면 운동량이 보존된다. 이것이 운동량 보존 법칙이다. 이 때 주의해야 할 점은, '''외'''력이 0일 때 보존 법칙이 성립하기 때문에 내부에서 힘을 줄 경우에는 어떻게 주든 물체 전체의 운동량은 보존된다는 것이다. 예를 들어 정지해 있던 폭탄이 공중에서 폭발해 폭탄이 여러 조각으로 날아갈 때, 폭탄 개개의 조각의 운동량은 보존되지 않지만[* 폭탄 조각의 입장에서, 폭발은 외력이다.], 폭탄 전체의 운동량은 0으로 보존된다.[* 조각의 운동량을 다 합치면 0이다. 운동량은 벡터임을 기억하자.] 정지한 폭탄을 위로 날아가는 로켓으로 치환해도 마찬가지다. == 모멘트(Moment)와의 관계 == 모멘트에도 종류가 있는데, 운동과 관련된 질량 관성 모멘트에는 연관점이 있다고 볼 수 있지만, 저항하는 정도를 나타내는 모멘트에는 관련이 없다. 공학에서는 이 두 가지를 모두 [math(I)]나 [math(J)]로 쓰기 때문에 혼란이 올 수도 있다. '모멘텀'은 운동 상태를 나타내는 척도, '질량 관성 모멘트'는 회전하려는, 직선운동 하는 현재 운동 상태에서 변화에 저항하는 척도이다. 사이클 선수 자전거 바퀴는 디스크를 사용하는 것도 이와 관련 되어있다. 스케이트 선수가 돌 때 팔을 오므리는 것도 관련 되어있다. 반면 '극관성 모멘트'는 돌림힘에 저항하는 정도를, 즉 변형에 저항하는 정도를 나타낸다. '단면 관성 모멘트' 또한 휨이나 구부림에 저항하는 정도를 나타냄으로 극관성 모멘트와 비슷한 개념이다. 이둘은 운동량과 거의 관계 없다. == [[양자역학]]에서 == 양자역학에서 운동량은 [[파동함수]]에 작용하는 [[연산자]]로 나타난다. 이러한 연산자는 어떠한 기저로 파동함수를 나타냈는지에 따라 표현 방식이 달라진다. 위치 기저(position basis)에서 운동량 연산자는 다음과 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff>[math( \displaystyle \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \boldsymbol{\nabla} )]|| 운동량 기저(momentum basis)에서는 그냥 운동량 자신이다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff>[math( \displaystyle \mathbf{\hat{p}} = \mathbf{p} )]|| === [[고유값]]과 고유함수 === 운동량을 관측했을 때 항상 [math(p)]가 나오는 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \hat{\mathbf{p}} \left| \psi \right> = \mathbf{p} \left| \psi \right> )] }}} 이 때 (위치 기저에서) 규격화된 고유함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \left| \psi \right> = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp {\frac{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}{\hbar}} )] }}} === [[정준 교환 관계]] === 위치 연산자와 운동량 연산자는 다음 관계를 만족한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [x, p] = i \hbar )] }}} 3차원에서는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle [r_i, p_j] = i \hbar \delta_{ij} )] }}} 이 때 대괄호는 [[교환자]]이다. 이를 '''정준 교환 관계(canonical commutation relation)'''이라고 한다. [[분류:물리학]]